点集拓扑学
合肥工业大学数学学院
预备知识
1.点集拓扑的定义
《点集拓扑学》课程是一门现代数学基础课程，属数学与应用数学专业的理论课。是数学与应用数学专业的主干课。点集拓扑学（Point Set Topology），有时也被称为一般拓扑学（General Topology），是数学的拓扑学的一个分支。它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质。这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。
2.点集拓扑的起源
点集拓扑学产生于19世纪。G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果。1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始。
3.一些参考书籍
（1）《拓扑空间论》，高国士，科学出版社，2000年7月第一版 （2）《基础拓扑讲义》，尤承业，北京大学出版社，1997年11月第一版 （3）《一版拓扑学讲义》，彭良雪，科学出版社，2011年2月第一版
第一章 集合论初步
在这一章中我们介绍有关集合论的一些基本知识．从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的知识等。
这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”，这对大部分读者已经是足够了．那些对集合的理论有进一步需求的读者，例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻辑的读者，建议他们去研读有关公理集合论的专著。
1.1 集合的基本概念
集合这一概念是容易被读者所理解的，它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体。例如我们常说“正在这里听课的全体学生的集合”, “所有整数的集合”等等．集合也常称为集。
集合（即通常所谓的“集体”）是由它的元素（即通常所谓的“个体”）构成的．例如正在这里听课的全体学生的集合以正在听课的每一个学生为它的元素；所有整数的集合以每一个整数为它的元素．元素也常称为元，点或成员．
集合也可以没有元素．例如平方等于2 的有理数的集合，既大于1 又小于2 的整数的集合都没有任何元素，这种没有元素的集合我们称之为空集，记作?。此外，由一个元素构成的集合，我们常称为单点集．
用文句来描述一个集合由哪些元素构成（像前面所作的那样），是定义集合的一个重要方式．此外，我们还通过以下的方式
｛x︱关于x 的一个命题P }
表示使花括号中竖线后面的那个命题P 成立的所有元素x构成的集合．集合表示方式中的竖线“︱”也可用冒号“: ”或分号“; ”来代替．此外，也常将一个集合的所有元素列举出来再加上花括号以表示这个集合．
我们常用：
N 表示全体正整数构成的集合，称为正整数集； Z 表示全体整数构成的集合，称为整数集； Q 表示全体有理数构成的集合，称为有理数集； R 表示全体实数构成的集合，称为实数集。
我们从前在数学的各种科目中学过诸如函数、偏序、运算以及等价等种种概念，它们的一个共同的特点在于给出了某些给定集合的元素之间的某种联系．为了明确地定义它们，我们先定义“关系”，而为了定义关系，又必需先有两个集合的笛卡儿积这个概念。
定义1.1.1设X和Y 是两个集合．集合(x,y)x?X,y?Y称为X与Y 的笛卡儿积，记作
??x称为(x,y)的第一个坐标，读为X叉乘Y 。其中(x,y)是一个有序偶，y称为(x,y)X?Y，
的第二个坐标．X称为X?Y的第一个坐标集，Y 称X?Y的第二个坐标集．集合X与自身的笛卡儿积X?X称为X的2 重（笛卡儿）积，通常简单记作X2. （有序偶的定义请参考书本）
1.2 集合的基本运算
（略。。。）
1.3关系
定义1.3.1 设X，Y是两个集合，如果R 是X与Y 的笛卡儿积X?Y 的一个子集，即
R?X?Y，那么就称R 是从X到Y 的一个关系。如果(x,y)?R，那么我们称x与y是
R相关的，并且记作xRy．若A?X，则Y的子集
?y?Y存在x?A,使得?x,y??R?
称为集合A 对于关系R 而言的象集，或者简单地称为集合A 的象集，或者称为集合A 的R 象，并且记作R(A)，R?X?称为关系R 的值域．
关系的概念是十分广泛的，大家很快便会看到，以前在另外的数学学科中学过的函数（映
射），等价，序，运算等等概念都是关系的特例．
定义1.3.2 设R 是从集合X到集合Y 的一个关系，即R?X?Y，这时笛卡儿积Y?X的子集
?(y,x)?Y?XxRy?是从集合Y 到集合X的一个关系，我们称它为关系R的逆，并且
?1?1?1?1R(B)是集合B 的R?1象，我们也常称它为集合B对于B?Y记作R。如果，X的子集
关系R而言的原象，或者集合B的R原象。特别，关系R的值域R(Y)也称为关系R的定义域．
定义1.3.3设R 是从集合X到集合Y的一个关系，S是从集合Y到集合Z的一个关系，称关系(x,z)?X?Z存在y?Y使得xRy并且ySz为关系R与关系S的复合或积，记作SOR. 定理1.3.4 设R是从集合X到集合Y的一个关系，S是从集合Y到集合Z的一个关系，T
是从集合Z到集合U的一个关系．则 ( l )(R)?1?1???R ；
( 2 )(S?R)?1?R?1?S?1 ；
( 3 )T?(S?R)?(T?S)?R
另外，对于X的任意两个子集A和B，我们有： （4）R(A?B)?R(A)?R(B)； （5）R(A?B)?R(A)?R(B)； （6）(S?R)(A)?S(R(A)).
定义1.3.5 集合X中的一个关系R称为集合X中的一个等价关系，如果它满足： （1）自反性，即?x?X,(x,x)?R，或者?(X)?R； （2）对称性，即若(x,y)?R，则(y,x)?R，或者R?1?R；
（3）传递性，即若(x,y)?R,(y,z)?R,则(x,z)?R，或者R?R?R.
1.4 映射
定义1.4.1 设F是从集合X到集合Y的一个关系．若对于每一个x?X，存在唯一的一个
y?Y使得xFy，则称F 是从X到Y的一个映射，并且记作F:X?Y.
定义1.4.2 设X1,X2,?,Xn是n个集合。从笛卡尔集X?X1?X2???Xn到它的第i个坐标集Xi的投射（或称第i个投射）Pi:X?Xi定义为对每一个x?(x1,x2,?,xn)?X，
Pi(x)?xi.
定义1.4.3 设R 是集合X中的一个等价关系．从集合X到它的商集X／R 的自然投射
p:X?X/R定义为对于每一个x?X,p(x)?[x]R.
第二章 拓扑空间与连续映射
2.1 拓扑空间与连续映射
从数学分析中读者已经熟知单变量和多变量的连续函数，它们的定义域和值域都是欧氏空间（直线，平面或空间等等）或是其中的一部分．在这一章中，我们首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义
度量空间之间的连续映射．然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射．随后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域，闭包，内部，边界，基和子基，序列等等。
2.2 度量空间与连续映射
首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义，一个函数f:R?R被称为在点x0?R处是连续的，如果对于任意实数??0，存在实数??0，使得对于任何
x?R，当x?x0??时，恒有f(x)?f(x0)??.在这个定义中只涉及两个实数之间的
距离（即两个实数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，而与实数的其它性质无关．关于多元函数的连续性情形也完全类似．以下我们从这一考察出发，抽象出度量和度量空间的概念．
定义2.2.1 设X是一个集合，?:X?X?R是映射．如果对于任何x,y,z?X，有 (1) 正定性，?(x,y)?0，并且?(x,y)?0当且仅当x?y； (2) 对称性，?(x,y)??(y,x)；
(3) 三角不等式，?(x,z)??(x,y)??(y,z). 则称?是X上的一个度量。
若?是集合X上的一个度量，则称偶对(X,?)是一个度量空间，或称X是一个具有度量?的度量空间．当度量?早有约定时，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们就称X是一个度量空间．此外，对于任意两点x,y?X，实数?(x,y)称为点x和点y之间的距离． 例2.2.2 实数空间R.
对于实数集合R，定义?:R?R?R如下：对于任意x,y?R,令
?(x,y)?x?y
容易验证?是R的一个度量，因此偶对(X,?)是一个度量空间．这个度量空间特别地称为实数空间或实直线，这里定义的度量?称为R的通常度量，并且常常略而不写?，简称R为实数空间．
例2.2.3 n维欧式空间R.
n对于实数集合R的n重笛卡尔集R?R?R???R，定义?:R?R?R如下： n对于任意的x?(x1,x2,?,xn),y?(y1,y2,?,yn)?R，令
nnn?(x,y)??(xi?1nni?yi)2.
容易验证?是Rn的一个度量，因此偶对(R,?)是一个度量空间．这个度量空间特别地称为n维欧氏空间．这里定义的度量?称为Rn的通常度量，并且常常略而不写?，而称Rn为n维欧氏空间．2维欧氏空间通常称为欧氏平面或平面． 例2.2.4 Hilbert空间
记H为平方收敛的所有实数序列构成的集合，即：
???2H??x?(x1,x2,?)xi?R,i?N,?xi???
i?1??定义?:H?H?R如下：对任意的x?(x1,x2,?),y?(y1,y2,?)?H，
?(x,y)??(xi?1?i?yi)2
容易验证?是H的一个度量，偶对（H，?）是一个度量空间，这个度量空间称为Hilbert
空间。这里定义的度量?称为H的通常度量，并且常常略而不写?，而称H为Hilbert空间．
例2.2.5 离散的度量空间
设(X, ?)是一个度量空间．称(X, ?)是离散的，或者?称是X的一个离散度量，如果对于每一个x?X，存在一个实数?x?0使得对于任何y?X,(y?x)，都有?(x,y)??x.例如我们假定X是一个集合，定义?使得对于任何x,y?X，有：
?(x,y)???1,x?y;
?0,x?y.容易验证?是X的一个离散度量。因此度量空间(X, ?)是离散的。
离散的度量空间或许是我们以前未曾接触过的一类空间，但今后会发现它的性质是简单的． 定义2.2.6 设(X, ?)是一个度量空间，对于任意给定的实数??0，定义
B(x,?)??y?X?(x,y)???
B(x,?)称为以x为中心，?为半径的球形邻域，简称为x的一个?邻域。
定理2.2.7 度量空间(X, ?)的球形邻域具有以下基本性质：
（1） 每一点x至少有一个球形邻域U，并且点x属于它的每一个球形邻域； （2） 对于点x的任意两个球形邻域U，V，存在x的一个球形邻域W同时包含于U与V中； （3） 如果y属于x的某一个球形邻城U，那么y有一个球形邻域V?U.
证明：（1）设x?X，对每一个实数??0，B(x,?)是x的一个球形邻域，这说明x至少
有一个球形邻域；由于?(x,x)?0??，故x属于它的每一个球形邻域。 （2）设B(x,?1)和B(x,?2)是x的两个球形邻域，任意选取实数
??0，使得
??min{?1,?2}，则易见B(x,?)?B(x,?1)?B(x,?2)，即B(x,?)满足要求。
（3）设y?B(x,?),令?1????(x,y).显然，?1?0，若z?B(y,?1)，则
?(z,x)??(z,y)??(y,x)??1??(y,x)??
