两边关于t求导，得 S'?2(?4t?4)?(?t?4)??7t?4222,S'?0?t?2 ……6分 7 S''??14t?0，故 t?2时，阴影部分面积最大。…… 8分 7
郑州轻工业学院
2011-2012学年第二学期高等数学IB期末考试 试卷A
参考答案 试卷号：A20120625
一、单项选择题（每题3分，共15分）
1、微分方程2y???y??y?0的通解是（ B ） （A）y?C1e+C2e（C）y?C1e+C2e2、改变（A）（C）
xx?2xx2； （B）y?C1e+C2e?xx2；
?； (D) y?C1e?x?C2e2x．
?1?1110dy?01?y2?1?y21?x2f(x,y)dx的积分次序，则下列结果正确的是（ A ）
11?x201?x2?1?x20??dx?dx?f(x,y)dy ； （B）?dx?10f(x,y)dy； f(x,y)dy．
1?x2?1?x2?1f(x,y)dy ； （D）?dx?3、函数f(x,y)在点P(x,y)处可微的充分条件是（ C ）
（A）f(x,y)的全部一阶偏导数存在； （B）f(x,y)连续； （C）f(x,y)的全部一阶偏导数连续； （D）f(x,y)连续且
?f?f均存在． ,?x?y4、设L是从A(?1,2)到B(1,0)的直线段，则曲线积分(A)
?L(x?y)ds?（ B ）
2； (B) 22； (C) 2； (D) 0．
5、若级数
??an?1?n 收敛，
?bn?1?n发散，则级数（ D ）
? (A)
?(ab)收敛； (B) ?(ab)发散 ；
nnnnn?1?n?1 (C)
?(an?1n?bn)收敛； (D)
?(an?1?n?bn)发散．
二、填空题（每题3分，共15分）
１、设?是球面x?y?z?a的外侧，则曲面积分
222243?a． =zdxdy??3?2、已知级数
?un的前n项和sn?n?1?n1，则该级数的通项un?. n?1n(n?1)3、比较积分的大小：??ln(x?y)d??
D D2[ln(x?y)]d???(填?、?或?)，其中区域
D是三角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1,),(2,0).
4、定积分
?200?x?1?x,1, 其中． f(x)dx?f(x)???2?x,1?x?2z的全微分 y5、 函数f(x,y,z)?xy?df(x,y,z)?ydx?(x?z1)dx?dz， y2y?????????梯度 gradf(x,y,z)|(2,1,1)?i?j?k． 三、解答题（每题6分，共30分）
1、计算定积分解
?10x?cosxdx．
10?10x?cosxdx??xdsinx ……….2分
1 ?[xsinx]0??sinxdx ……….4分
01 ?sin1?cosx|10?sin1?cos1?1． ……….6分 2、求微分方程xy''?y'?0的通解． 解 令y'?p，则y''?p'，原微分方程化为
xp'?p?0 ，即 p'??11p?0 ……….2分 x?dxC解得 p?C1ex?1 ……….4分
x即 y'?C1，所以通解为 y?C1ln|x|?C2 ……….6分 x3、计算二重积分
??(xD3?y)yd?，其中D?{(x,y)|?1?x?1,0?y?1}.
解
??(xD3?y)yd???dy?(x3y?y2)dx ……….3分
0?111 ??10dy?y2dx?2?y2dy??10112 ……….6分 3nx2x3n?1x????(?1)?? 的收敛半径及收敛域． 4、求幂级数x?23n(?1)n?1n解 幂级数?x，
nn?1???lim|n??an?1n|?lim?1，所以收敛半径R?1 ……….4分 n??ann?1???1(?1)n?1x??1时，级数?发散；x?1时，级数?收敛．
nn?1nn?1故收敛域为 (?1,1]． ……….6分 5、计算曲面积分
2y??dS，其中??{(x,y,z)|x?y?z?1,x?0,y?0,z?0}． ?解 如图，曲面?:z?1?x?y，在xOy平面内投影为 D:x?y?1,x?0,y?0，故
2222ydS?y1?z?zdxdy ………2分 xy?????D ???yD23dxdy?3?dy?011?y0y2dx ……….4分
?31132y(1?y)dy?3(?)? ……….6分 ?034121四、（本题满分8分） 计算三重积分I?2222?，其中由抛物面与平面z?1围成闭区域． z?x?y(x?y)dv????解法一 先二后一，如图
I??dz??(x2?y2)dxdy ………3分
0Dz1x?rcos?,y?rsin???dz?012?0d??r3dr ………6分
0z?2??10z2?dz? ………8分 46