2000-2017考研数学二历年真题word版

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2013

年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.

?1.设cosx?1?xsin?(x),?(x)?,当x?0时,??x? ( )

2(A)比x高阶的无穷小 (B)比x低阶的无穷小 (C)与x同阶但不等价无穷小 (D)与x等价无穷小

2.已知y?f?x?是由方程cos?xy??lny?x?1确定,则limn??f???1???( )

n????2???n???(A)2 (B)1 (C)-1 (D)-2

x?sinx,x?[0,?)3.设f(x)??,F(x)??f(t)dt则( )

02,x?[?,2?]?(A)x??为F(x)的跳跃间断点. (B)x??为F(x)的可去间断点. (C)F(x)在x??连续但不可导. (D)F(x)在x??可导.

1?,1?x?e??1????(x?1)4.设函数f(x)??,且反常积分?f?x?dx收敛,则( )

1?,x?e??1??xlnx(A)???2 (B)a?2 (C)?2?a?0 (D)0???2

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5.设函数z?yx?z?zf?xy?,其中f可微,则??( ) xy?x?y22f(xy) (D)?f(xy) xx6.设Dk是圆域D?(x,y)|x2?y2?1的第k象限的部分,记Ik???(y?x)dxdy,则( )

(A)2yf'(xy) (B)?2yf'(xy)(C)

??Dk(A)I1?0 (B)I2?0 (C)I3?0 (D)I4?0 7.设A,B,C均为n阶矩阵,若AB=C,且B可逆,则

(A)矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价. (B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价. (C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价. (D)矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价.

?1a1??200?????8.矩阵?aba?与矩阵?0b0?相似的充分必要条件是

?1a1??000?????(A)a?0,b?2 (B)a?0,b为任意常数 (C)a?2,b?0 (D)a?2,b为任意常数

二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)

9. lim?2??x?0?ln(1?x)??? . x?1x10.设函数f(x)??x?11?etdt,则y?f(x)的反函数x?f?1(y)在y?0处的导数

dx|y?0? . dy11.设封闭曲线L的极坐标方程为r?cos3???????则L所围成的平面图形的面积为 . ????t为参数,

6??6??x?arctant12.曲线上?对应于t?1处的法线方程为 .

2??y?ln1?t13.已知y1?e3x?xe2x,y2?ex?xe2x,y3??xe2x是某个二阶常系数线性微分方程三个解,则满足

y(0)?0,y'(0)?1方程的解为 .

14.设A?aij是三阶非零矩阵,A为其行列式,Aij为元素aij的代数余子式,且满足Aij?aij?0(i,j?1,2,3),则

??A= . 三、解答题

15.(本题满分10分)

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n当x?0时,1?cosxcos2xcos3x与ax是等价无穷小,求常数a,n.

16.(本题满分10分) 设D是由曲线y?3x,直线x?a(a?0)及x轴所转成的平面图形,Vx,Vy分别是D绕x轴和y轴旋转一周所形成

的立体的体积,若10Vx?Vy,求a的值. 17.(本题满分10分)

设平面区域D是由曲线x?3y,y?3x,x?y?8所围成,求18.(本题满分10分)

设奇函数f(x)在??1,1?上具有二阶导数,且f(1)?1,证明: (1)存在??(0,1),使得f'????1;

(2)存在??(?1,1),使得f??(?)?f?(?)?1. 19.(本题满分10分)

求曲线x?xy?y?1(x?0,y?0)上的点到坐标原点的最长距离和最短距离. 20.(本题满分11) 设函数f(x)?lnx?332x??dxdy. D1 x⑴求f(x)的最小值; ⑵设数列?xn?满足lnxn?21.(本题满分11) 设曲线L的方程为(1)求L的弧长.

(2)设D是由曲线L,直线x?1,x?e及x轴所围成的平面图形,求D的形心的横坐标. 22.本题满分11分) 设A???1xn?1?1,证明极限limxn存在,并求此极限.

n??y?121x?lnx(1?x?e). 42?1a??01????,问当a,b为何值时,存在矩阵C,使得AC?CA?B,并求出所有矩阵C. ,B?????10??1b?23(本题满分11分)

?a1??b1?????22??a,??设二次型f(x1,x2,x3)?2(a1x1?a2x2?a3x3)?(b1x1?b2x2?b3x3).记?2??b2?.

?a??b??3??3?TT(1)证明二次型f对应的矩阵为 2?????;

22(2)若?,?正交且为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为 2y1?y2.

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