所以z?B(x,?)，这就证明了B(y1,?1)?B(x,?).
定义2.2.8 设A 是度量空间X的一个子集．如果A中的每一个点都有一个球形邻域包含于A（即对于每个a?A，都存在实数??0使得B(a,?)?A，那么称A是度量空间X中的一个开集．
例2.2.9 实数空间R中的开区间都是开集．
设a,b?R且a?b，则开区间(a,b)?x?Ra?x?b是R中的一个开集。这是因为 如果x?(a,b),令??min{x?a,b?x}，则B(x,?)?(a,b).
同样容易证明无限的开区间(a,??),(??,b),(??,??)都是R中的开集。而闭区间
??[a,b]?{x?Ra?x?b}却不是R中的开集。因为对于a?[a,b]以及任何??0，
B(a,?)?[a,b]都不成立。类似地，半开半闭区间(a,b],[a,b)以及无限区间[a,??)和(??,b]都不是R中的开集。
定理2.2.10度量空间X中的开集具有以下性质： (1)集合X本身和空集?都是开集；
(2)任意两个开集的交是一个开集；
(3)任意一个开集族（即由开集构成的族）的并是一个开集．
证明：(1)根据定理2.2.7(1)，X中每个元素x都有一个球形邻域，这个球形邻域当然包含在X中，所以X满足开集的条件；空集?中不包含任何一个点，也自然地可以认为它满足开集的条件．
(2)设U和V是X中的两个开集．如果x?U?V，那么存在x的一个球形邻域B(x,?1)包含于U，同时也存在x的一个球形邻域B(x,?2)包含于V．根据定理2.2.7(2)，x有一个球形邻域B(x,?)同时包含于B(x,?1)和B(x,?2)，因此:
B(x,?)?B(x,?1)?B(x,?2)?U?V
由于U?V中的每一点都有一个球形邻域包含于U?V，所以U?V是一个开集． ( 3 ）设A是一个由X中的开集构成的子集族，如果x??A,那么存在A0?A使得
x?A0．由于A0是一个开集，所以x有一个球形邻域包含于A0，显然这个球形邻域也包
含于?A．这证明?A是X中的一个开集． 此外，根据定理2.2.7，每一个球形邻域都是开集．
为了讨论问题的方便，我们将球形邻域的概念稍稍作一点推广.
定义2.2.11 设x是度量空间X中的一个点，U是X的一个子集．如果存在一个开集V满足条件：x?V?U，那么称U是点x的一个邻域．
经过这样的推广以后，邻域就不一定是开集了。比如：实数空间中的区间[a,b),除了a点以外，该区间是其中任意一点的邻域。
下面这个定理为邻域的定义提供了一个等价的说法，并且表明从球形邻域推广为邻域是自然的事情．
定理2.2.12 设x是度量空间X中的一个点，则X的子集U是x的一个邻域的充分必要条件是x有某一个球形邻域包含于U .
证明：如果U是点x的一个邻域，根据邻域的定义,存在开集V使得x?V?U，又根据开集的定义，x有一个球形邻域包含于V, 从而这个球形邻域也就包含于U，这证明U满足定理的条件．反之，如果U满足定理中的条件，由于球形邻域都是开集，因此U是x的邻域．
现在我们把数学分析中的连续函数的概念推广为度量空间之间的连续映射． 首先回忆一下在数学分析中学过的连续函数的定义： 函数f:R?R称为在x0?R处是连续的
????0,???0,使得?x?R，当x?x0??时，恒有f(x)?f(x0)??
????0,???0,使得?x?R，当x0???x?x0??时，恒有
f(x0)???f(x)?f(x0)??
????0,???0,使得?x?(x0??,x0??)，恒有f(x)?(f(x0)??,f(x0)??) ????0,???0,使得f(x0??,x0??)?(f(x0)??,f(x0)??)
定义2.2.13 设X和Y是两个度量空间，f:X?Y是映射且x0?X．若对于f(x0)的任何球形邻域B(f(x0),?)，都存在x0的某个球形邻域B(x0,?)使得
f(B(x0,?))?B(f(x0),?)
则称映射f在点x0处是连续的．
若映射f在X的每一个点x处连续，则称f是一个连续映射．
以上的这个定义是数学分析中函数连续性定义的推广．下面的这个定理是把度量空间和度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的出发点。
定理2.2.14 设X和Y是两个度量空间，f:X?Y是映射且x0?X．则下述条件(1)和(2)分别等价于条件(1) 和(2)： (1) f在点x0处是连续的；
**(1)*f(x0)的每一个邻域的原象是x0的一个邻域；
(2) f是一个连续映射；
(2)* Y中的每一个开集的原象是X中的一个开集．
证明：(1)? (1)*设(1)成立．令U为f(x0)的一个邻域，由定理2.2.12 , f(x0)有球
形邻域B(f(x0),?)包含于U．由于f在点x0处是连续的，故x0有一个球形邻域B(x0,?)，使得f(B(x0,?))?B(f(x0),?)．又f?1(B(f(x0),?))?f?1(U)，故B(x0,?)?f?1(U)
这证明f?1(U)是x0的一个邻域。
?1(1)*?(1)设(1)*成立，则对任意给定的f(x0)的球形邻域B(f(x0),?)，f(B(f(x0),?))是x0的一个邻域，根据定理2.2.12, x0有一个球形邻域B(x0,?)包含于
f?1(B(f(x0),?))．因此f(B(x0,?))?B(f(x0,?))．这证明f在点x0处连续．
(2) ?(2) 设（2）成立．令V 为Y 中的一个开集且U?f*?1(V).?x?U，我们有
f(x)?V．由于V 是一个开集，所以V 是f(x)的一个邻域．由于f在每一点处都连续，
故根据(1)可知道U 是x的一个邻域．于是有包含x的某一个开集Ux使得Ux?U，易见
*U?x?U?Ux．由于每一个Ux都是开集，根据定理2.2.10，我们知道U 是一个开集．
(2)*?(2) 设（2）成立．对于任意x?X，设U是f(x)的一个邻域，即存在包含f(x)的
一个开集V?U．从而x?f所以f?1?1(V)?f?1(U)．根据(2)*,我们知道f?1(V)是一个开集，
(U)是x的一个邻域，因此对于x而言，(1)*成立，于是f在点x处连续。由于点
x是任意选取的，所以f是一个连续映射．
2.3 拓扑空间与连续映射
从上一节定理2.2.14可以看出：度量空间之间的一个映射是否是连续的，或者在某一点处是否是连续的，本质上只与度量空间中的开集有关（注意，邻域是通过开集定义的）．这就导致我们甩开度量这个概念，参照度量空间中开集的基本性质（定理2.2.10）建立拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的概念．现在我们遵循这一思路，即从开集及其基本性质（定理2.2.10 ）出发来建立拓扑空间的概念．
定义2.3.1 设X是一个集合，T 是X的一个子集族．如果T 满足如下条件： (1)X,??T ；
(2)A,B?T ?A?B?T ； (3) T 1? T ??{A:A?T 1}?T .
那么称T 是X的一个拓扑．如果T 是集合X的一个拓扑，则称偶对（X，T ）是一个拓扑空间，或称集合X是一个相对于拓扑T 而言的拓扑空间；或者当拓扑T 早已约定或在行文中已有说明而无须指出时，就称集合X是一个拓扑空间。此外T 的每一个元素都叫做拓扑空间（X，T ）中的一个开集．
现在我们可以将上述定义中的三个条件与定理2.2.10的三个结论对照一下，将“U属于T ”读做“U是一个开集”，便会发现两者实际上是一样的．
现在首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴．
定义2.3.2 设（X，?）是一个度量空间．令T 定理2.2.10，T
??为由X中的所有开集构成的集族，根据
是X的一个拓扑．我们称T
?为X的由度量?诱导出来的拓扑，此外我
?们约定：如果没有另外的说明，我们提到度量空间（X，?）的拓扑时，指的就是拓扑T 在称度量空间（X，?）为拓扑空间时，指的就是拓扑空间(X, T
?；
).
因此，实数空间R，n维欧氏空间Rn（特别，欧氏平面R2) , Hilbert 空间H 都可以叫做拓扑空间，它们各自的拓扑分别是由例2.1.1 , 例2.1.2 和例2.1.3 中定义的各自的度量所诱导出来的拓扑．度量空间是拓扑空间中最为重要的一类．此外，我们还有其它一些拓扑空间的例子． 例2.3.3 平庸空间．
设X是一个集合．令T =?X,??，容易验证，T 是X的一个拓扑，称之为X的平庸拓扑；并且我们称拓扑空间(X, T )为一个平庸空间．在平庸空间(X, T )中，有且仅有两个开集，即X本身和空集．
例2.3.4离散空间．
设X是一个集合，令T ＝2，即T 是由X的所有子集构成的族．容易验证T 是X的一个拓扑，称之为X的离散拓扑；并且我们称拓扑空间(X, T )为一个离散空间．在离散空间(X, T )中，X的每一个子集都是开集．
例2.3.5 设X＝{ a , b , c } ．令
T ＝{?, {a},{a,b},{a,b,c}}
容易验证T是X的一个拓扑，因此(X, T )是一个拓扑空间，这个拓扑空间既不是平庸空间又不是离散空间．
例2.3.6 有限补空间．
设X是一个集合．对于X的每一个子集A，它的补集X-A 我们写为A．令
T =U?2'X?X:U'是有限的????
?可以验证T是X的一个拓扑，称之为X的有限补拓扑．拓扑空间(X, T )称为一个有限补空间．
例2.3.7可数补空间. 设X是一个集合．令
T =U?2?X:U'是可数的????
