????e?kx,x?0,（12）设函数f(x)?? ??0，则?xf(x)dx? 。
??x?0,?0,（13）设平面区域D由直线y?x，圆x2?y2?2y及y轴所围成，则二重积分
??xyd?? 。
D222（14）二次型f(x1,x2,x3)?x1?3x2?x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3，则f的正惯性指数为 。
三、解答题：15～23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应字说明、 ．．．
证明过程或演算步骤。 （15）（本题满分10分） 已知函数F(x)?
（16）（本题满分11分）
?x0ln(1?t2)dtx?F(x)?0，试求?的取值范围。 ，设limF(x)?lim?x???x?0131?x?t?t?,??33 设函数y?y(x)由参数方程? 确定，求y?y(x)的极值和曲线y?y(x)的凹凸区间及拐点。
?y?1t3?t?1?33?
（17）（本题满分9分）
设函数z?f(xy,yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x?1处取得极值g(1)?1，求
?2z?x?y
。
x?1,y?1（18）（本题满分10分）
设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y?y(x)与直线y?x相切于原点，记?为曲线l在点(x,y)处切线的倾角，
若
（19）（本题满分10分）
（I）证明：对任意的正整数n，都有 （II）设an?1?
（20）（本题满分11分）
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d?dy?，求y(x)的表达式。 dxdx1?1?1?ln?1???成立。 n?1?n?n11????lnn(n?1,2,?)，证明数列?an?收敛。 2n
一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x?y?2y(y?连接而成。
（I）求容器的容积；
（II）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？
（长度单位：m，重力加速度为gms2，水的密度为103kgm3）
（21）（本题满分11分）
已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)?0，f(x,1)?0，
2211)与x2?y2?1(y?)22??f(x,y)dxdy?a，其中
D??(x,y)dxdy。 D??(x,y)0?x?1,0?y?1?，计算二重积分I???xyfxyD
（22）（本题满分11分）
设向量组?1?(1,0,1)T，?2?(0,1,1)T，?3?(1,3,5)T不能由向量组?1?(1,1,1)T，?2?(1,2,3)T，?3?(3,4,a)T线性表示。 （I）求a的值；
（II）将?1,?2,?3用?1,?2,?3线性表示。
（23）（本题满分11分）
1???11??1????0???00?。 设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且A?0??11??11????? （I）求A的所有的特征值与特征向量； （II）求矩阵A。
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一选择题
x2?x1(A) 函数f(x)?2 1?2的无穷间断点的个数为x?1xA0 B1 C2 D3
2.设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y??p(x)y?q(x)的两个特解，若常数?,?使?y1??y2是该方程的解，
?y1??y2是该方程对应的齐次方程的解，则
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A??12,??12 B???12,???12 C??21223,??3 D??3,??3
(1) 曲线y?x2与曲线y?alnx(a?0)相切，则a? A4e B3e C2e De 4.设m,n为正整数,则反常积分
?1mln2(1?x)0nxdx的收敛性
A仅与m取值有关 B仅与n取值有关
C与m,n取值都有关 D与m,n取值都无关
5.设函数z?z(x,y)由方程F(y,z)?0确定,其中F为可微函数,且F2??0,则x?zxx?x?y?z?y= Ax
Bz C?x D?z
nn6.(4)limnx????i?1j?1(n?i)(n2?j2)= A
?1x1(1?x)(1?y2)dy B?10dx?x10dx?00(1?x)(1?y)dy C
?1110dx?10(1?x)(1?y)dy
D
?10dx?10(1?x)(1?y2)dy
7.设向量组I:?1,?2,?，?r可由向量组II：?1，?2，?，?s线性表示，下列命题正确的是： A若向量组I线性无关，则r?s B若向量组I线性相关，则r>s C若向量组II线性无关，则r?s D若向量组II线性相关，则r>s
??115.设A为4阶对称矩阵,且A2?A?0,若A的秩为3,则A相似于A?1??1???1????1?C??1??? D??1???1???0????1?? ?0??二填空题
9.3阶常系数线性齐次微分方程y????2y???y??2y?0的通解y=__________
(1) 曲线y?2x3x2?1的渐近线方程为_______________
(2) 函数y?ln(1?2x)在x?0处的n阶导数y(n)(0)?__________
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?????1? B??0?????1??1??0??
(3) 当0????时，对数螺线r?e?的弧长为___________
(4) 已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加，则当l=12cm,w=5cm时，它的对角线增加的速率为___________
?1?1(5) 设A，B为3阶矩阵，且A?3,B?2,A?B?2,则A?B?__________
三解答题
(6) 求函数f(x)?16.(1)比较
?x21 (x2?t)e?tdt的单调区间与极值。n12?10lnt[ln(1?t)]dt与?tnlntdt(n?1,2,)的大小,说明理由.
0 (2)记un??10lnt[ln(1?t)]ndt(n?1,2,),求极限limun.x??
?x?2t?t2,5(t??1)所确定，其中?(t)具有2阶导数，且?(1)?，?2?y??(t),2dy3设函数y=f(x)由参数方程??(1)?6，已知?,求函数?(t)。九、 dx24(1?t)3b2十、一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为时，
计算油的质量。
（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为十一、
?kg/m3）
?2u?2u?2u设函数u?f(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式42?12?52?0.?x?x?y?y?2u确定a,b的值，使等式在变换??x?ay,??x?by下简化?0????
计算二重积分I???r2sin?1?r2cos2?drd?,其中D?｛(r,?)0?r?sec?,0???}.4 十二、D1十三、设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=3,证明：存在
???(0,),??(,1),使得f?(?)?f?(?)??2??2.十四、
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