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2013
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
?１．设cosx?1?xsin?(x),?(x)?，当x?0时，??x? （ ）
2（A）比x高阶的无穷小 （B）比x低阶的无穷小 （C）与x同阶但不等价无穷小 （D）与x等价无穷小
2．已知y?f?x?是由方程cos?xy??lny?x?1确定，则limn??f???1???（ ）
n????2???n???（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2
x?sinx,x?[0,?)３．设f(x)??，F(x)??f(t)dt则（ ）
02,x?[?,2?]?（Ａ）x??为F(x)的跳跃间断点． （Ｂ）x??为F(x)的可去间断点． （Ｃ）F(x)在x??连续但不可导． （Ｄ）F(x)在x??可导．
1?,1?x?e??1????(x?1)４．设函数f(x)??，且反常积分?f?x?dx收敛，则（ ）
1?,x?e??1??xlnx（A）???2 （B）a?2 （C）?2?a?0 （D）0???2
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５．设函数z?yx?z?zf?xy?，其中f可微，则??（ ） xy?x?y22f(xy) （D）?f(xy) xx6．设Dk是圆域D?(x,y)|x2?y2?1的第k象限的部分，记Ik???(y?x)dxdy，则（ ）
（A）2yf'(xy) （B）?2yf'(xy)（C）
??Dk（A）I1?0 （B）I2?0 （C）I3?0 （D）I4?0 7．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则
（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价． （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价． （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价． （D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．
?1a1??200?????8．矩阵?aba?与矩阵?0b0?相似的充分必要条件是
?1a1??000?????（A）a?0,b?2 （B）a?0，b为任意常数 （C）a?2,b?0 （D）a?2，b为任意常数
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
9． lim?2??x?0?ln(1?x)??? ． x?1x10．设函数f(x)??x?11?etdt，则y?f(x)的反函数x?f?1(y)在y?0处的导数
dx|y?0? ． dy11．设封闭曲线L的极坐标方程为r?cos3???????则L所围成的平面图形的面积为 ． ????t为参数，
6??6??x?arctant12．曲线上?对应于t?1处的法线方程为 ．
2??y?ln1?t13．已知y1?e3x?xe2x,y2?ex?xe2x,y3??xe2x是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足
y(0)?0,y'(0)?1方程的解为 ．
14．设A?aij是三阶非零矩阵，A为其行列式，Aij为元素aij的代数余子式，且满足Aij?aij?0(i,j?1,2,3)，则
??A= ． 三、解答题
15．（本题满分10分）
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n当x?0时，1?cosxcos2xcos3x与ax是等价无穷小，求常数a,n．
16．（本题满分10分） 设D是由曲线y?3x，直线x?a(a?0)及x轴所转成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴和y轴旋转一周所形成
的立体的体积，若10Vx?Vy，求a的值． 17．（本题满分10分）
设平面区域D是由曲线x?3y,y?3x,x?y?8所围成，求18．（本题满分10分）
设奇函数f(x)在??1,1?上具有二阶导数，且f(1)?1，证明： （1）存在??(0,1)，使得f'????1；
（2）存在??(?1,1)，使得f??(?)?f?(?)?1． 19．（本题满分10分）
求曲线x?xy?y?1(x?0,y?0)上的点到坐标原点的最长距离和最短距离． 20．（本题满分11） 设函数f(x)?lnx?332x??dxdy． D1 x⑴求f(x)的最小值； ⑵设数列?xn?满足lnxn?21．（本题满分11） 设曲线L的方程为（1）求L的弧长．
（2）设D是由曲线L，直线x?1,x?e及x轴所围成的平面图形，求D的形心的横坐标． 22．本题满分11分） 设A???1xn?1?1，证明极限limxn存在，并求此极限．
n??y?121x?lnx(1?x?e)． 42?1a??01????，问当a,b为何值时，存在矩阵C，使得AC?CA?B，并求出所有矩阵C． ,B?????10??1b?23（本题满分11分）
?a1??b1?????22??a,??设二次型f(x1,x2,x3)?2(a1x1?a2x2?a3x3)?(b1x1?b2x2?b3x3)．记?2??b2?．
?a??b??3??3?TT（1）证明二次型f对应的矩阵为 2?????；
22（2）若?,?正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为 2y1?y2．
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