第八章控制系统的状态空间分析与综合

?1??1x1?x2x?2??1x2?x3x???q?1??1xq?1?xqx?q??1xq?u x?q?1??q?1xq?1?ux???n??nxn?uxy?c1qx1?c1(q?1)x2???c12xq?1?c11xq?cq?1xq?1???cnxn用矢量矩阵形式表示为

?1???1?x?x?2??0????????????x?q?1???0?x?q??0?????xq?1??0?????????n??x???0?1?1?000?001?000?0??00???1?0?0??000?10000?10?0?q?1?00??x1??0??x??0?0???2???????????????0??xq?1??0??u0??xq??1??????0??xq?1??1????????????????n??1?????xn?????????y?c1q?c1(q?1)?c12c11cq?1

?x1??x??2??????x?cn?q?1??xq????xq?1???????xn???? (8-39)

五、离散时间系统的状态空间表达式

连续时间系统的状态空间方法,完全适用于离散时间系统。 设系统差分方程为

y(k?n)?an?1y(k?n?1)???a1y(k?1)?a0y(k)?bnu(k?n)?bn?1u(k?n?1)???b1u(k?1)?b0u(k)式中k表示kT时刻,T为采样周期;y(k),u(k)分别为kT时刻的输出、输入;ai,bi是

表征系统特征的常系数。相应的系统脉冲传递函数为

(8-40)

bnzn?bn?1zn?1???b1z?b0 W(z)?n (8-41)

z?an?1zn?1???a1z?a0式(8-41)与式(8-11)在形式上相同,故可以仿照式(8-19)写出离散时间系统的状态空间表达式

306

10?0??0?βn?1??0??β?01?0???n?2??????x(k)????u (8-42) x(k?1)???????000?1β???1?????a0?a1?a2??an?1???β0?? y(k)??100?0?x(k)?βnu

式中βi(i?0,1,?,n)可由下式求出

?1?a?n?1 ?an?2?????a0

1an?1?a11??an?10??βn??bn???β??b???n?1??n?1???βn?2???bn?2? ????????????1????β0????b0??第二节 线性定常系统状态方程的解

系统的状态空间描述的建立为分析系统的行为和特性提供了可能性。对系统进行分析的目的,是要揭示系统状态的运动规律和基本特性。下面我们通过求解状态方程来研究系统状态的运动规律。

一、线性定常齐次状态方程的解(自由解)

所谓系统的自由解,是指系统输入为零时,由初始状态引起的自由运动。此时。状态方程为齐次状态方程

??Ax (8-43) x

设其解是t的向量幂级数

x(t)?b0?b1t?b2t2???bktk?? 式中x,b0,?,bk都是n维向量,则

?(t)?b1?2b2t??kbktk?1??x?A(b0?b1t?b2t???bkt??)2k

由对应项系数相等关系有

b1?Ab01b2?A2b02 ?1bk?Akb0k!?且x(0)?b0,故

1221kk x(t)?(I?At?At???At??)x(0)

2k!1221kkAt定义 e?I?At?At???At?? (8-44)

2k!?1kk ??At

k?0k!At则 x(t)?ex(0) (8-45)

??ax的解为x(t)?eatx(0),eat称为指数函数,而向量微分方众所周知,纯量微分方程x 307

程的解在形式上与其是相似的,故把e二、 状态转移矩阵

At称为矩阵指数函数。

At 从式(8-45)可以看出,x(t)是由x(0)转移而来,对于线性定常系统,e又有状态

转移矩阵之称,并记作φ(t),即eAt?φ(t),所以式(8-45)又可以写成

x(t)?φ(t)x(0) (8-46)

1.状态转移矩阵的性质: 性质一

φ(t)φ(?)?φ(t??)

或 ee?e (8-47) 这是组合性质,它意味着从??转移到0,再从0转移到t的组合,即 φ(t?0)φ(0?(??))?φ(t?(??))?φ(t??)

性质二

AtA?A(t??)φ(t?t)?I (8-48) A(t?t)e?I 上述二性质可由式(8-44)的定义得到证明。本性质意味着状态矢量从时刻t又转移到时刻t,显然,状态矢量是不变的。

性质三

[φ(t)]?1?φ(?t)

或 [eAt]?1?e?At (8-49) 这个性质是,状态转移矩阵的逆意味着时间的逆转;利用这个性质,可以在已知x(t)的情况下,求出小于时刻t的x(t0),(t0?t)

性质四

对于状态转移矩阵,有

?(t)?Aφ(t)?φ(t)A φdAte?AeAt?eAtA (8-50) dtAt这个性质说明,φ(t)或e矩阵和A矩阵是可以交换的。

性质五

AtBt(A?B)t对于n?n方阵A和B,当且仅当AB?BA时,有ee?e;而当AB?BA时,则ee?e。

这个性质说明,除非A与B矩阵是可交换的,它们各自的矩阵指数函数之积与其和的矩阵指数函数不等价。这与标量指数函数的性质是不相同的。 2. φ(t)或e(1)根据e eAtAtBt(A?B)tAtAt的计算

或φ(t)的定义直接计算

1221At???Aktk?? 2k!1??0Ate[例8-5] 已知A??,求 ???2?3?223310010101????????ttAt?t??解 e?????2?3???2?3?2!??2?3?3!?? 01?????????I?At? 308

3273??231?t?t??t?t?t????26 ??? 775??2t?3t2?t3??1?3t?t2?t3???322??此法具有步骤简便和编程容易的优点,适合于计算机计算。但是采用此法计算难以获得解析

形式的结果。

(2).利用拉氏反变换法求eAt

-1 eAt?φ(t)?£ [(sI?A)?1] (8-51)

??Ax;证明 齐次微分方程x两边取拉氏变换

sX(s)?x(0)?AX(s)

x(0)?x0

即 (sI?A)X(s)?x(0)?x0 所以 X(s)?(sI?A)?1x0

对上式两边取拉氏反变换,从而得到齐次微分方程的解

-1 x(t)?£[(sI?A)?1]x0

将上式和式(8-45)比较,故有

-1 eAt?φ(t)?£[(sI?A)?1]

1??0Ate,求 ???2?3??s?1?解 sI?A?? ??2s?3??s?31?11?1 (sI?A)?adj(sI?A)??

?2ssI?A(s?1)(s?2)???s?31???2111????(s?1)(s?2)(s?1)(s?2)??? ?????s?1s?2s?1s?2?

?2s?12????2?2????(s?1)(s?2)(s?1)(s?2)???s?1s?2s?1s?2?[例8-6] 已知A??所以 eAt?2e?t?e?2t?£[(sI?A)]???t?2t?2e?e?-1?1e?t?e?2t??

?e?t?2e?2t? 三、 线性定常系统非齐次方程的解

现在讨论线性定常系统在控制作用u(t)作用下的强制运动。此时状态方程为非齐次矩阵微方程

??Ax?Bu (8-52) x当初始时刻为t0?0,初始状态为x(0)时,其解为

x(t)?φ(t)x(0)?φ(t??)Bu(?)d? (8-53)

0?t式中φ(t)?e。

证明 采用类似标量微分方程求解的方法,将式(8-52)写成

??Ax?Bu x等式两边同时左乘e e即

?At?AtAt,得

??Ax)?e?AtBu(t) (xd?At[ex(t)]?e?AtBu(t) (8-54) dt309

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