对式（8-54）在0~t间积分，有 e?Atx(t)??e?A?Bu(?)d?
00tt整理后可得式（8-53）
x(t)?φ(t)x(0)?φ(t??)Bu(?)d?
0?t 很明显，式（8-52）的解x(t)是由两部分组成：等式右边第一项表示由初始状态引起的自由运动，第二项表示由控制激励作用引起的强制运动。 [例8-7] 试求下述系统在单位阶跃函数作用下的解
1??0?0?? x???x??1?u
?2?3????解 （1）先求φ(t)
从上例已求出
?2e?t?e?2te?t?e?2t? φ(t)?? ?t?2t?t?2t??e?2e???2e?e?0? （2）将b???，u(t)?1(t)代入式（8-53）
?1??2e?t?e?2tx(t)???t?2t??2e?e?2e?t?e?2t???t?2t??2e?ee?t?e?2t??x1(0)?t?e?(t??)?e?2(t??)?????(t??)d? ??t?2t???2(t??)?0?e?2e??x2(0)??2e??e?1?t?2t?e?t?e?2t??x1(0)???e?e? ??2??t?2t???e?2e??x2(0)??e?t?e?2t???
四、 离散时间系统状态方程的解
离散时间状态方程有两种解法：递推法和z变换法。这里只介绍常用的递推法，对z变换法感兴趣的读者可参阅有关书籍。
线性定常离散时间系统的状态方程为 x(k?1)?Gx(k)?Hu(k)
x(k)k?0?x(0) （8-55） 用迭代法解矩阵差分方程（8-55） k?0,x(1)?Gx(0)?Hu(0)
k?1,x(2)?Gx(1)?Hu(1)?G2x(0)?GHu(0)?Hu(1)
k?2,x(3)?Gx(2)?Hu(2)?G3x(0)?G2Hu(0)?GHu(1)?Hu(2)
???
k?k?1,x(k)?Gx(k?1)?Hu(k?1)?Gkx(0)?Gk?1Hu(0)???GHu(k?2)?Hu(k) 即 x(k)?Gx(0)?k?Gj?0k?1k?j?1Hu(j) （8-56）
式（8-56）即为线性定常离散时间系统的状态方程（8-55）的解 五、 连续时间状态空间表达式的离散化
数字计算机所处理的数据是数字量，它不仅在数值上是整量化的，而且在时间上是离散化的。如果采用数字计算机对连续时间状态方程求解，那么必须先将其化为离散时间状态方程。当然，在对连续受控对象进行在线控制时，同样也有一个将连续数学模型的受控对象离散化的问题。
离散按一个等采样周期T的采样过程处理，即将t变为kT，其中T为采样周期，而
310
k?0,1,2,?为一正整数。输入量u(t)则认为只在采样时刻发生变化，在相邻两采样时刻之间，u(t)是通过零阶保持器保持不变的，且等于前一个采样时刻之值，换句话说，在kT和(k?1)T之间，u(t)?u(kT)?常数。
在以上假定情况下，对于连续时间的状态空间表达式
??Ax?Buxy?Cx?Du
将其离散化后，则得离散时间状态空间表达式为
x(k?1)?G(T)x(k)?H(T)u(k) （8-57）
y(k)?Cx(k)?Du(k)式中 G(T)?eAT H(T)??e0tAtdtB （8-58）
在采样周期T较小时，一般当其为系统最小时间常数的110左右时，离散化的状态方程可进似表示为
x[(k?1)T]?(TA?I)x(kT)?TBu(kT) （8-59） 即
G(T)?TA?I
H(T)?TB第三节 线性定常系统的能控性和能观性
在控制工程中，有两个问题经常引起设计者的关心。那就是加入适当的控制作用后，能否在有限时间内将系统从任一初始状态控制（转移）到希望的状态上，以通过对系统输出在一段时间内的观测，能否判断（识别）系统的初始状态。这便是控制系统的能控性与能观性问题。控制系统的能控性及能观性是现代理论中很重要的两个概念。在多变量最优控制系统中，能控性及能观性是最优控制问题解的存在性问题中最重要的问题，如果所研究的系统是不可控的，则最优控制问题的解是不存在的。
一、能控性问题
能控性所考察的只是系统在控制作用u(t)的控制下，状态矢量x(t)的转移情况，而与输出y(t)无关，所以只需从状态方程的研究出发即可。
1．线性连续定常系统的能控性定义 线性连续定常系统
??Ax?Bu （8-60） x如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间[t0,tf]内，使系统由某一初始状态x(t0)，转移到指定的任意终端状态x(tf)，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。
2．能控性的判别
线性连续定常单输入系统
??Ax?bu （8-61） x其能控的充分必要条件是由A,b构成的能控性矩阵
AbA2b?An?1b （8-62）
满秩，即rankM?n。否则当rankM?n时，系统为不能控的。
下面来推导系统状态完全能控的条件，在不失一般性的条件下，假设终端状态x(tf)为
M?b状态空间的原点，并设初始时间为零，即t0?0。
方程（8-60）的解为 x(t)?ex(0)?由能控性定义，可得
At???t0eA(t??)bu(?)d?
