金圣才西方经济学考研真题与典型题详解(微观)3

替代效应为(27—12)=15(X),收入效应为(12-8)=4(X)。

2.某人有10万元的存款,存入银行可以获取2%的利率。他可以将一部分钱投入股票市场,现在假设股票市场仅仅存在一种股票,收益率和方差服从正态分布N(0.1,1),他

2

对于均值和方差的偏好为U(μ,σ)=10μ-σ,他应该将多少钱投放到股票市场上?(清华大学2004研)

解:设此投资者将x比例的钱投资放到股票市场上,则他存入银行的比例为(1-x)。 这样,可以把其投资看成是含有一种风险资产的投资组合。

其中,无风险利率rf?2%,风险资产的期望收益率rm?10%,标准差?m?1 则投资组合的期望收益率为:rX?xrm?(1?x)rf

?x?10%?(1?x)?2%?0.08x?0.02??x

标准差为: ?x?x??m?x 则对投资组合的偏好可表示为:

U(rx,?x)?10(0.08x?0.02)?x2

??x2?0.8x?0.2

投资者追求效用最大化,应满足:

U'(rx,?x)??2x?0.8?0

得:x=0.4

即投资者应将10?0.4?4(万元)的钱投放到股票市场上。

3.一个消费者,收入为120元,购买两种商品,效用为U(X1,X2)?X1X2。 (1)设商品价格分别为P1=12,P2=10,求消费者均衡;

(2)商品1的价格下降为P1=10,求商品1的替代效应和收入效应。(华中科技2004研)

解:(1)消费者效用最大化

MaxU(x1,x2)?xx

s.t p1x1?p2x2?m 即: s.t 12x1?10x2?120

11?12x1x2212MU1P消费者均衡时:?1,即211?

MU2P212?210x1x221212121122x212? x110解得:x1?5,x2?6 u?30

(2)当商品1价格下降为P1?10时,消费者均衡时: 同理:x1?x2?6

现求价格下降所造成的替代效应: 此时:x1x2?30

1212MU1P1x?1??2 MU2P21x1解得:x1?x2?30

替代效应为:30?5,收入效应为:6?30

4.假设王五的效用函数为U(I)?I,其中I代表以千元为单位的年收入。 (1)王五是风险中性的,风险规避的还是风险爱好型的,请解释。

(2)假设王五现在的年收入为10000元,该工作是稳定的,他可以获得另一份工作,收入为15000元的概率为0.5,收入为5000元的概率为0.5,王五将作何选择?(中山大学2004研)

解:(1)王五的货币边际效用为

MU(I)?3230.53I;U''(I)?I?0.5>0

42 货币的边际效用是递增的,所以王五是风险爱好者。

(2)王五获得另一份工作的期望收益为 E?15000?0.5?5000?0.5?10000

期望收益和原来的年收入一样,因为王五是风险爱好者,在期望收益相同时,王五会选择风险更大的工作,即王五将辞掉目前的工作,而找另一份工作。

5.某消费者的偏好由以下效用函数描述: U?(lnx1?2lnx2)/3,其中1nx是x的自然对数。商品1和商品2的价格分别为p1和p2,消费者的收入为m。(复旦大学2004研)

(1)写出消费者的最大化问题。

(2)求出需求函数x1(p1,p2,m)和x2(p1,p2,m)。

(3)设价格p1?p2?1,画出每种商品与此价格相对应的恩格尔曲线,该曲线描述了每种商品的需求和收入之间的关系(经济学家的习惯是把收入作为纵坐标)。

(4)设m?10,p2?5,画出商品1的需求曲线,该曲线描述了商品需求和价格之间的关系(经济学家的习惯是把价格作为纵坐标)。

(5)判断商品1和商品2是正常品还是低档品,是普通品还是吉芬品,是互补品还是替代品。

解:(1)max(lnX1?2lnX2)3

x1,x2s.t. p1X1?p2X2?m

(2)利用拉格朗日方法 L?

lnX1?2lnX2??(m?p1X1?p2X2)

3?L1???p1?0 ① ?X13X1

?L2???p2?0 ②

?X23X2 m?p1X1?p2X2 ③ 由①②③解得X1?m2m,X2? 3p13p2m2m,X2?,恩格尔曲线如图3.24所示。 33

图3.24 恩格尔曲线

(3)当p1?p2?1时,X1?(4)X1?m10 ,X1 的需求曲线如图3.25所示。 ?3P13P1

图3.25 需求曲线

(5)图3.24为X1,X2的需求随收入的增加而增加,故X1,X2 是正常品。 X1,X2的需求随价格的增加而减少,故X1,X2是普通品。 由X1,X2的表达式知,二者既不是替代品,也不是互补品。 6.某消费者的效用函数为U?xy,x和y是他所消费的两种商品,其价格分别为

Px?1和Py?2,他的收入为100,试问他对x和y的需求量各为多少?(重庆大学1999

研)

解:由题意得

?x?2y?100?x?2y?100?11?x?2y?100???1MU??MUxy????x2y2 11??MAX(U)??P?1?x2y2?2Py?x?2?2可得:??x?50

?y?256. 设张三仅消费x和y两种商品,他的效用函数为U=L0.57x0.06y0.09,其中L是张三每周的闲暇小时数。试求他最大化其效用函数时:

(1)他将选择每周工作多少小时?

(2)他将把收入的多大比例用于购买x? (3)他消费x的需求价格弹性。

(4)如果他的收入下降30%,Y的价格下降50%,他将过得更好还是更坏?(上海交通大学2007研)

解:(1)假设工人的工资率为w,商品x和y的价格分别为Px和Py,每周的总收入为(24×7-L)w=168w-Lw。

因此,张三的效用最大化问题为:

maxs..tL0.57x0.06y0.09Px?x?Py?y?w(168?L)?Px?x?Py?y?w?L?168w0.57?168w1??1330.57?0.06?0.09w0.06?168w114w x???0.57?0.06?0.09PxPxy?0.09?168w121w??0.57?0.06?0.09PyPy

利用拉格朗日乘数法可以解得:

L?因此,该工人每周工作的时间为:168-L=168?133?35(小时)

(2)该工人每周的总收入为:

(168?L)w?35w

所以,该消费者用于x的商品的支出比例为:

Px?x?0.4 35w(3)消费x的需求价格弹性为:

E??(4)原先消费者的效用为:

?xPx??1 ?Pxx14w0.0621w0.09U?1330.57()()PxPy?1330.57?140.06?210.09w0.15Px?0.06Py?0.09

由(1)可知,收入增加、商品y的价格变化不会改变张三的工作与休闲的时间。收入

下降30%主要表现为工资率减少30%。

因此,当收入下降30%,Y的价格下降50%时,张三的效用为:

U??1330.57?140.06?210.09(0.7w)0.15Px?0.06(0.5Py)?0.09

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