?可以验证T是X的一个拓扑，称之为X的可数补拓扑．拓扑空间(X, T )称为一个可数补空间．
例2.3.8 对于实数集合R来说，我们可以定义五个拓扑，它们是平庸拓扑T t、离散拓扑T s、欧氏拓扑T e、有限补拓扑T
T
tf和可数补拓扑T c．它们的关系是：
? T
f? T c（T e）? T s
一个令人关心的问题是拓扑空间是否真的要比度量空间的范围更广一点？换句话就是问：是否每一个拓扑空间的拓扑都可以由某一个度量诱导出来？
定义2.3.9 设（X，T ）是一个拓扑空间．如果存在X的一个度量?使得拓扑T 是由度量?诱导出来的拓扑，那么称（X，T ）是一个可度量化空间．
根据这个定义，前述问题即是：是否每一个拓扑空间都是可度量化空间？由2.1节的习题2,3可以知道，事实上每一个只含有限个点的度量空间作为拓扑空间都是离散空间．然而一个平庸空间如果含有多于一个点的话，它肯定不是离散空间，因此它不是可度量化的．由此可见，拓扑空间比度量空间的范围要广泛。进一步的问题是满足一些什么条件的拓扑空间是可度量化的？这是点集拓扑学中的重要问题之一，以后我们将专门讨论。
现在我们来将度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间之间的连续映射．受2.1节中的定理2.2.14的启发，我们能够给出下面定义：
定义2.3.10 设X和Y 是两个拓扑空间，f:X?Y．如果Y中每一个开集U的原象f是X中的一个开集，那么就称f是从X到Y的一个连续映射，或简称映射f连续．
按这种方式定义拓扑空间之间的连续映射，保证了：当X和Y 是两个度量空间时，如果f:X?Y是从度量空间X到度量空间Y的一个连续映射，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y 的一个连续映射，反之亦然。
下面的这个定理尽管证明十分容易，但所指出的却是连续映射的最重要的性质．
定理2.3.11 设X，Y和Z都是拓扑空间．则 (1）恒同映射iX:X?X是一个连续映射；
(2）如果f:X?Y和g:Y?Z都是连续映射，则g?f:X?Z也是连续映射． 证明:（l）如果U 是X的一个开集，则iX?1?1(U)(U)?U当然也是X的开集，所以iX连续．
?1g(W)(2）设f:X?Y和g:Y?Z都是连续映射．如果W是Z的一个开集，由于g连续，
是Y 的开集；又由于f连续，所以f?1(g?1(W))是X的开集，因此
(g?f)?1(W)?f是X的开集．这证明g?f连续．
?1(g?1(W))
在数学科学的许多学科中都要涉及集合和映射，如在线性代数中我们考虑线性空间和线性变换，在群论中我们考虑群和同态．集合论中的一一映射，线性代数中的（线性）同构，群论中的群同构都是较为特殊的一类映射．类似地，在拓扑中我们也给它们一个特殊名称．
定义2.3.12 设X和Y 是两个拓扑空间，如果f:X?Y是一个一一映射，并且f和f是连续的，则称f是一个同胚映射或同胚． 定理2.3.13 设X，Y和Z都是拓扑空间．则 (l）恒同映射iX:X?X是一个同胚； (2）若f:X?Y是一个同胚，则f?1?1都
:Y?X也是一个同胚；
(3）若f:X?Y和g:Y?Z都是同胚，则g?f:X?Z也是一个同胚．
根据定理2.3.13，我们可以说：在任意给定的一个由拓扑空间组成的族中，两个拓扑空间是否同胚这一关系是一个等价关系．因此同胚关系将这个拓扑空间族分为互不相交的等价类，使得属于同一类的拓扑空间彼此同胚，属于不同类的拓扑空间彼此不同胚．
如果某一个拓扑空间具有某种性质P，那么与其同胚的任何一个拓扑空间也具有性质P，我们就称此性质P是一个拓扑不变性质，也就是说，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质．
拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质。
至此我们已经将数学分析中我们熟知的欧氏空间和欧氏空间之间的连续函数的概念，经由度量空间和度量空间之间的连续映射，一直抽象为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射这样一个在数学的历史上经过了很长的一段时期才完成的工作．
2.4 邻域与邻域系
我们在数学分析中定义映射的连续性是从“局部”到“整体”的，也就是说先定义映射在某一点处的连续性，然后再定义这个映射本身的连续性．然而对于拓扑空间的映射而言，先定义映射本身的连续性更为方便，所以我们在2.2节中先定义了整体连续．
在定理2.2.14中我们已经发现，考虑映射在某一点处的连续性的定义，只要有一个适当的称之为“邻域”的概念。而在2.1节中定义度量空间的邻域时只用到“开集”．因此我们先在拓扑空间中建立邻域的概念，然后再给出映射在某一点处的连续性的概念．
定义2.4.1 设（X，T ）是一个拓扑空间，x?X．X的一个子集U称为x的一个邻域，如果存在一个开集V 使得x?V?U. 点x的所有邻域构成的X的子集族称为点x的邻域系．易见，如果U是包含着点x的一个开集，那么它一定是x的一个邻域，于是我们称U是点x的一个开邻域．
借助于邻域我们可以给出了开集的刻画如下：
定理2.4.2 拓扑空间X的一个子集U是开集的充分必要条件是U是它的每一点的邻域，即只要x?U,U便是x的一个邻域．
证明： 定理中条件的必要性是明显的．以下证明充分性，设U??，根据定理中的条件知，对于每一个x?U，存在一个开集Vx，使得x?Vx?U．因此
U?故U?x?U??x???Vx?Ux?U
x?U?Vx，根据拓扑的定义，U是一个开集．
下面定理概括了邻域系的基本性质：
定理2.4.3 设X是一个拓扑空间．记ux为点x?X的邻域系，则 (Nl）?x?X,ux?? 且U?ux?x?U； (N2）U,V?ux?U?V?ux； (N3) U?ux且U?V?V?ux；
(N4）如果U?ux，那么存在V?ux使得V?U且?y?V，都有U?uy．
下面定理表明，我们完全可以从邻域系的概念出发来建立拓扑空间理论，这种做法在点集拓扑发展的早期常被采用，并且这种做法或许还显得自然一点，但不如现在流行的从开集概念出发定义拓扑来得简洁。
定理2.4.4 设X是一个集合，且对于每一点x?X指定X的一个子集族ux，并且它们满足定理2.4.3 中的条件（Nl）一（N4).则X有唯一的一个拓扑T 使得对于每一点x?X，子集族ux恰是点x在拓扑空间（X，T ）中的邻域系． 证明： 令
XT ?U?2:?x?U,x?ux
??下面验证T 是X的一个拓扑. (1) 显然X,??T ；
A?B?ux，(2) 设A,B?T ，若x?A?B，则A?ux,B?ux，由定理2.4.3中的（N2）知，
因此A?B?T .o
(3) 设T 1? T ，若x??{A:A?T 1},则存在U?T 1，使得x?U.由于U?T ，所以
U?ux；又U??{A:A?T 1}，根据定理2.4.3中的（N3），有?{A:A? T 1}?ux，
这就证明了?{A:A? T 1}?T .
现记任意一点x?X的邻域系为ux，下面证明ux?ux.
设U?ux，由定理2.3.4中的（N4）可见存在V?ux使得V?T 且V?U.由定理2.4.3中的条件（N1）和（N3）得U?ux，因此ux?ux.
****另一方面，设U*?ux，则存在V?T 使得V?U.由V?ux以及定理2.4.3中的（N3）*知U?ux.这又证明了ux?ux.因此ux?ux.到此证明了邻域系的唯一性。
*******现在将度量空间之间在一点处的连续的映射概念推广到拓扑空间之间的映射中。
定义2.4.5设X和Y是两个拓扑空间，f:X?Y，x?X.如果f(x)的每一个邻域U的原象f?1(U)是x的一个邻域，那么就称f是一个在x处连续的映射，或简称映射f在点x
处连续．
类似于定理2.3.11我们也有下面定理： 定理2.4.6 设X，Y和Z都是拓扑空间．则
(1）恒同映射iX:X?X在每一点处都是连续的；
(2）如果f:X?Y在点x?X处是连续的，g:Y?Z在f(x)处连续，则g?f:X?Z在x处是连续的．
下面定理建立了“局部的”连续性概念和“整体的”连续性概念之间的联系。
定理2.4.7 设X和Y是两个拓扑空间，则映射f:X?Y连续当且仅当它在每个点处连续. 证明：若U是f(x)的邻域，则存在开集V，使得f(x)?V?U，(?)设映射f连续，x?X，于是f?1(x)?f?1(V)?f?1(U)，有由于f?1(V)是开集，故f?1(U)是x的邻域，这就证
明了f在x处是连续的。
(?)设对于每一个x?X，f在x处连续。若U是Y中的一个开集，则对于每一个点x?f?1(U)，U是f(x)的一个邻域，因此f?1(U)是x的邻域，所以f?1(U)是开集，这
就证明了f是连续的。
2.5 导集、闭集、闭包
如果在一个拓扑空间中给定了一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同，因此可以对它们进行分类处理．
定义2.5.1 设X是一个拓扑空间，A?X．如果点x的每一个邻域U中都有A中异于x的点，即U?(A?{x})??，则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点，集合A的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集，记作Ad，如果x?A并且x不是A的聚点，即存在x的一个邻域V，使得V?(A?{x})??那么则称x为A的一个孤立点。
在上述定义之中，凝聚点，导集，以及孤立点的定义无例外都依赖于它所在的拓扑空间的那个给定的拓扑，因此，当你在讨论问题时涉及了多个拓扑而又谈到例如凝聚点时，你必须明确你所谈的凝聚点是相对于哪个拓扑而言．
大家可能已经在诸如欧氏空间中接触过刚定义的这些概念，但绝不要以为对欧氏空间有效的性质，对一般的拓扑空间都有效。以下两个例子可以帮助大家澄清某些不正确的潜在印象。
例2.5.2 离散空间中集合的凝聚点和导集．
设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集。由于X中的每一个单点集都是开集，因此若x?X，则x有一个邻域｛x｝使得?x??(X??x?)??，于是x不是A的聚点．这表明Ad??.
例2.5.3 平庸空间中集合的凝聚点和导集.
设X是平庸空间，A是X中的一个任意子集，我们分三种情形讨论： 1.A??．这时A显然没有任何一个聚点，亦即A??.
2.A 是一个单点集，令A??x0?．如果x?X且x?x0，那么点x只有唯一的一个邻域X，这时X?(A??x?)??，因此x?Add. 然而对于x0的唯一邻域X,有
X?(A??x0?)??．于是x0?Ad.所以Ad?X?A.
3. A包含着多于一个点．此时A?X.(请同学们自己证明) 有了导集的概念后，我们就可以定义闭集了．
d定义2.5.4 设X是一个拓扑空间，A?2X．若A 的每一个聚点都属于A，即A?A，则称A是拓扑空间X中的一个闭集．
例如，离散空间中的任何一个子集都是闭集，而平庸空间中的任何一个非空的真子集都不是闭集．
定理2.5.5 设X是一个拓扑空间，A?2X．则A是闭集当且仅当A的补集A'是开集． 证明：(?)设A是一个闭集，若x?A，则x?A，于是x有一个邻域U使得
'dU?(A??x?)??，从而U?A??．这表明U?A', 即A'是x的邻域．因此A'是开集．
(?)设A'是开集．若x?A'，则A'是x的邻域．由A?A'??可以知道x?Ad．因此，Ad?A,即A是闭集．
例2.5.6 实数空间R中作为闭集的区间．
设a,b?R,a?b．闭区间[a,b]是实数空间R中的一个闭集，因为[a,b]的补集
[a,b]'?(??,a)?(b,??)是一个开集．同理，(??,a]和[b,??)都是闭集，(??,??)?R更是一个闭集，其他区间都不是闭集．
定理2.5.7设X是一个拓扑空间．记F 为所有闭集构成的族．则 (l)X,?? F ；
(2）F 对有限并封闭； (3）F 对任意交封闭．
例2.5.8 Cantor集是实数空间R中的一个闭集． 先定义映射：f1,f2:R?R使得对于任何t?R，有
t2?t. f1(t)?,f2(t)?33容易验证f1,f2都是同胚映射，因此对于任意开集U，f1(U),f2(U)都是开集。 下面按照归纳原则定义一系列开集A1,A2? 令A1?(,)；对于任何n?1，定义
1233An?f1(An?1)?f2(An?1)
1278127819202526,)?(,)?(,)?(,)；…
99992727272727272727令A??An，它是可数个开集的并，当然是一个开集。容易验证A?[0,1]，令
则A2?(,)?(,)；A3?(n?NC?[0,1]?A?[0,1]?A'
C称为Cantor集或标准Cantor三分集，它是一个闭集。
定义2.5.9 设X是一个拓扑空间，集合A与它的导集Ad的并A?A称为集合A的闭包，记作A或A.
