2000-2017考研数学二历年真题word版

11??a??????10?,b??1?.已知线性方程组Ax?b存在2个不同的解。?1?1???0?14??????23.设A???13a?,(1)求?、a.?4a0?(2)求方程组Ax?b的通解。??正交矩阵Q使得QAQ为对角矩阵,若Q的第一列为

T???设A??0?1?1(1,2,1)T,求a、Q. 6

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.

x?x3(1)函数f?x??的可去间断点的个数,则( )

sinnx?A?1.

?B?2. ?C?3.

2?D?无穷多个.

(2)当x?0时,f?x??x?sinax与g?x??xln?1?bx?是等价无穷小,则( )

?A?a?1,b??6. ?B?a?1,b?6. ?C?a??1,b??6. ?D?a??1,b?6.

(3)设函数z?f?x,y?的全微分为dz?xdx?ydy,则点?0,0?( )

1111?A?不是f?x,y?的连续点. ?B?不是f?x,y?的极值点. ?C?是f?x,y?的极大值点. ?D?是f?x,y?的极小值点.

(4)设函数f?x,y?连续,则

?dx?f?x,y?dy??1x2221dy?4?yyf?x,y?dx?( )

?A??1dx?1224?xf?x,y?dy. f?x,y?dx.

?B??1dx?x224?xf?x,y?dy.

?C??1dy?14?y?D?.?1dy?yf?x,y?dx

222(5)若f???x?不变号,且曲线y?f?x?在点?1,1?上的曲率圆为x?y?2,则f?x?在区间?1,2?内( )

?A?有极值点,无零点. ?B?无极值点,有零点. ?C?有极值点,有零点. ?D?无极值点,无零点.

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(6)设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为:

f(x)O -2 0 -1 1 2 3 x

则函数F?x???x0f?t?dt的图形为( )

f(x)f(x)1 1 -2 0 1 2 3 x-2 0 1 2 3 x?A?.

-1 ?B?.

-1

f(x)f(x)1 1 -1 0 1 2 3 x-2 0 1 2 3 x?C?.

?D?.

-1

(7)设A、B均为2阶矩阵,A*,B*分别为A、B的伴随矩阵。若A=2,B=3,则分块矩阵??0?B为( )

?A?.??03B*?

?2A*0?

??B?.??02B*??3A*0? ??C?.??03A*?

?2B*0?

?D?.??02A*???3B*0? ? - 26 -

A?0?的伴随矩阵?

?100???TT(8)设A,P均为3阶矩阵,P为P的转置矩阵,且PAP=?010?,若

?002???,则QTAQ为( ) P=(?1,?2,?3),Q=(?1+?2,?2,?3)?210?

?

110?A?.??? ?002????200?

?

010?C?.??? ?002???

?110?

?

120?B?.??? ?002????100?

?

020?D?.??? ?002???

二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.

1-t?u2?x=??0edu在(0,0)(9)曲线?处的切线方程为 ?y?t2ln(2?t2)?+?kx(10)已知?edx?1,则k?

??(11)lim1?xesinnxdx? n???0yd2y(12)设y?y(x)是由方程xy?e?x?1确定的隐函数,则2dx(13)函数y?x在区间?01,?上的最小值为 2xx=0=

?200?

??TTT(14)设?,?为3维列向量,?为?的转置,若矩阵??相似于?000?,则??= ?000???

三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)求极限

(16)(本题满分10 分)计算不定积分ln(1?1?cosx??x?ln(1?tanx)??limx?0sin4x

?1?x)dx (x?0) x?2z(17)(本题满分10分)设z?f?x?y,x?y,xy?,其中f具有2阶连续偏导数,求dz与

?x?y

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(18)(本题满分10分)

设非负函数y?y?x???x?0?满足微分方程xy???y??2?0,当曲线y?y?x??过原点时,其与直线x?1及y?0围成平面区域D的面积为2,求D绕y轴旋转所得旋转体体积。

(19)(本题满分10分)求二重积分其中D????x?y?dxdy,

D??x,y??x?1???y?1?22?2,y?x

?

(20)(本题满分12分)

(-?,?)(-设y?y(x)是区间内过

?,)的光滑曲线,当-??x?0时,曲线上任一点处的法线都过原点,当

22?0?x??时,函数y(x)满足y???y?x?0。求y(x)的表达式

(21)(本题满分11分)

(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数f?x?在?a,b?上连续,在?a,b?可导,则存在???a,b?,使得

f?b??f?a??f?????b?a?(Ⅱ)证明:若函数f?x?在x?0处连续,在?0,?????0?内可导,且lim?f??x??A,

x?0则f???0?存在,且f???0??A。

?1?1?1???1?????1?,?1??1? (22)(本题满分11分)设A???11?0?4?2???2?????(Ⅰ)求满足A?2??1,A2?3??1的所有向量?2,?3

(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任一向量?2,?3,证明:?1,?2,?3线性无关。

(23)(本题满分11分)设二次型f?x1,x2,x3??ax1?ax2??a?1?x3?2x1x3?2x2x3

222(Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值;

22(Ⅱ)若二次型f的规范形为y1,求a的值。 ?y2

2008年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

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