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x(tf)?0?eAtfx(0)??e0tfA(tf??)bu(?)d?
即 x(0)??注意到e?A??tf0e?A?bu(?)d? （8-63）
可写成
?A? e???k(?)Ak （8-64）
k?0n?1将方程（8-64）代入方程（8-63）中，可得 x(0)??设
?Akb??k(?)u(?)d? （8-65）
k?0tf0n?1tf?0?k(?)u(?)d???k
那么方程（8-65）变为
x(0)???Ab?kk?0n?1k
??0????1?n?1? ??bAb?Ab （8-66） ??????n?1??要是系统能控，则对任意给定的初始状态x(t0)，应能从式（8-66）解出?0,?1,?,?n?1??来，因此，必须保证
M?bAbA2b?An?1b 的逆存在，亦即其秩必须等于n。
同理，可以证明，对于多输入系统
??Ax?Bu （8-67） x其能控的充分必要条件是由A,B构成的能控性矩阵
??A2B?An?1B （8-68）
满秩，即rankM?n。否则当rankM?n时，系统为不能控的。
需要注意的是，对于单输入系统，M阵为n?n的方阵，rankM?n与M的行列式的值不为零是等价的，故可以通过计算M的行列式的值是否为零来判断M是否满秩。而对于多输入系统，此时M为n?nr的矩阵，其秩的确定一般的说要复杂一些。由于矩阵M和MT积MMT是n?n方阵，而它的秩等价于M的秩，因此可以通过计算方阵MMT的秩来确定M的秩。
M?B?AB?[例8-8] 已知某系统如下，试判断其是否能控。
??45???5?? x???x??1?u
10??????525?解 M??bAb??? ??1?5?显然其秩为1，不满秩，故系统为不能控的。
[例8-9] 试判断下列系统的能控性。
?121??10????010?x??01?u x???????103???00?? 312
?101224???2解 M?BABAB?010101
????001042???26617???T MM?632
????17221????易知MM是满秩的，故M满秩，系统是能控的。实际上在本例中，M的满秩从M矩阵
前三列即可直接看出，它包含在 ?BT?1012??
AB???0101????0010??的矩阵中，所以在多输入系统中，有时并不一定要计算出全部M阵。这也说明，在多输入
系统中，系统的能控性条件是较容易满足的。
3．输出能控性概念
如果需要控制的是输出量，则需研究输出能控性。输出能控性定义为 对于系统
y?Cx?Du在有限时间区间t?[t0,tf]，存在一个无约束的分段连续的控制输入u(t)，能使任意初始
输出y(t0)转移到任意终端输出y(tf)，则称系统是输出完全能控的，简称输出能控。
系统输出能控的充分必要条件是
S?CBCABCAB?CABD （8-69） 的秩为输出变量的数目m。即 rankS?m
状态能控与输出能控是两个概念，其间没有什么必然联系。
二、能观性问题
控制系统大多采用反馈控制形式。在现代控制理论中，其反馈信息是由系统的状态变量组合而成。但并非所有的系统的状态变量在物理上都能测取到，于是便提出能否通过对输出的测量获得全部状态变量的信息，这便是系统的能观测问题。
1．能观性定义
能观性表示的是输出y(t)反映状态矢量x(t)的能力，与控制作用没有直接关系，所以分析能观性问题时，只需从齐次状态方程和输出方程出发，即
??Ax?Bux
?2n?1?y?Cx如果对任意给定的输入u(t)，在有限的观测时间tf?t0，使得根据[t0,tf]期间的输出
y(t)能唯一地确定系统在初始时刻的状态x(t0)，则称状态x(t0)是能观的。若系统的每一
个状态都是能观的，则称系统是状态完全能观测的。
2．能观性的判别 线性连续定常系统
??Ax;x(t0)?x0x （8-70）
??Axx （8-71）
y?Cx其能观的充分必要条件是由A,C构成的能观性矩阵
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