容易看出：x?A当且仅当对于x的任何一个邻域U，有U?A??. 定理2.5.10 拓扑空间X的子集A是闭集的充分必要条件是A?A. 证明：集合A为闭集当且仅当A?A当且仅当A?A?A. 下面定理给出了闭包运算的性质。
定理2.5.11 设X是一个拓扑空间，则?A,B?2，有 （1）???； （2）A?A； （3）A?B?A?B； （4）A?A.
证明：（1）和（2）是显然的。（3）成立，因为
Xd?ddA?B?(A?B)?(A?B)d=A?B?Ad?Bd=(A?Ad)?(B?Bd)=A?B；
（4）成立，因为
A?A?Ad?A?Ad?A?Ad?(Ad)d=A?Ad=A.
定理2.5.12 拓扑空间X的任何一个子集A 的闭包A都是闭集．
定理2.5.13 设X是一个拓扑空间，F 是由空间X中所有闭集构成的族，则对于X的每一个子集A ，有
A??{B?2X:A?B,B?F }
即集合A的闭包等于包含A的所有闭集之交．
给定集合X的一个拓扑T ，X的一个子集对应它的闭包可以看作是一个映射，或者是一个
一元运算，它被叫做闭包算子。下面我们考虑拓扑和闭包的关系。 定义2.5.14 设X是一个集合．映射c:2个条件：?A,B,C?2, (l）c(?)??; (2) A?c(A);
(3）c(A?B)?c(A)?c(B); (4）c(c(A))?c(A).
定理2.5.15设X是一个集合，c:2XXX?2X被叫做一个闭包算子，如果它满足下面四
?2X是集合X的一个闭包算子，则存在X的唯一一
个拓扑T ，使得在拓扑空间(X, T )中，对于每一个A?2X，有c(A)?A. 证明：我们证明X的子集族 T =U?2拓扑。
(1)根据(1)我们知道c(X)?c(?)???X，因此X?T ．根据（2）我们知道c(X)?X，因此c(?)?c(X)?X??，于是??T ．
(2)设A,B?T ，则c(A)?A且c(B)?B，再由(3),
''''''''?X:c(U')?U'便是满足定理要求的那个唯一的拓扑。首先验证T 是X的一个
?c((A?B)')?c(A'?B')?c(A')?c(B')?A'?B'?(A?B)'
因此，A?B?T . （3）T
1?T ，即X的子集族T 1满足条件：对任意的A?T 1，有c(A')?A'.于是
c((?{A:A? T 1}）'）=c(?{A':A?T 1}）??{c(A'):A?T 1}
??{A':A?T 1}=(?{A:A?T 1}）'
因此，?{A:A?T 1}?T .
假设F 是X的另一个满足定理要求的拓扑，也就是说，任何一个集合A在拓扑空间(X, F )中的闭包也是c（A)．此时易见，一个集合在拓扑空间（X，T ）中是闭集当且仅当它在拓扑空间(X, F )中是闭集．这说明T ＝F ．
（关于c(A)?A的证明）
c(A)?c(A)。c(A)'?T ，由于c(c(A))?c(A)，因此，故c(A)为闭集，由（2）知：A?c(A)
因此A?c(A)?c(A)。另外一方面，A?A?c(A)?c(A)?A，由此可得，c(A)?A. (由于A为闭集，故A的补集是开集，肯定属于T ，根据T 的定义可知c(A)?A.
在度量空间中，集合的凝聚点，导集和闭包都可以通过度量来刻画.
定义2.5.16设(X,d)是一个度量空间．X中的点x到X的非空子集A的距离?(x,A)定义为
?(x,A)?inf??(x,y):y?A?
据下确界的性质以及邻域的定义易见：?(x,A)?0当且仅当对任意??0，存在y?A使得?(x,y)??，换言之即是：对于任意B(x,?)，有B(x,?)?A??，而这又等价于：对于x的任何一个邻域U，有U?A??，应用以上讨论立即得到： 定理2.5.17 设A是度量空间(X,d)中的一个非空的子集，则 （1）x?A当且仅当??x,A?{x}??0；
d（2）x?A当且仅当?(x,A)?0； （3）x?A当且仅当x?A?{x}；
引理2.5.18设A是拓扑空间（X，T ）中的一个非空子集，则
dx?Ad?x?A?{x}?x?(A?{x})d
定义2.5.19 设X是一个集合．映射d:2面四个条件：?A,B,C?2， ( l ）d(?)??；
( 2 ）?x?X,x?d({x})； ( 3 ）d(A?B)?d(A)?d(B)； ( 4 ）d(d(A))?d(A)?A.
XX?2X被叫做一个导（集）算子，如果它满足下
定理2.5.20 设X是一个集合，d:2X?2X是集合X的一个导算子，则存在X的唯一一个
d拓扑T 使得在拓扑空间(X, T )中，对于每一个A?2X，有d(A)?A.
证明:首先证明X的子集族T =U?2:d(U)?U扑。
1.首先验证T 是X的一个拓扑.
?X''?便是满足定理要求的那个唯一的拓
(1)根据(1)我们知道d(X)?d(?)???X，因此X?T ．根据（2）我们知道d(X)?X，因此d(?)?d(X)?X??，于是??T ．
(2)设A,B?T ，则d(A)?A且d(B)?B，再由(3),
''''''''d((A?B)')?d(A'?B')?d(A')?d(B')?A'?B'?(A?B)'
因此，A?B?T . （3）设T
1?T ，即X的子集族T 1满足条件：对任意的A?T 1，有d(A')?A'.于是
d((?{A:A? T 1}）'）=d(?{A':A?T 1}）??{d(A'):A?T 1}
??{A':A?T 1}=(?{A:A?T 1}）'
因此，?{A:A?T 1}?T .
X2.现在来证明?A?2,A?A?d(A)，由
d(A?d(A))?d(A)?d(d(A))?A?d(A)
可知A?d(A)是(X, T )中的闭集，于是A?A?d(A)?A?d(A)，而由A?A可知
d(A)?d(A)?A（性质3），从而A?d(A)?A，故A?A?d(A).
X3.设A?2，下面证明d(A)?A.
dx?Ad?x?A?{x}?d(A?{x})?(A?{x})?x?d(A?{x})?x?d(A)
注：A?(A?{x})?{x}
唯一性显然。
以下定理既为连续映射提供了等价的定义，也为验证映射的连续性提供了另外的手段．
定理2.5.21 设X和Y 是两个拓扑空间，f:X?Y．则以下条件等价： ( 1 )f是一个连续映射； ( 2 )Y中的任何闭集B的原象f?1(B)是X中的闭集；
( 3 )对于X中的任何一个子集A, A的闭包的象包含于A的象的闭包，即f(A)?f(A)； ( 4 )对于Y中的任何一个子集B, B的闭包的原象包含B的原象的闭包，即f证明：(1)?(2)设B是Y的闭集．则B'是开集，因此根据（l ),f中的开集，因此f(f?1?1?1(B)?f?1(B)
(B')?(f?1(B))'是X
?1(B)是X中的闭集．
?1(B')?f?1(Y?B)?f(Y)?f?1(B)?X?f?1(B)?(f?1(B))')
由于f(A)?f(A)，所以我们有A?f(2)?(3)设A?X．的闭集，根据（2）, f?1?1(f(A)).因为f(A)是Y 中
(f(A))是X中的闭集．因此有A?f?1(f(A))从而：f(A)?f(A).
(3)?(4)设B?Y，对于集合f因此f?1?1(B)，应用（3）可得f(f?1(B))?f(f?1(B))?B，
(B)?f?1(B).
(4)?(1)设U是Y中的一个开集．则U'是Y中的闭集．对此集合应用（4）可见
f?1(U')?f?1(U')．这说明f?1?1(U')是一个闭集，所以f?1(U)是开集．
（f(U')?f?1(Y?U)?f?1(Y)?f?1(U)?X?f?1(U)?(f?1(U))'）
2.6 内部、边界
在前一节中我们讨论了在拓扑空间中由一个给定集合如何引出一些与之密切相关的集合，如导集，闭包等．本节继续这个话题．
定义2.6.1 设X是一个拓扑空间．如果A是点x一个邻域，即存在开集V使得x?V?A，则称点x是集合A的一个内点，集合A的所有内点构成的集合称为集合A的内部，记作A.
''?X定理2.6.2 设X是拓扑空间，A?2．则(A)?(A)．因此(A?)'?A'.
?
证明：设x?(A)，则x?A，于是存在x的一个邻域U，使得U?A??．从而x?U?A，
''?'?故x?(A)，这证明(A)?(A)．
'''?另一方面，若x?(A)，则存在x的一个邻域V，使得x?V?A，从而V?A??，
''''?''?故x?A，也即x?(A)，故(A)?(A).这就证明了(A)?(A).
以上只证明了定理中的第一个等式．要证明定理中的第二个等式，只需将第一个等式中的A换成A'，并将所得到的等式两边取补集即可．
关于内部的基本性质，我们有与闭包的性质完全对偶的一组定理，这些定理的证明过程都是将闭包的相应性质通过上面定理转化为内部的性质．
定理2.6.3 拓扑空间X的子集A是开集的充分必要条件是A?A. 定理2.6.4 设X是一个拓扑空间．则对于任意A,B?2，有 ( l ）X?X； ( 2 ) A?A；
( 3 ) (A?B)?A?B； ( 4 ) (A)?A.
定理2.6.5 拓扑空间X的任何一个子集A的内部A都是开集． 定理2.6.6 设(X, T )是一个拓扑空间，则对于X的每一个子集A，有
?
???????X??A???{B?T ：B?A}，即集合A 的内部等于包含于A 的所有开集之并．
与我们在前一节中处理闭包运算时的情形一样，求取一个集合的内部也可以理解为从拓扑空间X的幂集2到自身的一个映射，它将每一个A?2映射为A，也同样可以象定义闭包运算一样定义内部运算，并由内部运算导出拓扑和拓扑空间的概念。
定义2.6.7 设X是一个拓扑空间，A?X．x?X称为是集合A的一个边界点，如果在x
'的任何一个邻域U中既有A中的点又有A中的点，即既有U?A??，又有U?A??．集
'XX?
