（A）函数f(x)有2个极值点，曲线y?f(x)有2个拐点. （B）函数f(x)有2个极值点，曲线y?f(x)有3个拐点. （C）函数f(x)有3个极值点，曲线y?f(x)有1个拐点. （D）函数f(x)有3个极值点，曲线y?f(x)有2个拐点.
（5）设函数fi(x)(i?1,2)具有二阶连续导数，且fi(x0)?0(i?1,2)，若两条曲线
且在该点处曲线y?f1(x)的曲率大于曲线y?f2(x)的曲率，y?fi(x)(i?1,2)在点(x0,y0)处具有公切线y?g(x)，则在x0的某个领域内，有 （A）f1(x)?f2(x)?g(x) （B）f2(x)?f1(x)?g(x) （C）f1(x)?g(x)?f2(x) （D）f2(x)?g(x)?f1(x)
ex（6）已知函数f(x,y)?，则
x?y（A）fx?fy?0 （B）fx?fy?0 （C）fx?fy?f （D）fx?fy?f
（7）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是 （A）A与B相似 （B）A与B相似 （C）A?A与B?B相似 （D）A?A与B?B相似
222（8）设二次型f(x1,x2,x3)?a(x1?x2?x3)?2x1x2?2x2x3?2x1x3的正、负惯性指数分别为1,2，则
?1?1TT?1?1TT''''''''（A）a?1 （B）a??2 （C）?2?a?1
- 5 -
（D）a?1与a??2
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。
x3?arctan(1?x2)的斜渐近线方程为____________. （9）曲线y?21?x
（10）极限lim
（11）以y?x2?ex和y?x2为特解的一阶非齐次线性微分方程为____________.
（12）已知函数f(x)在(??,??)上连续，且f(x)?(x?1)?22112(sin?2sin?n??n2nnn?nsin)?____________.
n?x0f(t)dt，则当n?2时，f(n)(0)?____________.
（13）已知动点P在曲线y?x3上运动，记坐标原点与点P间的距离为l.若点P的横坐标时间的变化率为常数v0，则
当点P运动到点(1,1)时，l对时间的变化率是_______.
?a?1?1??110?????（14）设矩阵?1a?1与0?11等价，则a?_________. ???????1?1a????101??解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分） （16）（本题满分10分）
设函数f(x)??10t2?x2dt(x?0)，求f'(x)并求f(x)的最小值.
（17）（本题满分10分）
已知函数z?z(x,y)由方程(x?y)z?lnz?2(x?y?1)?0确定，求z?z(x,y) 的极值. （18）（本题满分10分）
22x2?xy?y2设D是由直线y?1，y?x，y??x围成的有界区域，计算二重积分??dxdy. 22x?yD
（19）（本题满分10分）
已知y1(x)?ex，y2(x)?u(x)ex是二阶微分方程(2x?1)y?(2x?1)y'?2y?0的解，若u(?1)?e，u(0)??1，求
nu(x)，并写出该微分方程的通解。
（20）（本题满分11分）
3????x?cost?0?t?设D是由曲线y?1?x(0?x?1)与?求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体?围成的平面区域，3?2???y?sint?2积和表面积。
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（21）（本题满分11分）
3?3?cosx]上连续，在(0,)内是函数的一个原函数f(0)?0。 222x?3?3?]上的平均值； （Ⅰ）求f(x)在区间[0,23?)内存在唯一零点。 （Ⅱ）证明f(x)在区间(0,2已知f(x)在[0,
（22）（本题满分11分）
11?a??1?0?????0a?，???1设矩阵A??1?，且方程组Ax??无解。
?a?11a?1??2a?2?????（Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求方程组AAx?A
（23）（本题满分11分）
TT?的通解。
?0?11???已知矩阵A??2?30?
?000???（Ⅰ）求A
99（Ⅱ）设3阶矩阵B?(?1,?2,?3)满足B?BA。记B100?(?1,?2,?3)，将?1,?2,?3分别表示为?1,?2,?3的线性组
合。
22015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．(1)下列反常积分中收敛的是（）
??（A）
?21dx （B）x2???2lnxdx (C)x???21dx (D)xlnx???2xdx xesintxt)在(??,??)内（） (2)函数f(x)?lim(1?t?0x（A）连续 （B）有可去间断点 （C）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点
1??xcos,x?0??(??0,??0)，若f(x)在x?0处连续，则（） (3)设函数f(x)??x?0,x?0?
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（A）????1 (B)0?????1 (C)????2 (D)0?????2
(4) 设函数f(x)在(??,??)连续，其二阶导函数f??(x)的图形如右图所示，则曲线y?f(x)的拐点个数为（） （A）0 (B)1 (C)2 (D)3
22(5).设函数f(u，v)满足f(x?y,)?x?y，则
yx?f?f与依次是（） ?uu?1?vu?1v?1v?1（A）
1111,0 (B)0，（C）-,0 (D)0 ,- 2222(6). 设D是第一象限中曲线2xy?1,4xy?1与直线y?x,y?3x围成的平面区域，函数f(x,y)在D上连续，则
??f(x,y)dxdy=（）
D?2?d???（A）
41sin2?12sin2?f(rcos?,rsin?)dr?（B）
??d??241sin2?12sin2?1sin2?12sin2?f(rcos?,rsin?)dr
?（C）
??34d??1sin2?12sin2??f(rcos?,rsin?)dr（D）??3d??4f(rcos?,rsin?)dr
?111??1?????(7)．设矩阵A=?12a?，b=?d?,若集合Ω=?1,2?，则线性方程组Ax?b有无穷多个解的充分必要条件为（）
?14a2??d2?????（A）a??,d?? (B)a??,d?? (C)a??,d?? (D) a??,d??
222(8)设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换x?Py下的标准形为2y1?y2?y3,其中P=(e1,e2,e3)，若Q?(e1,?e3,e2)，则
f(x1,x2,x3)在正交变换x?Py下的标准形为（ ）
222222222222(A):2y1 (B) 2y1 (C) 2y1 (D) 2y1 ?y2?y3?y2?y3?y2?y3?y2?y3
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．
?x?arctantd2y(9) 设?,则2? 3dxt?1y?3t?t?（10）函数f(x)?x2在x?0处的n 阶导数f（11）设函数f(x)连续，?(x)?2x(n)(0)?
?x20xf(t)dt,若?(1)?1，?'(1)?5，则f(1)?
'（12）设函数y?y(x)是微分方程y?y?2y?0的解，且在x?0处y(x)取值3，则y(x)= （13）若函数z?z(x,y)由方程e
x?2y?3z''?xyz?1确定，则dz(0,0)=
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