?1??1x1?x2x?2??1x2?x3x???q?1??1xq?1?xqx?q??1xq?u x?q?1??q?1xq?1?ux???n??nxn?uxy?c1qx1?c1(q?1)x2???c12xq?1?c11xq?cq?1xq?1???cnxn用矢量矩阵形式表示为
?1???1?x?x?2??0????????????x?q?1???0?x?q??0?????xq?1??0?????????n??x???0?1?1?000?001?000?0??00???1?0?0??000?10000?10?0?q?1?00??x1??0??x??0?0???2???????????????0??xq?1??0??u0??xq??1??????0??xq?1??1????????????????n??1?????xn?????????y?c1q?c1(q?1)?c12c11cq?1
?x1??x??2??????x?cn?q?1??xq????xq?1???????xn???? （8-39）
五、离散时间系统的状态空间表达式
连续时间系统的状态空间方法，完全适用于离散时间系统。 设系统差分方程为
y(k?n)?an?1y(k?n?1)???a1y(k?1)?a0y(k)?bnu(k?n)?bn?1u(k?n?1)???b1u(k?1)?b0u(k)式中k表示kT时刻，T为采样周期；y(k)，u(k)分别为kT时刻的输出、输入；ai，bi是
表征系统特征的常系数。相应的系统脉冲传递函数为
（8-40）
bnzn?bn?1zn?1???b1z?b0 W(z)?n （8-41）
z?an?1zn?1???a1z?a0式（8-41）与式（8-11）在形式上相同，故可以仿照式（8-19）写出离散时间系统的状态空间表达式
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10?0??0?βn?1??0??β?01?0???n?2??????x(k)????u （8-42） x(k?1)???????000?1β???1?????a0?a1?a2??an?1???β0?? y(k)??100?0?x(k)?βnu
式中βi(i?0,1,?,n)可由下式求出
?1?a?n?1 ?an?2?????a0
1an?1?a11??an?10??βn??bn???β??b???n?1??n?1???βn?2???bn?2? ????????????1????β0????b0??第二节 线性定常系统状态方程的解
系统的状态空间描述的建立为分析系统的行为和特性提供了可能性。对系统进行分析的目的，是要揭示系统状态的运动规律和基本特性。下面我们通过求解状态方程来研究系统状态的运动规律。
一、线性定常齐次状态方程的解（自由解）
所谓系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。此时。状态方程为齐次状态方程
??Ax （8-43） x
设其解是t的向量幂级数
x(t)?b0?b1t?b2t2???bktk?? 式中x,b0,?,bk都是n维向量，则
?(t)?b1?2b2t??kbktk?1??x?A(b0?b1t?b2t???bkt??)2k
由对应项系数相等关系有
b1?Ab01b2?A2b02 ?1bk?Akb0k!?且x(0)?b0，故
1221kk x(t)?(