11??a??????10?,b??1?.已知线性方程组Ax?b存在2个不同的解。?1?1???0?14??????23.设A???13a?，（1）求?、a.?4a0?(2)求方程组Ax?b的通解。??正交矩阵Q使得QAQ为对角矩阵，若Q的第一列为
T???设A??0?1?1(1,2,1)T，求a、Q. 6
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
x?x3（1）函数f?x??的可去间断点的个数，则（ ）
sinnx?A?1.
?B?2. ?C?3.
2?D?无穷多个.
（2）当x?0时，f?x??x?sinax与g?x??xln?1?bx?是等价无穷小，则（ ）
?A?a?1,b??6. ?B?a?1,b?6. ?C?a??1,b??6. ?D?a??1,b?6.
（3）设函数z?f?x,y?的全微分为dz?xdx?ydy，则点?0,0?（ ）
1111?A?不是f?x,y?的连续点. ?B?不是f?x,y?的极值点. ?C?是f?x,y?的极大值点. ?D?是f?x,y?的极小值点.
（4）设函数f?x,y?连续，则
?dx?f?x,y?dy??1x2221dy?4?yyf?x,y?dx?（ ）
?A??1dx?1224?xf?x,y?dy. f?x,y?dx.
?B??1dx?x224?xf?x,y?dy.
?C??1dy?14?y?D?.?1dy?yf?x,y?dx
222（5）若f???x?不变号，且曲线y?f?x?在点?1,1?上的曲率圆为x?y?2，则f?x?在区间?1,2?内（ ）
?A?有极值点，无零点. ?B?无极值点，有零点. ?C?有极值点，有零点. ?D?无极值点，无零点.
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（6）设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为：
f(x)O -2 0 -1 1 2 3 x
则函数F?x???x0f?t?dt的图形为（ ）
f(x)f(x)1 1 -2 0 1 2 3 x-2 0 1 2 3 x?A?.
-1 ?B?.
-1
f(x)f(x)1 1 -1 0 1 2 3 x-2 0 1 2 3 x?C?.
?D?.
-1
（7）设A、B均为2阶矩阵，A*，B*分别为A、B的伴随矩阵。若A=2，B=3，则分块矩阵??0?B为（ ）
?A?.??03B*?
?2A*0?
??B?.??02B*??3A*0? ??C?.??03A*?
?2B*0?
?D?.??02A*???3B*0? ? - 26 -
A?0?的伴随矩阵?
?100???TT（8）设A，P均为3阶矩阵，P为P的转置矩阵，且PAP=?010?，若
?002???，则QTAQ为（ ） P=（?1，?2，?3），Q=（?1+?2，?2，?3）?210?
?
110?A?.??? ?002????200?
?
010?C?.??? ?002???
?110?
?
120?B?.??? ?002????100?
?
020?D?.??? ?002???
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
1-t?u2?x=??0edu在（0，0）（9）曲线?处的切线方程为 ?y?t2ln(2?t2)?+?kx（10）已知?edx?1,则k?
??（11）lim1?xesinnxdx? n???0yd2y（12）设y?y(x)是由方程xy?e?x?1确定的隐函数，则2dx（13）函数y?x在区间?01，?上的最小值为 2xx=0=
?200?
??TTT(14)设?，?为3维列向量，?为?的转置，若矩阵??相似于?000?，则??= ?000???
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分）求极限
（16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1?1?cosx??x?ln(1?tanx)??limx?0sin4x
?1?x)dx (x?0) x?2z（17）（本题满分10分）设z?f?x?y,x?y,xy?，其中f具有2阶连续偏导数，求dz与
?x?y
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（18）（本题满分10分）
设非负函数y?y?x???x?0?满足微分方程xy???y??2?0，当曲线y?y?x??过原点时，其与直线x?1及y?0围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。
（19）（本题满分10分）求二重积分其中D????x?y?dxdy，
D??x,y??x?1???y?1?22?2,y?x
?
（20）（本题满分12分）
（-?，?）（-设y?y(x)是区间内过
?，）的光滑曲线，当-??x?0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当
22?0?x??时，函数y(x)满足y???y?x?0。求y(x)的表达式
（21）（本题满分11分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f?x?在?a,b?上连续，在?a,b?可导，则存在???a,b?，使得
f?b??f?a??f?????b?a?（Ⅱ）证明：若函数f?x?在x?0处连续，在?0,?????0?内可导，且lim?f??x??A，
x?0则f???0?存在，且f???0??A。
?1?1?1???1?????1?，?1??1? （22）（本题满分11分）设A???11?0?4?2???2?????（Ⅰ）求满足A?2??1,A2?3??1的所有向量?2,?3
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量?2,?3，证明：?1,?2,?3线性无关。
（23）（本题满分11分）设二次型f?x1,x2,x3??ax1?ax2??a?1?x3?2x1x3?2x2x3
222（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值；
22（Ⅱ）若二次型f的规范形为y1，求a的值。 ?y2
2008年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
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