学习要点 ? 1.课随机变量的描述 ? 2.随机变量的数值特征 ? 3.离散随机过程 ? 4.狭义平衡随机过程 ? 5.随机过程的数值特征 ? 随机过程的数值特征 ? 6.自相关序列和自协方差序列 ? 7.离散随机过程的平均 ? 8.相关序列和协方差序列的性质 ? 9.功率谱 ? 10.离散随机信号通过线性非移变系统 习题一
p
设 x(n)?Aicos(win)?Bisin(win) i?1
其中随机变量Ai,Bi都服从均值为零、
方差为?2的高斯分布，并且两两之间互相独立。
求x(n)的均值、自相关函数和功率谱密度（PSD）。 解：
p iiii?1
pp
???x(n)的均值为：E?x(n)??E??Acos(wn)?Bsin(win)???
iiii i?1i?1
因为正弦与余弦为正交函数：
x(n)的自相关函数为：x(n)?Ex(n1)x(n2) ?p??p?Aicos(win1)?Bisin(win1)??Aicos(win2)?Bisin(win2)? =E? ?i?1??i?1? pppp ＝E?AiAjcos(win1)cos(wjn2)??E?BiBjsin(win1)sin(wjn2)????? i?1ji?1i?1
p 2=cos(wim),m?n1-n2
＝?E?Acos(wn)?+?E?Bsin(wn)? =0??????????i??? 1
x(n)的功率谱函数为：P?x(n)??FT????x(n1)x(n2)???
=FT??p??2cos(w?im)?,m?n1-n2
?i? ?p
??2???(w-wi)??(w?wi)? i ?p =?2???(w-wi)??(w?wi)?i第二章维纳滤波器
第二章维纳滤波器习题课 内容
? 维纳滤波器分类 ? 维纳滤波器的时域解 ? 维纳滤波器的Z域解 ? 维纳滤波器的预测器 一、维纳滤波分类
(2)由过去的观测值估计当前甚至将来的信号值， 即以x(n),x(n-1),x(n-2),,来确定s?(n?N)，
这属于预测或外推。 (1)由当前的及过去的观测值估计当前的信号值， 即由x(n),x(n-1),x(n-2),,来确定s?(n)，这常作滤波。
(3)由过去的观测值估计过去的信号值， 即以x(n),x(n-1),x(n-2),,来确定s?(n-N)， 而N?1，这常被称作内插或者平滑。
二、维纳滤波的时域解 为维纳－霍夫方程。 ??xs????xx??h?
维纳滤波器的最佳解 ?h???h?opt???-1xx???xs?
三、维纳滤波的复频域(Z)解
维纳－霍夫方程不能直接转入z域求解 的根本原因是：系统的因果性。
系统的单位取样响应h(n)为因果序列, 对应的Z变换属于单边Z变换.2
比较因果维纳滤波器 与非因果维纳滤波器：
(1)在Z域上，因果维纳滤波器的最小均方误差与非因果 维纳滤波器的最小均方误差的形式相同：
E??e2
(n)??min=12?j?c???ss(z)-Hopt(z)?xs(z-1)??z-1dz
但公式中的Hopt(z)的表达式不同： 因果：Hopt?1??xs(z)?2
wB(z)???B(z-1)??? 非因果：H(z)?1?xs(z)?xs(z opt?2B(z?1 w)B(z)?)?xx(z)
比较因果维纳滤波器与非因果维纳滤波器设计步骤： (2)在时域上，因果维纳滤波器与 非因果维纳滤波器的最小均方误差：
E??e2?(n)????(0)-12ss???ws(k) min2wk?-? 因果：E??e2? (n)????ss(0)-12?2 minw??ws(k)k?0
它们第二项求和域不同。可通过计算积分 函数在单位园内的极点的留数来得到。
因果滤波器设计实现步骤：
(1)根据观测信号x(n)的功率谱 求出它所对应的信号模型的传输函数，
即采用谱分解的方法得到B(z)。3
非因果： 具体方法为： 2-1?(z)??B(z)B(z)xxw 把单位园内的零极点分配给B(z)，
单位园外的零极点分配给B(z-1)，
2系数分配给?w。
(2)求 ??xs(z)? ?B(z-1)?的反变换，?? 取其因果部分再做z变换。
即舍掉单位园外的极点，得： ??xs(z)? ?B(z-1)????
xs
opt2-1
w?
2-1-1 ssoptxsminc 2 optmin
四、最佳线性预测滤波器
? 1、IIR预测器
? 2、N步IIR纯预测器 ? 3、一步线性预测器 1、IIR预测器
(3)积分曲线取单位园，应用式：1??(z)?H(z)????B(z)?B(z)?E??e(n)??=2?j?1???(z)-H(z)?(z)??zdz。计算H(z)和E??e(n)??x(n)?s(n)??(n)H(z) ?(n?N)y(n)?s
基本的维纳预测器
输入与输出关系 ：?(n?N)??h(m)x(n-m)??hixi y(n)?smi4