将式（b）代入（a），得d2wM?x??2?dxEI（c）由前述，当挠曲线开口向上时，弯矩M为正；另一方面，在上述坐标系中，开口向上曲线的二阶导数d2w与弯矩M同时为负。这样式（c）两端的符号一致，所以式（c）应写为2dxd2wdx2也为正。同理，当挠曲线开口向下（凹向下）时，其二阶导数d2wM?x??2dxEI（9 –19）这就是挠曲线近似微分方程。对方程（9 –19）逐次积分可得转角θ和挠度w。9.6 用积分法求弯曲变形对等截面梁，EI是常量。将微分方程式（9–19）积分一次得转角方程dw1(9 –20）???M?x?dx?C?dxEI再积分一次得挠曲线方程1（9 –21）w?Mxdxdx?Cx?D??EI??式中C，D是积分常数，可利用边界条件（即梁上某些截面的已知位移）确定。例如，在铰支座处挠度等于零；在固定端处，挠度和转角均等于零。例9 –5图9 –11 所示悬臂梁，试求其自由端B的转角和挠度。解：（1）取坐标轴如图，列弯矩方程M?x???F?l?x?（2）建立微分方程并积分挠曲线近似微分方程wAxlθFBwBxF?l?x?dw??2dxEI2图9-11积分一次得dw1?F2?????x?Flx?C?dxEI?2?再积分一次得（a）1?F3Fl2?w??x?x?Cx?D?EI?62?（3）确定积分常数在固定端A处转角和挠度均为零，即（b）当x = 0时，θ= 0，w = 0。分别代入（a），（b），得C= 0，D= 0故得转角方程1?F2???x???x?Flx?EI?2?（c）挠曲线方程1?F3Fl2?w?x???x?x?EI?62?（d）（4）求，?BwB将x = l代入式（c），（d），有2?1?Fl2Fl?B???Fl2???EI?22EI?（）（?）1?Fl3Fl3?Fl3wB??????EI?62?3EI9.7 用叠加法求弯曲变形在小变形且材料服从胡克定律的条件下，所导得的式（9 –19）是线性微分方程，于是其解可叠加。即梁在几个载荷共同作用下产生的变形，等于各个载荷单独作用时产生的变形的代数和，这种方法称为叠加法。用叠加法求梁的变形时，需已知梁在简单载荷作用下的变形。为此列表9 –1，以便查用。例9 –6用叠加法求图9 –12a所示外伸梁外伸端D的挠度与转角。EI为已知常数，F1=F2=F。F2Al2F1Bl2解：可以将原外伸梁的变形看作是图9 –12b，c 两种简单情况的叠加。当F1单独作用时（图9 –12b）由表9–1第11栏查出D截面的转角单击查表F1aFa??D?F1???2l?3a????2l?3a?（6EI6EID点的挠度CDa(a)）?wD?F1F1aFa???l?a????l?a?3EI3EI22( ?)