事故树分析
= 0.1[1-(1-0.1)(1-0.1)] = 0.019
但当事故树中含有重复出现的基本事件时, 或基本事件可能在几个最小割集中重复出现时, 最小割集之间是相交的, 这时, 应按以下几种方法计算。 1.状态枚举法
设某事故树有 n 个基本事件, 这 n 个基本事件两种状态的组合数为 2 个。根据事故树模型的结构分析可知, 所谓顶事件的发生概率,是指结构函数φ(x)=1的概率。因此,顶事件的发生概率P(T)可用下式定义:
n
式中 P -- 基本事件状态组合序号;
φp(X) -- 第 p 种组合的结构函数值。(1或 0); qi -- 第 i 个基本事件的发生概率; Yi -- 第 i 个基本事件的状态值(1或0)。
从式 (3-17) 可看出: 在 n 个基本事件两种状态的所有组合中,只有当φp(X)=1 时,该组合才对顶事件的发生概率产生影响。所以在用该式计算时,只需考虑φp(X)=1的所有状态组合。首先列出基本事件的状态值表, 根据事故树的结构求得结构函数φp(X)值,最后求出使φp(X)=1的各基本事件对应状态的概率积的代数和,即为顶事件的发生概率。
[ 例 3-7 ] 试用式(3-17) 计算图 3-15 所示事故树的顶事件发生概率。 解: 基本事件的状态组合及顶事件的状态值见表3-14, 并列出每一种状态所对应的qp(q)和qp,因而得到:
该方法规律性强, 适于编制程序上机计算, 可用来计算较复杂系统事故发生概率。但当 n 值较大时, 计算中要涉及2个状态组合, 并需求出相应顶事件的状态, 因而计算工作量很大, 花费时间较长。 表 3-14 事故树 P(T) 计算表 X1 X2 X3 φ(X) qp(q) q1(1- q2)q3 Page 37 of 58
n
qp 0 0 0 0 0 000 001 010 011 0 0 0 0 0 1
事故树分析
100 101 110 111 P(T) 2.最小割集法
事故树可以用其最小割集的等效树来表示。这时, 顶事件等于最小割集的并集。 设某事故树有是个最小割集: E1 、 E2 、?、 Er、?、 Ek, 则有:
1 1 q1q2(1- q3) 0 0 0 0 0 q1q2q3 0.019 0.009 0.009 0.001
顶事件的发生概率为：
根据容斥定理得并事件的概率公式:
设各基本事件的发生概率为: q1 、 q2 、?、 qn , 则有:
故顶事件的发生概率为:
式中 r 、 s 、 t -- 最小割集的序数,r < s < t; i -- 基本事件的序号,xi �Er; k -- 最小割集数;
1 ≤r Page 38 of 58 事故树分析 xi �Er -- 属于第 r 个最小割集的第 i 个基本事件 ; xi �Er UEs--属于第 r 个或第 5 个最小割集的第 i 个基本事件。 3. 最小径集法 根据最小径集与最小割集的对偶性, 利用最小径集同样可求出顶事件的发生概率。 设某事故树有k个最小径集: P1、P2、? Pr、? Pk . 用 Dr(r=1,2, ?,k) 表示最小径集不发生的事件 , 用T表示顶事件不发生。由最小径集的定义可知, 只要 k 个最小径集中有一个不发生, 顶事件就不会发生, 则: ? 即： 根据容斥定理得并事件的概率公式: 故顶事件的发生概率为： 式中 Pr -- 最小径集 (r=1,2, ?,k) r 、 s -- 最小径集的序数,r < s; Page 39 of 58 事故树分析 k -- 最小径集数; (1-qi)-- 第 i 个基本事件不发生的概率; xi �Pr -- 属于第 r 个最小径集的第 i 个基本事件 ; xi �Pr UPs--属于第 r 个或第s个最小径集的第 i 个基本事件。 例题解答 [ 例 3-8] 以图3-12事故树为例, 试用最小割集法、最小径集法计算顶事件的发生概率。 解: 该事故树有三个最小割集: E1={X1, X2, X3,}; E2={X1, X4}; E3={X3, X5} 事故树有四个最小径集: P1={X1, X3,}; P2={X1, X5}; P3={X3, X4}; P3={X2, X4, X5} 设各基本事件的发生概率为: q1 =0.01; q2=0.02; q3=0.03; q4=0.04; q5=0.05 由式(3-18)得顶事件的发生概率: P(T)=q1q2q3+ q1q4+ q3q5-q1q2q3q4- q1q2q3q4q5- q1q3q4q5- q1q2q3q5q3+ q1q2q4q3q5 代人各基本事件的发生概率得 P(T)=0.001904872。 由式 (3-19) 得顶事件的发生概率: P(T)=1-[(1- q1)(1- q3)+(1- q1)(1- q5)+(1- q3)(1- q4) +(1- q2)(1- q4)(1- q5)] +(1- q1)(1- q3)(1- q5)+(1- q1)(1- q3)(1- q4) +(1- q1)(1- q3)(1- q5) +(1- q1)(1- q3)(1- q4) +(1- q1)(1- q2)(1- q4)(1- q5) +(1- q2)(1- q3)(1- q4)(1- q5) -(1- q1)(1- q2)(1- q3)(1- q4)(1- q5) =0.001904872 在上述三种顶事件发生概率的精确算法中, 后两种相对较简单。一般来说, 事故树的最小割集往往多于最小径集, 所以最小径集法的实用价值更大些。但在基本事件发生概率非常小的情况下, 由于计算机有效位有限。(1- qi)的结果会出现较大误差, 对此应引起注意。从后两种方法的计算项数看,两式的和差项数分别为(2-1) 与2 k k 项。当k足够大时, 就会产生 “组合爆炸”问题。如k=40, 则计算P(T)的式(3-18)共有 2-1=1.1×10, 每一项又是许多数的连乘积, 即使计算机也难以胜任。解决的办法就是化相交和为不交和, 再求顶事件发生概率的精确解。 Page 40 of 58 40 12