高等数学A2(10-13)试题答案

两边关于t求导,得 S'?2(?4t?4)?(?t?4)??7t?4222,S'?0?t?2 ……6分 7 S''??14t?0,故 t?2时,阴影部分面积最大。…… 8分 7

郑州轻工业学院

2011-2012学年第二学期高等数学IB期末考试 试卷A

参考答案 试卷号:A20120625

一、单项选择题(每题3分,共15分)

1、微分方程2y???y??y?0的通解是( B ) (A)y?C1e+C2e(C)y?C1e+C2e2、改变(A)(C)

xx?2xx2; (B)y?C1e+C2e?xx2;

?; (D) y?C1e?x?C2e2x.

?1?1110dy?01?y2?1?y21?x2f(x,y)dx的积分次序,则下列结果正确的是( A )

11?x201?x2?1?x20??dx?dx?f(x,y)dy ; (B)?dx?10f(x,y)dy; f(x,y)dy.

1?x2?1?x2?1f(x,y)dy ; (D)?dx?3、函数f(x,y)在点P(x,y)处可微的充分条件是( C )

(A)f(x,y)的全部一阶偏导数存在; (B)f(x,y)连续; (C)f(x,y)的全部一阶偏导数连续; (D)f(x,y)连续且

?f?f均存在. ,?x?y4、设L是从A(?1,2)到B(1,0)的直线段,则曲线积分(A)

?L(x?y)ds?( B )

2; (B) 22; (C) 2; (D) 0.

5、若级数

??an?1?n 收敛,

?bn?1?n发散,则级数( D )

? (A)

?(ab)收敛; (B) ?(ab)发散 ;

nnnnn?1?n?1 (C)

?(an?1n?bn)收敛; (D)

?(an?1?n?bn)发散.

二、填空题(每题3分,共15分)

1、设?是球面x?y?z?a的外侧,则曲面积分

222243?a. =zdxdy??3?2、已知级数

?un的前n项和sn?n?1?n1,则该级数的通项un?. n?1n(n?1)3、比较积分的大小:??ln(x?y)d??

D D2[ln(x?y)]d???(填?、?或?),其中区域

D是三角形闭区域,三顶点各为(1,0),(1,1,),(2,0).

4、定积分

?200?x?1?x,1, 其中. f(x)dx?f(x)???2?x,1?x?2z的全微分 y5、 函数f(x,y,z)?xy?df(x,y,z)?ydx?(x?z1)dx?dz, y2y?????????梯度 gradf(x,y,z)|(2,1,1)?i?j?k. 三、解答题(每题6分,共30分)

1、计算定积分解

?10x?cosxdx.

10?10x?cosxdx??xdsinx ……….2分

1 ?[xsinx]0??sinxdx ……….4分

01 ?sin1?cosx|10?sin1?cos1?1. ……….6分 2、求微分方程xy''?y'?0的通解. 解 令y'?p,则y''?p',原微分方程化为

xp'?p?0 ,即 p'??11p?0 ……….2分 x?dxC解得 p?C1ex?1 ……….4分

x即 y'?C1,所以通解为 y?C1ln|x|?C2 ……….6分 x3、计算二重积分

??(xD3?y)yd?,其中D?{(x,y)|?1?x?1,0?y?1}.

??(xD3?y)yd???dy?(x3y?y2)dx ……….3分

0?111 ??10dy?y2dx?2?y2dy??10112 ……….6分 3nx2x3n?1x????(?1)?? 的收敛半径及收敛域. 4、求幂级数x?23n(?1)n?1n解 幂级数?x,

nn?1???lim|n??an?1n|?lim?1,所以收敛半径R?1 ……….4分 n??ann?1???1(?1)n?1x??1时,级数?发散;x?1时,级数?收敛.

nn?1nn?1故收敛域为 (?1,1]. ……….6分 5、计算曲面积分

2y??dS,其中??{(x,y,z)|x?y?z?1,x?0,y?0,z?0}. ?解 如图,曲面?:z?1?x?y,在xOy平面内投影为 D:x?y?1,x?0,y?0,故

2222ydS?y1?z?zdxdy ………2分 xy?????D ???yD23dxdy?3?dy?011?y0y2dx ……….4分

?31132y(1?y)dy?3(?)? ……….6分 ?034121四、(本题满分8分) 计算三重积分I?2222?,其中由抛物面与平面z?1围成闭区域. z?x?y(x?y)dv????解法一 先二后一,如图

I??dz??(x2?y2)dxdy ………3分

0Dz1x?rcos?,y?rsin???dz?012?0d??r3dr ………6分

0z?2??10z2?dz? ………8分 46

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