合A的全体边界点构成的集合称为集合A的边界，记作?(A)．
闭包，内部，边界之间存在种种联系，我们列举一部分如下： 定理2.6.8 设X是一个拓扑空间，A?X．则
A?A??(A)
A??A??(A)
?(A)?A?A'??(A')
练习
1、设X?{a,b,c,d}，拓扑T?{X,?,{a},{b,c,d}},则X的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
2、设X?{a,b,c}，拓扑T?{X,?,{a},{b,c}},则X的既开又闭的非空真子集的个数为
（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
3、设X?{a,b,c}，拓扑T?{X,?,{b},{b,c}},则X的既开又闭的非空真子集的个数为
（ ） ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：①
4、设X?{a,b}，拓扑T?{X,?,{b}},则X的既开又闭的子集的个数为（ ）
① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③
5、设X?{a,b}，拓扑T?{X,?,{a},{b}},则X的既开又闭的子集的个数为（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④
6、设X?{拓扑T?{X,?,{a},{b},{a,b},{b,c}},则X的既开又闭的非空真子集a,b,c}，
的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：② 7、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中错误的是（ ） ① d(A?B)?d(A)?d(B) ② A?B?A?B ③ d(A?B)?d(A)?d(B) ④ A?A 答案: ③
8、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中正确的是（ ） ① d(A?B)?d(A)?d(B) ② A?B?A?B ③ d(A?B)?d(A)?d(B) ④ A?A 答案: ①
9、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中正确的是（ ） ① d(A?B)?A?B ② A?B?A?B
③ d(A?B)?d(A)?d(B) ④ d(d(A))?A?d(A) 答案: ④ 10、已知X是一个离散拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中正确的是（ ） ① d(A)?? ② d(A)?X?A ③ d(A)?A ④ d(A)?X 答案：①
11、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中不正确的是（ ）
① 若A??,则d(A)?? ② 若A?{x0},则d(A)?X?A ③ 若A={x1,x2},则d(A)?X ④ 若A?X, 则d(A)?X 答案：④ 12、离散空间的任一子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③ 13、平庸空间的任一非空真子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：④ 14、实数空间R中的任一单点集是 ( )
① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案：② 15、实数空间R的子集A ={1,
①φ ② R ③ A∪{0} ④ A 答案：③ 16、在实数空间R中，下列集合是闭集的是（ ）
① 整数集 ② ?a,b? ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案：① 17、在实数空间R中，下列集合是开集的是（ ）
① 整数集Z ② 有理数集 ③ 无理数集 ④ 整数集Z的补集Z? 答案：④
18、已知X?{1,2,3}上的拓扑T?{X,?,{1}},则点1的邻域个数是（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④ 19、已知X?{a,b},则X上的所有可能的拓扑有（ ）
① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案：④ 20、已知X={a,b,c},则X上的含有４个元素的拓扑有（ ）个
① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案：④ 21、设(X,T)为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( ) ①X?T , ??T ② X?T ,??T ③当T??T时,
U?T?111, ,,……},则A＝（ ） 234U?T ④ 当T??T时,
U?T?U?T 答案：③
22、设X是一个拓扑空间，A,B?X,且满足d(A)?B?A,则B是（ ）
① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：②
2.7 基与子基
在讨论度量空间的拓扑的时候，球形邻域是最基本的且非常重要的，一方面，每一个球形邻域都是开集，从而任意多个球形邻域的并也是开集；另一方面，假设U是度量空间X中的一个开集，则对于每一个x?U，有一个球形邻域B(x,?)?U，因此
U?x?U?B(x,?)．这就是说，一个集合是某度量空间中的一个开集当且仅当它是这个度量空
间中的若干个球形邻域的并．因此我们可以说，度量空间的拓扑是由它的所有的球形邻域通过集族求并这一运算“产生”出来的，留意了这个事实，下面在拓扑空间中提出“基”这个概念就不会感到突然了。
定义2.7.1 设（X，T ）是一个拓扑空间，B是T 的一个子族．如果T 中的每一个元素（即拓扑空间X中的每一个开集）是B中某些元素的并，即对于每一个U?T ，存在B1?B，使得U??{B:B? B1},则称B是拓扑T 的一个基，或称B是拓扑空间X的一个基．
按照本节开头所作的论证立即可得：
定理2.7.2 一个度量空间中的所有球形邻域构成的集族是这个度量空间拓扑的一个基． 特别地，由于实数空间及中所有开区间构成的族就是它的所有球形邻域构成的族，因此所有开区间构成的族是实数空间R的一个基．
至于离散空间，它有一个最简单的基，这个基由所有的单点子集构成。下面的定理为判定某一个开集族是否是给定的拓扑的一个基提供了一个易于验证的条件。
定理2.7.3 设B是拓扑空间（X，T ）的一个开集族（即B?T ），则B是拓扑空间（X，T ）的一个基当且仅当对每个x?X和x的每一个邻域Ux，存在Vx?B使得
x?Vx?Ux．
证明：设B是X的一个基，则对每一个x?X和x的每一个邻域Ux，存在x的一个开邻域Wx，使得x?Wx?Ux，由于Wx是一个开集，根据基的定义，存在B1?B,使得
Wx=?{A:A?B1}.于是由x?Wx知，存在A?B1，使得x?A?Wx?Ux。因此B满
足定理的条件.
另一方面，设定理中的条件成立，若U是X中的开集，则对每一个x?U，由于U是x的一个邻域，所以存在Vx?B，使得x?Vx?U，于是U?素之并，从而B是X的一个基.
在度量空间中，通过球形邻域确定了度量空间的拓扑，这个拓扑以全体球形邻域构成的集族作为基。是否一个集合的每一个子集族都可以确定一个拓扑以它为基？答案是否定的。以下定理告诉我们一个集合的什么样的子集族可以成为它的某一个拓扑的基。 定理2.7.4 设X是一个集合，B是集合X的一个子集族．如果B满足条件：
x?U?Vx，即U是B中某些元
(l)?{B:B?B}=X；
(2）如果Bi,Bj?B，那么对于任何x?Bi?Bj，存在B?B使得x?B?Bi?Bj. 则X的子集族
T ={U?2:存在BU?B使得?{A:A? BU}=U}
是集合X的唯一的一个以B为基的拓扑；反之，如果X的一个子集族B是X的某一个拓扑的基，则B一定满足条件（l）和（2) .
值得注意的是，如果集合X的子集族B满足条件：对于任何B1,B2?B，有B1?B2?B．这时B必然满足条件（2) ．这种情形经常遇到．
证明：设X的子集族B满足条件（1）和（2)，我们先验证定理中所给出的T 是X的一个拓扑：
（i）根据条件（l）我们知道X?T ．由于???{A:A??}，所以??T ．
X (ii）我们先验证：如果B1?B2?B，那么B1?B2?B1?B2?T．根据条件（2) ，对于每一个x?B1?B2，存在Wx?B使得x?Wx?B1?B2．于是B1?B2?x?B1?B2?Wx?T .
现在设A1,A2?T ，则存在B1，B2?B，使得
A1??{B1:B1? B1},A2??{B2:B2?B2}
于是
A1?A2?（?{B1:B1? B1}）?（?{B2:B2?B2}）
=?{B1?B2:B1? B1，B2?B2}
根据前面所证，上式中最后那个并集中的每一项B1?B2都是B中某些元素之并，所以
A1?A2也是B中某些元素之并，因此A1?A2?T .
(iii) 因为T 中每个元都是B中元的并，所以T 对并封闭． 以上证明T 是集合X的拓扑，根据定义可见B是T 的一个基.
假设F 是X的另一个拓扑并以B为基，根据基的定义，任何一个A?F ，必为B中某些元素的并，所以A?T ．这证明F ?T ．同理可证T ?F．这说明以B为基的拓扑是唯一的.
最后证明定理的后半段.设B是X的某一个拓扑T 的一个基。由X?T 可知X必为B中的某些元素的并，故必为集族B之并．因此（l）成立．设B1,B2?B且x?B1?B2．由于B?T ，所以B1?B2是x的一个开邻域，根据定理2.7.3，存在Wx?B，使得
x?Wx?B1?B2．这证明条件（2）成立．
我们现在来应用这个定理，用先给出基的办法来给定拓扑． 例2.7.5 实数下限拓扑空间． 考虑实数集合R ．令
[a,b):a,b?R,a?b? B=?容易验证B满足定理2.7.4 中的条件（l）和（2) ，因此B为实数集合R的某一个拓扑的基．实数集合的这个拓扑称为实数的下限拓扑，被记为T l，拓扑空间（R，T l）称为实数下限拓扑空间，为方便起见，记作Rv．明显地，它与通常实数空间有很大的区别．如果记实数空间的通常拓扑为T . 显然T ?T l.
在定义基的过程中我们只是用到了集族的并运算，如果再考虑集合的有限交运算（注意拓扑只是对有限交封闭的，所以只考虑有限交），便得到“子基”这个概念．
定义2.7.6 设（X，T ）是一个拓扑空间，F 是T 的一个子族．如果F 的所有非空有限子族之交构成的集族B＝{S1?S2???Sn:Si?F ,n?N} 是拓扑T 的一个基，则称集族F 是拓扑T 的一个子基，或称集族F 是拓扑空间X的一个子基． 例2.7.7 实数空间R 的一个子基．
实数集合R 的一个子集族F ＝?(??,b):b?R???(a,??):a?R?是实数空间R 的一个子基．
定理2.7.8 设X是一个集合，F 是X的一个子集族．如果X??{S:S?F }，那么X有唯一的一个拓扑T 以F 为子基．
映射的连续性可以通过基或子基来验证，一般说来，基或子基的基数不大于拓扑的基数，所以通过基或子基来验证映射的连续性有时可能会带来很大的方便． 定理2.7.9 设X和Y 是两个拓扑空间，f:X?Y．则以下条件等价：
(l) f连续；
(2）拓扑空间Y 有一个基，使得这个基中任何一个元的原象是X中的一个开集； (3) Y有一个子基，使得这个子基中的任何一个元的原象是X中的一个开集． 对于局部情形，也有类似于基和子基的概念．
定义2.7.10 设X是一个拓扑空间，x?X，ux为x的邻域系且vx?ux．如果对每个
U?ux，存在V?vx使得V?U，那么则称vx是点x的邻域系的一个基，或简称为点x
的一个邻域基．如果ux的子族wx满足条件：wx的每一个有限非空子族之交的全体构成的集族
?W1?W2??Wi:i?1,2,?,n,n?N?
