图8-5 系统模拟结构图
dud2ud3u,,从图8-5可以看出，输入函数的各阶导数作适当的等效移动，就可以用图8-6adtdt2dt3表示，只要?0,?1,?2,?3系数选择适当，从系统的输入输出看，二者是完全等效的。将综
合点等效地移到前面，得到等效模拟结构图如图8-6b所示。
图8-6 系统模拟结构图
从图8-6b容易求得其对应的传递函数为
W(s)???3(s3?a2s2?a1s?a0)??2(s2?a2s?a1)??1(s?a2)??0s?a2s?a1s?a0s?a2s?a1s?a03232
（8-15）
?3s3?(a2?3??2)s2?(a1?3?a2?2??1)s?(a0?3?a1?2?a2?1??0) 298
为求得?i令式（8-15）与式（8-12）相等，由此得出
?3?b3a2?3??2?b2
a1?3?a2?2??1?b1a0?3?a1?2?a2?1??0?b0故得
?3?b3?2?b2?a2?3 （8-16）
?1?b1?a1?3?a2?2?0?b0?a0?3?a1?2?a2?1
为便于记忆可将式（8-16）写成式（8-17）的形式
?1?a?2?a1??a001a2a1001a20??β3??b3??β??b?0???2???2? （8-17） 0??β1??b1??????1??β0??b0?将图8-6a的每个积分器的输出选做状态变量，如图所示，可得这种结构下的状态空间表达式
?1?x2?β2ux?2?x3?β1ux?3??a0x1?a1x2?a3x3?β0uxy?x1?β3u
即
?1??0?x?x?2???0?????3???a0?x??10?a10??x1??β2??x???β?u1???2??1??a2????x3????β0???x1???βuy??100??x23????x3??10?0?a101?0???? （8-18）
扩展到n阶系统，其状态空间表达式可以写为
?1??0?x?x?2??0??? ??????????xn?1???0??n??x????a0?a2?0??x1??βn?1??x??β?0???2??n?2??????????u （8-19）
?????1??xn?1??β1??an?1????xn????β0???x1??x??2? y??100?0?????βnu
??x?n?1???xn??
299
式中βi(i?0,1,?,n)可由下式求出
?1?a?n?1 ?an?2?????a01an?1?a11??an?10??βn??bn???β??b???n?1??n?1???βn?2???bn?2? （8-20） ????????????1????β0????b0?? [例8-3] 已知系统的输入输出微分方程为
???5???7y??3y?u???3u??2u ?yy试列写其状态空间表达式。
解 由微分方程系数知a2?5,a1?7,a0?3,b3?0,b2?1,b1?3,b0?2 （1）按式（8-14）所示的方法列写
?1??010??x1??0??x?x??x???0?u?2???001?????2?????3???3?7?5????1???x???x3???
x?1??y??231??x2????x3??（2）按式（8-19）所示的方法列写，首先根据式（8-20）的计算公式求βi。
?1?5 ??7??3000??β3??0??β3??0??β??1??β??1?100?2?????? 即?2????
?β1???2?510??β1??3??????????751??β0??2??β0??5?
按照式（8-19）所示的方法直接写出状态空间表达式
?1??010??x1??1??x?x??x????2?u?2???001?????2?????3???3?7?5????5???x???x3???
?x1??y??100??x?2???x3??
值得注意的是，这两种方法所选择的状态变量是不同的。这一点可以从它们的模拟结构图（图8-4和图8-6a）中很清楚地看出。
三、从状态空间表达式求传递函数阵
以上介绍了由传递函数建立状态空间表达式的问题，即系统的实现问题。下面介绍从状态空间表达式求传递函数阵的问题。
设系统状态空间表达式为
??Ax?Buxy?Cx?Du （8-21）
令初始条件为零，求拉氏变换式
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x(s)?(sI?A)?1Bu(s)y(s)?[C(sI?A)B?D]u(s)?W(s)u(s)?1
则系统传递函数矩阵表达式为
W(s)?C(sI?A)?1B?D （8-22）
式中(sI?A)?1?adj(sI?A)，其中adj(sI?A)为(sI?A)的代数余子式，
dets(I?A)det(sI?A)为(sI?A)的特征行列式，则sI?A?0称为系统状态空间表达式的特征方
程，其解称为系统状态空间表达式的特征根。
W(s)是一个m?r矩阵函数，即
?W11(s)W12(s)?W1r(s)??W(s)W(s)?W(s)?21222r? W(s)??????????W(s)W(s)?W(s)m2mr?m1?其中各元素Wij(s)都是标量函数，它表征第j个输入对第i个输出的传递关系。当i?j时，
意味着不同标号的输入与输出有相互关联，称为耦合关系，这正是多变量系统的特点。 应当指出，同一系统，尽管其状态空间表达式是非唯一的，但它的传递函数矩阵是不变的。对于已知系统如式（8-21），其传递函数矩阵为式（8-22）。当作坐标变换，即令z?T时，该系统的状态空间表达式变为
?1x??T?1ATz?T?1Buz
y?CTz?Du~那么对应上式的传递函数矩阵W(s)应为
~ W(s)?CT(sI?T?1AT)?1T?1B?D?C[T(sI?T?1AT)?1T]B?D
?1?1?1?1 ?C[T(sI)T?TTATT]B?D
?1 ?C(sI?A)B?D?W(s)
即同一系统，其传递函数矩阵是唯一的。 四、状态空间表达式的线性变换及规范化 对于一个给定的定常系统，可以选取许多种状态变量，相应的就有许多种状态空间表达式描述同一系统，也就是说系统可以有多种结构形式。所选取的状态矢量之间，实际上存在着一种矢量的线性变换。
1．设给定系统为
??Ax?Bu;x(0)?x0xy?Cx?Du （8-23）
我们总可以找到任意一个非奇异矩阵T，将原状态矢量x作线性变换，得到另一状态矢量z，设变换关系为 x?Tz 即 z?Tx
代入式（8-23），得到新的状态空间表达式
?1??T?1ATz?T?1Bu;z(0)?T?1x(0)?T?1x0zy?CTz?Du很明显，由于T为任意非奇异矩阵，故状态空间表达式为非唯一的。通常称T为变换矩阵。
?1对系统进行线性变换的目的在于使TAT阵规范化，以便于揭示系统特性及分析计算。其
理论依据是非奇异变换并不会改变系统的原有的性质。这是因为对于式（8-23），系统特征
?1值为?I?A?0的根，经过线性变换后为式（8-24），则特征值为?I?TAT，而
（8-24）
?1?1?1?1?1 ?I?TAT??TT?TAT?T?T?TAT
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