?1??1x1?x2x?2??1x2?x3x???q?1??1xq?1?xqx?q??1xq?u x?q?1??q?1xq?1?ux???n??nxn?uxy?c1qx1?c1(q?1)x2???c12xq?1?c11xq?cq?1xq?1???cnxn用矢量矩阵形式表示为
?1???1?x?x?2??0????????????x?q?1???0?x?q??0?????xq?1??0?????????n??x???0?1?1?000?001?000?0??00???1?0?0??000?10000?10?0?q?1?00??x1??0??x??0?0???2???????????????0??xq?1??0??u0??xq??1??????0??xq?1??1????????????????n??1?????xn?????????y?c1q?c1(q?1)?c12c11cq?1
?x1??x??2??????x?cn?q?1??xq????xq?1???????xn???? （8-39）
五、离散时间系统的状态空间表达式
连续时间系统的状态空间方法，完全适用于离散时间系统。 设系统差分方程为
y(k?n)?an?1y(k?n?1)???a1y(k?1)?a0y(k)?bnu(k?n)?bn?1u(k?n?1)???b1u(k?1)?b0u(k)式中k表示kT时刻，T为采样周期；y(k)，u(k)分别为kT时刻的输出、输入；ai，bi是
表征系统特征的常系数。相应的系统脉冲传递函数为
（8-40）
bnzn?bn?1zn?1???b1z?b0 W(z)?n （8-41）
z?an?1zn?1???a1z?a0式（8-41）与式（8-11）在形式上相同，故可以仿照式（8-19）写出离散时间系统的状态空间表达式
306
10?0??0?βn?1??0??β?01?0???n?2??????x(k)????u （8-42） x(k?1)???????000?1β???1?????a0?a1?a2??an?1???β0?? y(k)??100?0?x(k)?βnu
式中βi(i?0,1,?,n)可由下式求出
?1?a?n?1 ?an?2?????a0
1an?1?a11??an?10??βn??bn???β??b???n?1??n?1???βn?2???bn?2? ????????????1????β0????b0??第二节 线性定常系统状态方程的解
系统的状态空间描述的建立为分析系统的行为和特性提供了可能性。对系统进行分析的目的，是要揭示系统状态的运动规律和基本特性。下面我们通过求解状态方程来研究系统状态的运动规律。
一、线性定常齐次状态方程的解（自由解）
所谓系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。此时。状态方程为齐次状态方程
??Ax （8-43） x
设其解是t的向量幂级数
x(t)?b0?b1t?b2t2???bktk?? 式中x,b0,?,bk都是n维向量，则
?(t)?b1?2b2t??kbktk?1??x?A(b0?b1t?b2t???bkt??)2k
由对应项系数相等关系有
b1?Ab01b2?A2b02 ?1bk?Akb0k!?且x(0)?b0，故
1221kk x(t)?(I?At?At???At??)x(0)
2k!1221kkAt定义 e?I?At?At???At?? （8-44）
2k!?1kk ??At
k?0k!At则 x(t)?ex(0) （8-45）
??ax的解为x(t)?eatx(0)，eat称为指数函数，而向量微分方众所周知，纯量微分方程x 307
程的解在形式上与其是相似的，故把e二、 状态转移矩阵
At称为矩阵指数函数。
At 从式（8-45）可以看出，x(t)是由x(0)转移而来，对于线性定常系统，e又有状态
转移矩阵之称，并记作φ(t)，即eAt?φ(t)，所以式（8-45）又可以写成
x(t)?φ(t)x(0) （8-46）
1．状态转移矩阵的性质： 性质一
φ(t)φ(?)?φ(t??)
或 ee?e （8-47） 这是组合性质，它意味着从??转移到0，再从0转移到t的组合，即 φ(t?0)φ(0?(??))?φ(t?(??))?φ(t??)
性质二
AtA?A(t??)φ(t?t)?I （8-48） A(t?t)e?I 上述二性质可由式（8-44）的定义得到证明。本性质意味着状态矢量从时刻t又转移到时刻t，显然，状态矢量是不变的。
性质三
[φ(t)]?1?φ(?t)
或 [eAt]?1?e?At （8-49） 这个性质是，状态转移矩阵的逆意味着时间的逆转；利用这个性质，可以在已知x(t)的情况下，求出小于时刻t的x(t0),(t0?t)
性质四
对于状态转移矩阵，有
?(t)?Aφ(t)?φ(t)A φdAte?AeAt?eAtA （8-50） dtAt这个性质说明，φ(t)或e矩阵和A矩阵是可以交换的。
或
性质五
AtBt(A?B)t对于n?n方阵A和B，当且仅当AB?BA时，有ee?e；而当AB?BA时，则ee?e。
这个性质说明，除非A与B矩阵是可交换的，它们各自的矩阵指数函数之积与其和的矩阵指数函数不等价。这与标量指数函数的性质是不相同的。 2． φ(t)或e（1）根据e eAtAtBt(A?B)tAtAt的计算
或φ(t)的定义直接计算
1221At???Aktk?? 2k!1??0Ate[例8-5] 已知A??，求 ???2?3?223310010101????????ttAt?t??解 e?????2?3???2?3?2!??2?3?3!?? 01?????????I?At? 308
3273??231?t?t??t?t?t????26 ??? 775??2t?3t2?t3??1?3t?t2?t3???322??此法具有步骤简便和编程容易的优点，适合于计算机计算。但是采用此法计算难以获得解析
形式的结果。
（2）．利用拉氏反变换法求eAt
-1 eAt?φ(t)?￡ [(sI?A)?1] （8-51）
??Ax;证明 齐次微分方程x两边取拉氏变换
sX(s)?x(0)?AX(s)
x(0)?x0
即 (sI?A)X(s)?x(0)?x0 所以 X(s)?(sI?A)?1x0
对上式两边取拉氏反变换，从而得到齐次微分方程的解
-1 x(t)?￡[(sI?A)?1]x0
将上式和式（8-45）比较，故有
-1 eAt?φ(t)?￡[(sI?A)?1]
1??0Ate，求 ???2?3??s?1?解 sI?A?? ??2s?3??s?31?11?1 (sI?A)?adj(sI?A)??
?2ssI?A(s?1)(s?2)???s?31???2111????(s?1)(s?2)(s?1)(s?2)??? ?????s?1s?2s?1s?2?
?2s?12????2?2????(s?1)(s?2)(s?1)(s?2)???s?1s?2s?1s?2?[例8-6] 已知A??所以 eAt?2e?t?e?2t?￡[(sI?A)]???t?2t?2e?e?-1?1e?t?e?2t??
?e?t?2e?2t? 三、 线性定常系统非齐次方程的解
现在讨论线性定常系统在控制作用u(t)作用下的强制运动。此时状态方程为非齐次矩阵微方程
??Ax?Bu （8-52） x当初始时刻为t0?0，初始状态为x(0)时，其解为
x(t)?φ(t)x(0)?φ(t??)Bu(?)d? （8-53）
0?t式中φ(t)?e。
证明 采用类似标量微分方程求解的方法，将式（8-52）写成
??Ax?Bu x等式两边同时左乘e e即
?At?AtAt，得
??Ax)?e?AtBu(t) (xd?At[ex(t)]?e?AtBu(t) （8-54） dt309