是x的一个邻域基，则称wx是点x的邻域系的一个子基，或简称为点x的一个邻域子基． 例如在度量空间中以某一个点为中心的全体球形邻域是这个点的一个邻域基；以某一个点为中心且以有理数为半径的全体球形邻域也是这个点的一个邻域基．
在一维欧氏空间R中，集族wx=?(??,x??):??0???(x??,??):??0?就是x的一个邻域子基．
邻域基和邻域子基的概念可以用来验证映射在一点处的连续性．
定理2.7.11 设X和Y是两个拓扑空间，f:X?Y，x?X．则以下条件等价：
(l) f在点x处连续；
(2）f(x)有一个邻域基vf(x)，使得对于任何V?vf(x)，原象f?1(V)是x的一个邻域；
(3）f(x)有一个邻域子基wf(x)，使得对于任何W?wf(x)，原象f基与邻域基，子基与邻域子基有以下关联： 定理2.7.12 设X是一个拓扑空间，x?X，则
?1(W)是x的一个邻域．
(l）若B是X的一个基，则Bx＝{B?B：x?B}是点x的一个邻域基；
(2) 若F 是X的一个子基，则F
x＝{S?F ：x?S}是点x的一个邻域子基.
2.8 拓扑空间中的序列
在读者熟知的数学分析课程中，往往用序列收敛的概念作为出发点来刻画集合的凝聚点，函数在某一点处的连续性等等．在这一节我们便会看到这种做法在一般的拓扑空间中并不可行；而要使得它变为可行的，则要对拓扑空间加以适当的限制．我们将来再研究这种限制加到什么程度为合适．
定义2.8.1 设X是一个拓扑空间．每一个映射S:N?X叫做X中的一个序列．我们常将序列S记作?xi?i?N，或者?xi?i?1,2,3?，或者干脆记作?x1,x2??，其中xi?S(i),i?N.
拓扑空间X中的一个序列实际上就是在X中按先后次序取到的一串点，这些点可能重复．因此一个序列?xi?i?N可以仅由有限个点组成，即集合?xi:i?N?为一个有限集；当这个集合是单点集时，我们称序列?xi?i?N为一个常值序列.
定义2.8.2 设?xi?i?N是拓扑空间X中的一个序列，x?X．
(l）如果对于x的每一个邻域U，存在M?N使得当i?M时，有xi?U，那么就称点x是序列?xi?i?N的一个极限点（或极限），也称序列?xi?i?N收敛于x，记作
limxi?x或xi?x(i??)
如果序列至少有一个极限，则称这个序列是一个收敛序列．
(2）如果?U?ux和?M?N，都存在一个n?M使得xn?U, 那么就称点x是序列
?xi?i?N的一个聚点，也称序列?xi?i?N聚于x，记作xi∝x(i??).
显然一个序列的极限点一定是聚点，但反之不然．例如在一维欧氏空间中，序列 1 ，-1 , 1 ，-1 ，… 有聚点1 和-1 ，但是它没有极限点。
拓扑空间中序列的收敛性质与以前我们在数学分析中熟悉的有很大的差别，例如，容易验证平庸空间中任何一个序列都收敛，并且收敛于这个空间中的任何一个点，这时极限的唯一性不再成立．
定义2.8.3 设X是一个拓扑空间，S,S1:N?X是X中的两个序列．如果存在一个严格递增的映射N:N?N使得S1?S?N, 则称序列S1是序列S的一个子序列．
假如将此定义中的序列S记作?xi?i?N，那么序列S1自然可以记作xN(i)说，序列xN(i)??i?N，也就是
??i?N中第i个点恰是序列?xi?i?N中第N(i)个点．
我们已经看到，我们以前熟悉的序列的性质有许多对于拓扑空间中的序列是不适合的．但总有一些性质还保留着，其中最主要的可见于以下三个定理中． 定理2.8.4 设?xi?i?N是拓扑空间X中的一个序列．则
(l）若?xi?i?N是一个常值序列，即对于某一个x?X，有xi?x，则limxi?x.
(2）若序列?xi?i?N收敛于x?X，则序列?xi?i?N的每一个子序列也收敛于x． 定理2.8.5 设X是一个拓扑空间，A?X，x?X． (l）若A??x?中有序列聚于x，则x是A 的聚点．
( 2 ）若A??x?中有序列收敛于x，则x是A 的聚点．
证明：（l）设A??x?中有序列?xi?i?N聚于x，那么对x的任何邻域U，和?M?N，存在一个n?M使得xn?U，从而U?(A??x?)??. 这证明了x是A 的聚点．
（2）是（1）的特殊情况。
例2.8.6 定理2.8.5(2）的逆命题不成立．
设X是一个不可数集，考虑它的拓扑为可数补拓扑．这时X的一个子集是闭集当且仅当或者它是X本身或者它是一个可数集．我们先指出可数补空间X的两个特征：
(l）X中的序列?xi?i?N收敛于x的充分必要条件是存在M?N使得当i?M时，xi?x.
条件的充分性是显然的．以下证明必要性．设limxi?x,由于D??xi:xi?x,i?N?是一个可数集，因此D的补集D是x的一个邻域，从而存在M?N使得当i?M时，有
'
xi?D'，此时必有xi?x.
(2）若A是X的一个不可数子集，则A的导集Ad?X．这是因为X中任何一个点的任何一个邻域中都包含着某一个非空开集，而拓扑空间X中的每一个非空开集都是一个可数集的补集，所以任何一个点的任何一个邻域都是某一个可数集的补集．由于A是一个不可数集，它将与任何一个点的任何一个邻域有非空的交，因此X中任何一个点都是集合A的聚点，即
Ad?X．
现在我们来指出，在这个拓扑空间X中，定理2.7.2的逆命题不成立.设x0?X，令
dA?X??x0?，它是一个不可数集．根据（2) ，我们有x0?A，也就是说x0是A的聚点．然
而根据（l), 在A?X??x0?中不可能有序列收敛于x0.
这个例子表明，在一般的拓扑空间中不能像在数学分析中那样通过序列收敛的性质来刻画聚点．
定理2.8.7 设X和Y是两个拓扑空间，f:X?Y．则
(l）若f在点x0处连续，则X中的一个序列?xi?i?N 收敛于x0蕴涵着Y中的序列?f(xi)?i?N收敛于f(x0);
(2）若f连续，则X中的一个序列?xi?i?N收敛于x蕴涵着Y中的序列?f(xi)?i?N 收敛于f(x)
证明：（l）设f在点x处连续，?xi?i?N是X中收敛于x0的序列．如果U是f(x0)的一个邻域，那么f?1(U)是x0的邻域．这时存在M?N使得当i?M时，有xi?f?1(U)，从
而f(xi)?U.
(2）成立是因为连续意味着在每一点处连续. 例2.8.8 定理2.8.7的逆命题不成立．
设X是实数集，它的拓扑为可数补拓扑T c．考虑从拓扑空间（X，T c）到欧氏空间
（R，T e）的恒同映射i:X?R.
如果拓扑空间（X，T c）中的序列?xi?i?N收敛于x，那么存在M?N使得当i?M时，有xi?x，此时序列?xi?i?N在欧氏空间（R，T e）中也收敛于x．这就是说映射i满足定理2.8.7 (l）或（2）中的后一个条件．
但是这个映射i在（X，T c）的任何一个点x处都不连续．因为任何一个包含x的开区间（它是欧氏空间（R，T e）中x的一个开邻域）U，只要不是R本身，那么i(U)?U在拓扑空间X中不能包含任何一个开集，也就不能作为任何一个点的邻域．
上述例子表明，在一般的拓扑空间中不能像在数学分析中那样通过序列收敛的性质来刻画映射的连续性。
至于在什么样的条件下，定理2.8.5(2) 和定理2.8.7的逆命题成立，也就是说可以用序列收敛的性质来刻画聚点和映射的连续性，我们以后还要进一步研究．
此外，在度量空间中，序列的收敛可以通过度量来加以描述．
定理2.8.9 设(X,?)是一个度量空间，?xi?i?N是X中的序列，x?X，则以下条件等价：
?1(l）序列?xi?i?N收敛于x;
(2）对于任意给定的实数??0，存在N＞0，使得当i＞N 时，?(xi,x)??；
(3)lim?(xi,x)?0.
i??证明：（1）?（2) ．给定实数??0，球形邻域B(x,?)是x的一个邻域，故在（l）成立的条件下，存在N＞0， 使得当i＞N 时，xi?B(x,?)，即?(xi,x)??．
(2）?（1) ．对于x的任何一个邻域U，存在实数??0。使得B(x,?)?U．因此如果（2）成立，那么存在N＞0使得当i＞N 时，?(xi,x)??，即xi?B(x,?)，因此xi?U. 条件（2）和（3）的等价性是明显的.
第三章 子空间、积空间和商空间
在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法．为了避
免过早涉及某些逻辑上的难点，在3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去做．
3.1 子空间
讨论拓扑空间的子空间目的在于对拓扑空间中的一个给定的子集，按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察．所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发．
考虑一个度量空间和它的一个子集．欲将这个子集看作一个度量空间，必须要为它的每一对点规定距离．由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点，因而把它们作为子集中的点的距离规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的．我们把上述想法归纳成定义：
定义3.1.1设(X,?)是一个度量空间，Y是X 的一个子集．因此Y?Y?X?X．显然我们称Y的度量?Y?Y是由X的度量?诱导出来的．度?Y?Y:Y?Y?R是Y的一个度量．
量空间(Y,?)称为度量空间(X,?)的一个度量子空间．
我们常说度量空间Y是度量空间X的一个度量子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的度量是由X的度量诱导出来的。我们还常将一个度量空间的任何一个子集自动的认作一个度量空间而不另行说明。例如我们经常讨论的实数空间R中的各种区间(a,b),[a,b]等，n维欧式空间中的n维单位球面
n?1??2nS??x?(x1,x2,?xn)?R?xi?1?
i?1??nn维单位开、闭球体
n?1??2nD??x?(x1,x2,?xn)?R?xi?1?i?1?? nn?1??2nE??x?(x1,x2,?xn)?R?xi?1?i?1?? n以及n维单位开、闭方体(0,1)和[0,1]等等，并且它们也自然被认作是拓扑空间（考
虑相应的度量诱导出来的拓扑）.
定理3.1.2 设Y是度量空间X的一个度量子空间．则Y的子集U是Y中的一个开集当且仅当存在一个X中的开集V 使得U?V?Y.
证明:由于现在涉及两个度量空间，我们时时要小心可能产生的概念混淆．对于
x?X(y?Y)，临时记度量空间X(Y)中以x(y)为中心，以??0为半径的球形邻域为
nnBX(x,?)(BY(y,?)).
首先指出：对于任何y?Y,??0，有
BY(y,?)?BX(y,?)?Y
这是因为一个点z?X属于BY(y,?)，动当且仅当z是Y中的一个点并且它与y在Y中的距离（即它与y在X中的距离）小于?.
