概率论与数理统计习题及答案
复旦大学韩旭
里 写永钦
习题 一
1．略.见教材习题参考答案.
2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件： （1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，C不发生； （3） A，B，C都发生；
（4） A，B，C至少有一个发生； （5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C不都发生；
（7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生. 【解】（1） ABC （2） ABC （3） ABC
（4） A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC (5) ABC=A?B?C (6) ABC
(7) ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC
3.略.见教材习题参考答案
4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A?B)=0.3，求P（AB）. 【解】 P（AB）=1?P（AB）=1?[P(A)?P(A?B)] =1?[0.7?0.3]=0.6
5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？ （2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？ 【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.
（2） 当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.
1
6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.
【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC)
=
14+
14+
13?
112=
34
7.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率
是多少？
533213【解】 p=C13C13C13C13/C52
8.对一个五人学习小组考虑生日问题：
（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.
【解】（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为7，有利事件仅1个，故 P（A1）=
1755
=（
17）5 （亦可用独立性求解，下同）
（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故
P（A2）=
6755=(
67)5
(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}
P（A3）=1?P(A1)=1?(
17)5
9.略.见教材习题参考答案.
10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n （2） n件是无放回逐件取出的； （3） n件是有放回逐件取出的. mn?mn【解】（1） P（A）=CMCN?M/CN (2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有PN种，n次抽取中有m 次为正品的组合数为Cn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正品中取m件的排列数有PM种，从N?M件次品中取n?m件的排列数为PN?M种，故 P（A）= CnPMPN?MPNnmmn?mmn?mmn 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成 P（A）= CMCN?MCnNmn?m 2 可以看出，用第二种方法简便得多. （3） 由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为N种，n 次抽取中有m次为正品的组合数为Cm种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，nm次取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，n?m次取得次品，每次都有N?M种取法，共有（N?M） n?m n 种取法，故 mP(A)?CnMm(N?M)n?m/N n此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为m件正品的概率为 M?m?M??P(A)?Cn?1????N??N??mn?mMN，则取得 11.略.见教材习题参考答案. 12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个 部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A={发生一个部件强度太弱} P(A)?C10C3/C50?13311960 13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个， 计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥. P(A2)?C4C3C7321?1835,P(A3)?C4C733?435 2235?P(A)3?故 P(A2?A3)?P(A)2 14.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求： （1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率. 【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2） (1) P(A1A2)?P(A1)P(A2)?0.7?0.8?0.56 (2) P(A1?A2)?0.7?0.8?0.7?0.8?0.94 (3) P(A1A2?A1A2)?0.8?0.3?0.2?0.7?0.38 15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止. （1） 问正好在第6次停止的概率； （2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率. 3 13111C4()()1115224?2 【解】（1） p1?C52()2()3? (2) p2?222325/32516.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球 数相等的概率. 【解】 设Ai={甲进i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则 3i?0P(?AiBi3)?(0.3)(0.4)?C30.7?(0.3)C30.6?(0.4)? 22223 C3(0.7)?0.3C3(0.6)0.4+(0.7)(0.6) 331212=0.32076 17．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率. 【解】 p?1?C5C2CCC22C1044111?121321 18.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求： （1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A={下雨}，B={下雪}. （1） p(BA)?P(AB)P(A)?0.10.5?0.2 （2） p(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.3?0.5?0.1?0.7 19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男 为女是等可能的）. 【解】 设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故 P(BA)?P(AB)P(A)?6/87/8?67 或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7. P(BA)?67 20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是 男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）. 【解】 设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式 P(AB)?P(AB)P(B)?P(A)P(BA)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.05?0.520? 0.0025 ?0.5?0.5?0.0?52121.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率. 4