由右连续性limF(x)?F(x0)?1知x0?0，故①为0。
x?x0+从而③亦为0。即
?1,?F(x)??1?x2?1,?x?0x?0
34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律. 【解】设Ai={第i枚骰子出现6点}。（i=1,2）,P(Ai)=
抛掷出现6点}。则
P(C)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1)P(A2)
16.且A1与A2相互独立。再设C={每次
?16?16?16?111? 636 故抛掷次数X服从参数为
1136的几何分布。
35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9?
【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则
X~b(n,0.1)
P(X?1)?1?P(X?0)?1?Cn(0.1)(0.9)?0.9
n即 (0.9)?00n0 .得 n≥22
即随机数字序列至少要有22个数字。
36.已知
??0,?1?F（x）=?x?,2??1,??x?0,0?x?x?12.12,
则F（x）是（ ）随机变量的分布函数.
（A） 连续型； （B）离散型；
（C） 非连续亦非离散型.
【解】因为F（x）在（?∞,+∞）上单调不减右连续，且limF(x)?0
x???x???limF(x)?1,所以F（x）是一个分布函数。
但是F（x）在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F（x）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C）
37.设在区间[a,b]上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，则区间 [a,b]
33
等于（ ）
(A) [0,π/2]; (B) [0,π]; (C) [?π/2,0]; (D) [0,
【解】在[0,π2]上sinx≥0，且?ππ/2032π].
sinxdx?1.故f(x)是密度函数。
在[0,π]上?sinxdx?2?1.故f(x)不是密度函数。
0在[?在[0,π232,0]上sinx?0，故f(x)不是密度函数。 π]上，当π?x?32π时，sinx<0，f(x)也不是密度函数。
故选（A）。
38.设随机变量X~N（0，σ2），问：当σ取何值时，X落入区间（1，3）的概率最大？ 【解】因为X~N(0,?),P(1?X?3)?P(21?3?X??3?1)
??(利用微积分中求极值的方法，有
g?(?)?(?3?)??(?)令g(?)
?2)??(23?)?21??2??(1?1)
?1/2?2??312?2
??e?9/2?1?22?2e12??e?1/2?2[1?3e?8/2?令
]?0得?0?24ln3,则 ?0?
ln32又 g??(?0)?0 故?0?2ln32ln3为极大值点且惟一。
故当??时X落入区间（1，3）的概率最大。
39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P（λ），每个顾客购买某种物品的概率为p，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种
物品的人数Y的分布律. 【解】P(X?m)?e???mm!,m?0,1,2,?
设购买某种物品的人数为Y，在进入商店的人数X=m的条件下，Y~b(m,p)，即
34
P(Y?k|X?m)?Cmp(1?p)kkm?k,k?0,1,?,m
由全概率公式有
?P(Y?k)??P(Xm?k?m)P(Y?k|X?m)
???m?k??e???mm!??Cmp(1?p)kkm?k?e?m?kp(1?p)k!(m?k)!k??mkm?k ?e????(?p)k!k?m?k?[(?1pm?k)](m?k)!)
(?p)k!(?p)k!ek??e?(1?pe??p,k?0,1,2,?此题说明：进入商店的人数服从参数为λ的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊
松分布，但参数改变为λp.
40.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：Y=1?e?2X在区间（0，1）上服从均匀分布. 【证】X的密度函数为
?2e?2x,fX(x)???0,x?0x?0
由于P（X>0）=1，故0<1?e?2X<1，即P（0 ?2x?1?y) 当0 ?2xln(1?y)2edx?y即Y的密度函数为 ?1,fY(y)???0,0?y?1其他 即Y~U（0，1） 41.设随机变量X的密度函数为 35 ?1?3,??2f(x)=?,?9?0,??23130?x?1,3?x?6, 其他.若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范围. (2000研考) 【解】由P（X≥k）= 知P（X 若k<0,P(X 当k=1时P（X 13 10若1≤k≤3时P（X 29k?13?13若3 130?29233dx? 故只有当1≤k≤3时满足P（X≥k）= 42.设随机变量X的分布函数为 ?0,??0.4,F(x)=??0.8,?1,?. x??1,?1?x?1,1?x?3,x?3. 求X的概率分布. （1991研考） 【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系，可知X的概率分布为 X P ?1 0.4 1 0.4 3 0.2 43.设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为19/27，求A 在一次试验中出现的概率. 【解】令X为三次独立试验中A出现的次数，若设P（A）=p,则 X~b(3,p) 由P（X≥1）=故p= 131927827知P（X=0）=（1?p）3= 44.若随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？ 【解】 36