现在设U是Y中的一个开集，由于Y的所有球形邻域构成的族是Y的拓扑的一个基，U可以表示为Y中的一族球形邻域，（设为A ）的并．于是
U??{BY(y,?):BY(y,?)?A }
=?{BY(y,?)?Y:BY(y,?)?A } =(?{BY(y,?):BY(y,?)?A })?Y
设V??{BX(y,?):BX(y,?)?A }，它是X中的一个开集，并且有U?V?Y. 另一方面，设U?V?Y，其中V是X中的一个开集，若y?U,则有y?Y,y?V.于是在X中存在y的一个球形邻域BX(y,?)?V.此时BY(y,?)?BX(y,?)?Y?U.这就证明了U是Y的一个开集。
按照定理3.1.2 的启示，我们来逐步完成本节开始时所提出的任务．
定义3.1.3 设A是一个集族，Y是一个集合．集族{A?YA?A }称为集族A 在集合Y上的限制，记作了A
Y．
引理3.1.4 设Y是拓扑空间（X，T ）的一个子集，则集族T 证明：我们验证T
满足拓扑定义中的三个条件：
Y是Y的一个拓扑．
Y(i) 由于X?T 和Y?X?Y，所以Y?T
~~Y，由于??T 和????Y，所以??T
~~Y.
(ii) 如果A,B?T
Y，即存在A,B?T 使得A?A?Y,B?B?Y．于是
~~~~A?B?(A?Y)?(B?Y)?(A?B)?Y
由于A?B?T ，所以A?B?T
~~Y.
~
(iii) 如果T 1是集族T
Y的一个子集族，即对于每一个A?T 1，存在A?T 使得
A?A?Y，那么
~?{A:A?T 1}=?{A?Y:A?T 1}=（?{A:A?T 1}）?Y
由于?{A:A?T 1}?T ，所以?{A:A?T 1}?T
~~~Y.
称为（相对于X的拓扑T
定义3.1.5设Y是拓扑空间（X，T ）的一个子集，Y的拓扑T 而言的）相对拓扑；拓扑空间(Y, T
YY)称为拓扑空间（X，T ）的一个（拓扑）子空间．
我们常说拓扑空间Y是拓扑空间X 的一个子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的拓扑就是对于X 的拓扑而言的相对拓扑．此外，我们也常将拓扑空间的子集认为是一个子空间而不另行说明．
假设Y是度量空间X的一个子空间．现在有两个途径得到Y的拓扑：一是通过X的度量诱导出Y的度量，然后考虑Y的这个度量诱导出来的拓扑；另一是先将X考虑成一个拓扑空间，然后考虑Y的拓扑为X的拓扑在Y上引出来的相对拓扑．事实上，定理3.1.2 已经指出经由这两种途径得到的Y的两个拓扑是一样的．下面把这层意思重新叙述一遍． 定理3.1.6 设Y是度量空间X的一个度量子空间，则X 与Y都考虑作为拓扑空间时，Y是X 的一个（拓扑）子空间．
定理3.1.7 设X,Y,Z都是拓扑空间，如果Y是X的一个子空间，Z是Y的一个子空间，则Z 是X的一个子空间．
证明:当Y是X的一个子空间，Z是Y的一个子空间时，我们有Z?Y?X；并且若设T为X的拓扑时，Z的拓扑是
(T
Y)
Z={U?YU?T }
Z
={U?Y?ZU?T } ={U?ZU?T }= T
因此Z是X的一个子空间．
定理3.1.8 设Y是拓扑空间X的一个子空间，y?Y．则 (l）分别记T 和T '为X和Y的拓扑，则T '= T
'Z
Y；
'(2）分别记F 和F 为X和Y的全体闭集构成的族，则F = F (3）分别记uy和uy为点y在X和Y中的邻域系，则uy?uy证明：（l）即是子空间和相对拓扑的定义． (2)成立是因为
F
Y''Y；
Y．
= {X?UU?T }
Y
= {(X?U)?YU?T } = {Y?U?YU?T } ={Y?U'U'?T }= F
'（3）设U?uy，则存在V?T 使得y?V?U.因此存在V1?T 使得V?V1?Y.令
'''U1?V1?U.由于y?V1?U1,故U1?uy并且U1?Y?(V1?U)?Y?V?U?U.所
以U?uyY.这就证明了uy?uy'Y.类似也可证明uy?uy'Y.
定理3.1.9 设Y是拓扑空间X的一个子空间，A是Y的一个子集，则 (1) A在Y中的导集是A在X中的导集与Y的交； (2) A在Y中的闭包是A在X中的闭包与Y的交．
证明:为证明这个定理，我们仍分别记A在X中的导集和闭包为d(A）和A.而记A在Y中的导集和闭包分别为dY(A)和cY(A)．
(1）一方面，设y?dY(A)，则对于y在X中的任何一个邻域U, 根据定理3.1.8,U?Y是y在Y中的一个邻域．所以U?(A?{y})?(U?Y)?(A?{y})??
因此y?d(A)．此外当然有y?Y.所以y?d(A)?Y．这证明dY(A)?d(A)?Y.
另一方面，设y?d(A)?Y.令V为y在Y中的任何一个邻域，则存在y在X中的一个邻域U使得V?U?Y．由于U?(A?{y})??，以及A?Y，我们有V?(A?{y})?Y．
于是V?(A?{y})?(U?(A?{y}))?Y?U?(A?{y})??,所以y?dY(A)．这证明dY(A)?d(A)?Y. (2）成立是因为
cY(A)?A?dY(A)?A?(d(A)?Y) ?(A?d(A))?(A?Y)?A?Y
定理3.1.10 设Y是拓扑空间X的一个子空间，y?Y，则 (1）如果B是拓扑空间X的一个基，则B
是子空间Y的一个基；
是点y在子空间Y中的一个邻域
Y(2）如果vy是点y在拓扑空间X中的一个邻域基，则vy基．
Y证明:（l）设B是X的一个基．对于Y中的任何一个开集U，存在X中的一个开集V使得
U?V?Y；存在B的一个子族B1使得V??{B:B?B1}．因此
U??{B?Y:B?B1}
由于上式中的每一个B?Y是B某些元素之并了．因此B
YY中的一个元素,所以在上式中U已经表示成了B
Y中的
是Y的一个基．
(2）设vy是点y在X中的一个邻域基．如果U是y在Y中的一个邻域，则存在y在X中的一个邻域V使得U?V?Y；于是存在V1?vy使得V1?V．从而V1?Y是y在Y中的一个邻域，并且V1?Y?V?Y?U，其中V1?Y?vy中的一个邻域基．
“子空间”事实上是从大拓扑空间中“切割”出来的一部分．这里有一个反问题，就是：一个拓扑空间什么时候是另一个拓扑空间的子空间？换言之，一个拓扑空间在什么条件下能够“镶嵌”到另一个拓扑空间中去？
定义3.1.11 设X和Y是两个拓扑空间，f:X?Y，映射f称为一个嵌入，如果它是一个单射，并且是从X到它的像集f(X)的一个同胚．如果存在一个嵌入f:X?Y，我们说拓扑空间X可嵌入拓扑空间Y.
Y．这证明vyY是点y在子空间Y
在这个定义中谈到映射f:X?Y是从X到它的像集f(X)的一个同胚，这句话完全精确的意思是映射f:X?f(X)，定义为对于任何x?X有f(x)?f(x)?f(X)，是一个同胚．为了省事，我们也把映射f也记作f，必须区别时应在上下文中说明．事实上，拓扑空间X可嵌入拓扑空间Y意思就是拓扑空间X与拓扑空间Y的某一个子空间同胚．换言之，在不区别同胚的两个拓扑空间的意义下，X“就是”Y的一个子空间．
不能嵌入的一个简单例子是，一个离散空间，如果它含有多于一个点，就决不可能嵌入到任何一个平庸空间中去；反之，一个平庸空间，如果它含有多于一个点，也决不可能嵌入到任何一个离散空间中去．欧氏平面中的单位圆周是否可以嵌入到实数空间（即直线）中去呢？这个问题我们到第四章中再作处理．本书中我们还会涉及一些比较深刻的嵌入定理．
~~~3.2 （有限）积空间
给定了两个拓扑空间，我们首先可以得到一个集合作为它们的笛卡儿积．如何按某种自然的方式给定这个笛卡儿积一个拓扑使之成为拓扑空间？
为此我们先对度量空间中的同类问题进行研究．首先回顾n维欧氏空间中Rn中的度量是如何通过实数空间中的度量来定义的：如果
x?(x1,x2,?,xn),y?(y1,y2,?,yn)?Rn
则x与y的距离定义为
?(x,y)??xi?yi
i?1n2其中xi?yi是R中的两个点xi和yi的通常距离．这种定义方式推广到有限个度量空间的笛卡儿积中去不会产生任何困难．
定义3.2.1设(X1,?1),(X2,?2),?(Xn,?n)是n(?1)个度量空间，令
X?X1?X2???Xn.
定义?:X?X?R使得对任意的x?(x1,x2,?,xn),y?(y1,y2,?,yn)?X，
?(x,y)???(x,y)iiii?1n2
容易验证?是X的一个度量．（请自行验证，注意验证中要用到2.1附录中的Schwarz引理．）我们称?为笛卡儿积X?X1?X2???Xn的积度量；称度量空间(X,?)为n个度量空间(X1,?1),(X2,?2),?(Xn,?n)的度量积空间．
根据上述定义明显可见，n维欧氏空间R就是n个实数空间R的度量积空间．
n先来考察积度量所诱导出来的拓扑有什么样的性质，以便使我们得到在拓扑空间中应该如何引出积空间的概念的启示．
定理3.2.2 设(X1,?1),(X2,?2),?(Xn,?n)是n(?1)个度量空间，(X,?)是它们的积空间．又设T i和T 分别是由度量?i和?所诱导出来的Xi和X的拓扑，其中i=1,2,…n．则X的子集族
B={U1?U2???UnUi?T i,i=1,2,…n}
是X的拓扑T 的一个基．
证明:我们仅就n＝2 的情形加以证明．
首先根据积度量的定义容易得到（请自行验证）：对于任意x?(x1,x2)?X和任意??0，
B1(x1,?2)?B2(x2,?2)?B(x,?)?B1(x1,?)?B2(x2,?)
其中Bi(xi,?)(B(x,?))表示在度量空间Xi(X)中以xi(x)为中心，以?为半径的球形邻域.
设U1?U2?B，其中U1,U2分别为X1,X2中的开集.如果x?(x1,x2)?U1?U2，则存在
B1(x1,?1)?U1和B2(x2,?2)?U2，于是
B(x,?)?B1(x1,?)?B2(x2,?)?U1?U2
其中??min{?1,?2}.这就说明了U1?U2是x的一个邻域.由于x是U1?U2中任意一个点，所以U1?U2是X中的开集.因此B?T .
如果U是X中的任意一个开集，即U?T ，则对于每一点x?U，存在B(x,?x)?U．从而B1(x1,?x2)?B2(x2,?x2)?U,由此可见
U??{B1(x1,?x2)?B2(x2,?x2)x?(x1,x2)?U
这就是说，X中的每一个开集都是B中的某些元素的并．这就完成了B是T 的一个基的证明．
一般情形的证明是完全类似的，这里不再赘述．
在定理3.2.2的启示下，我们按以下方式引进有限个拓扑空间的积空间这一概念．
定理3.2.3 设(X1,T1),(X2,T2),?,(Xn,Tn)是n个拓扑空间.则X?X1?X2???Xn有惟一的一个拓扑T 以X的子集族B={U1?U2???UnUi?T i,i=1,2,…n}为它的一个基． 证明：我们有
（1） 由于X?X1?X2???Xn?B，所以?{BB?B}=X； （2） 若U1?U2???Un，V1?V2???Vn?B，其中Ui,Vi?T i，则
(U1?U2???Un)?(V1?V2???Vn)
=(U1?V1)?(U2?V2)???(Un?Vn)?B
由上一章中的定理2.7.4可见本定理的结论成立.
定义3.2.4设(X1,T1),(X2,T2),?,(Xn,Tn)是n个拓扑空间. 则X?X1?X2???Xn的以子集族B={U1?U2???UnUi?T i,i=1,2,…n}为基的那个拓扑T 称为拓扑T
1，T 2，..., T
n的积拓扑，（X，T ）称为(X1,T1),(X2,T2),?,(Xn,Tn)的（拓扑）积
空间.
设X1,X2,?,Xn是n个度量空间，则笛卡儿积X?X1?X2???Xn可以有两种方式得到它的拓扑：一是先将X作成度量积空间，然后再由积度量诱导出X的拓扑；另一是先用每一Xi的度量诱导出Xi的拓扑，然后再将X考虑作为诸拓扑空间Xi的拓扑积空间．定理3.2.2 实际上已经指出这两种拓扑是一致的，现将这一点明确陈述如下：
定理3.2.5 设(X1,T1),(X2,T2),?,(Xn,Tn)是n(?1)个度量空间X1,X2,?,Xn的度量积空间．则将X和诸Xi都考虑作为拓扑空间时，X是X1,X2,?,Xn的（拓扑）积空间． 特别地，作为拓扑空间，。维欧氏空间R便是n个实数空间R的（拓扑）积空间． 定理3.2.6设(X1,T1),(X2,T2),?,(Xn,Tn)是n(?1)个度量空间X1,X2,?,Xn的积空间．对于每一个i?1,2,?,n，拓扑空间Xi有一个基Bi．则X的子集族
B={B1?B2???BnBi?Bi,i?1,2,?,n}
是拓扑空间X的一个基．
证明：设T i为Xi的拓扑，i?1,2,?,n．令B如积拓扑的定义中的积拓扑的那个基．为证明B是积空间X的一个基，只需证明B中的每一个元素均可以表示为B中的某些元素的并．为证此，设U1?U2?L?Un?B，其中Ui?Bi．由于Bi是T i的一个基，故对于每一个i，存在Di?Bi使得Ui?U{Bi：Bi?Di}．于是
'''nU1?U2?L?Un
=（U{B1：B1?D1}）?（U{B2：B2?D2}）?…?（U{Bn：Bn?Dn}）
=U{B1?B2???BnBi? Di} =U{B1?B2?L?Bn: B1?B2?L?Bn?D}
其中D=U{B1?B2???BnBi?Di，i?1,2,...,n}? B'. 这就完成了我们所需的证明．
例3.2.7 由于实数空间R有一个基由所有的开区间构成，故应用定理3 2.6 立即可见，n维欧氏空间Rn中的所有开方体(a1,b1)?(a2,b2)?L?(an,bn)构成Rn的一个基．特别地，欧氏平面R有一个基由所有的开矩形(a1,b1)?(a2,b2)构成．
定理3.2.8 设X?X1?X2???Xn是n(?1)个拓扑空间X1,X2,?,Xn的积空间．令T为X的拓扑，T i为Xi的拓扑，i?1,2,...,n，则X以它的子集族
F ={pi(Ui)Ui?T i}
为它的一个子基．其中，对于每一个i，映射pi:X?Xi是笛卡儿积X到它的第i个坐标集Xi的投射．
证明:我们仅证明n＝2 的情形．
首先注意，对于任何A1?X1和A2?X2有pi(A1)?A1?X2和p2(A2)?X1?A2.根据积空间的定义，B={U1?U2Ui?T i}是它的一个基．令B为F 的每一个有限非空子族之交的全体构成的集族，即B={S1?S2?L?SnSi?F , i?1,2,?,n}
'由于显然有F ?B，所以B?T ．另一方面，根据U1?U2?(U1?X2)?(X1?U2)，
''2?1?1?1可见B?B．综上，我们有B?B?T ．明显地，B是X的一个基．因此，F 是X 的一个子基．
一般情形的证明是完全类似的，留给读者自己补证．
定理3.2.9设X?X1?X2???Xn是n(?1)个拓扑空间X1,X2,?,Xn的积空间．则对于每一个i?1,2,...,n，笛卡儿积X到它的第i个坐标集Xi的投射pi:X?Xi是一个满的连续开映射．
证明:显然pi是一个满射．对于Xi中每一个开集Ui，根据定理3.2.8 , pi(Ui)是X的某一个子基的元素，所以必定是X中的一个开集．这证明pi的连续性．
令B为积拓扑定义中X的那个基．由于一族集合的并的像等于先求这一族集合中每一个集合的像然后再求并（参见教材定理1.6.3 ) ，所以为了证明pi是一个开映射，只需验证B
?1'''中每一个元素的pi像是Xi中的开集即可．然而这是显然的，因为如果U1,U2,...,Un分别是
X1,X2,?,Xn中的开集，则pi(U1?U2?...?Un)?Ui是Xi中的一个开集.
例3.2.10 积空间到它的坐标空间的投射可以不是闭映射．
例如考虑欧氏平面R2到它的第一个坐标空间R的投射p1:R?R．容易验证集合
2B?{(x1,x2)?R2x1x2?1}是R2中的一个闭集，然而p1(B)?R?{0}却不是R中的闭
集．
定理3.2.11设X?X1?X2???Xn是n(?1)个拓扑空间X1,X2,?,Xn的积空间．又设Y也是一个拓扑空间，则映射f:Y?X连续当且仅当对于每一个i?1,2,...,n，复合映射
piof:Y?Xi连续，其中，pi:X?Xi是积空间X对于第i个坐标空间Xi的投射．
证明:根据定理3.2.9 ，每一个投射pi连续，所以当f连续时，每一个piof连续．另一方面，假设对于每一个i?1,2,...,n，复合映射piof:Y?Xi连续．X的子基（参见定理3.2.8) F ={pi(Ui)Ui?T i}中的每一个元素pi(Ui)的f原像
?1?1f?1(pi(Ui))?(piof)?1(Ui)是Y中的一个开集．根据定理2.7.9可见f连续．
定理3.2.11 是数学分析中一个相应的定理的推广，在数学分析中的那个定理经常被陈述为：一个多元函数是连续的当且仅当它的每一个分量函数连续．下面的定理3.2.12 则说明积拓扑的一个重要特性．
定理3.2.12设X?X1?X2???Xn是n(?1)个拓扑空间X1,X2,?,Xn的积空间．T 是X的积拓扑．又设T 是X的某一个拓扑满足条件：对于X的拓扑T 而言，从X到它的第
'i个坐标空间Xi的投射pi:X?Xi是连续映射，i?1,2,...,n，则T ?T ．
''?1换言之，积拓扑是使从积空间到每一个坐标空间的投射都连续的最小的拓扑．
证明:由于X的拓扑T 使得对于每一个投射都连续，所以对于任何一个i?1,2,...,n和Xi中的任何一个开集Ui我们pi(Ui)?T ．于是X的积拓扑T 的子基（参见定理3.2.8 ) F ={pi(Ui)Ui?T i}包含于T ，从而T ?T ．
定理3.2.13 设X1,X2,?,Xn是n(?2)个拓扑空间．则积空间X1?X2?L?Xn同胚于积空间(X1?X2?L?Xn?1)?Xn．
证明:暂时将X1?X2?L?Xn到第i个坐标空间Xi的投射记作pi；将X1?X2?L?Xn?1到第j个坐标空间Xj的投射记作qj; 将(X1?X2?L?Xn?1)?Xn到它的坐标空间
?1'''?1'X1?X2?L?Xn?1和Xn的两个投射分别记作r1和r2．根据定理3.2.9 ，所有这些投射都
是连续的．定义映射k:X1?X2?L?Xn?(X1?X2?L?Xn?1)?Xn使得对于任何
(x1,x2,...,xn)?X1?X2?L?Xn，k(x1,x2,...,xn)?((x1.x2,...,xn?1),xn)容易验证k是一
个一一映射．为证明映射k连续，根据定理3.2.11 ，只要证明映射r1ok和r2ok连续．映
射r1ok:X1?X2?L?Xn?X1?X2?L?Xn?1是连续的，这是因为对于每一个j=1,2，…，n-1，映射qjor1ok?pj连续；此外r2ok?pn也连续． 通过完全类似的证明也可见k?1连续．因此k是一个同胚．
在定理3.2.13 中，尽管X1,X2,?,Xn和(X1?X2?L?Xn?1)?Xn作为集合可以是完全不同的，但这个定理告诉我们，假如我们对同胚的空间不予区别，那么这两个拓扑空间却是一样的．这个定理还告诉我们，假如我们对同胚的空间不予区别，有限个拓扑空间的积空间可以通过归纳的方式予以定义．
3.3 商空间
将一条橡皮筋的两个端点“粘合”起来，我们便得到了一个橡皮圈；将一块正方形的橡皮块一对对边上的点按同样的方向两两“粘合”起来，我们便得到了一个橡皮管，再将这个橡皮管两端的两个圆圈上的点按同样的方向两两“粘合”起来，我们又得到了一个橡皮轮胎；这种从一个给定的图形构造出一个新图形的办法可以一般化．
我们在第一章中讨论过等价关系和商集的概念．所谓商集乃是在一个集合中给定了一个等价关系之后将相对于这个等价关系而言的等价类所构成的集合，通俗地说便是分别将每一个等价类中的所有的点“粘合”为一个点后得到的集合．在定义1.5.6 中我们也曾说起过在一个集合X中给定了一个等价关系R之后，从集合X到商集X / R有一个自然投射
p:X?X/R, 它是一个满射．注意到了这一点，下面引出商拓扑和商空间的概念的方式便显得顺理成章了．
定义3.3.1 设（X，T ）是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X?Y是一个满射．容易验证Y的子集族T 1={U?Yf射f而言的）商拓扑．
容易直接验证在上述定义的条件下，Y的一个拓扑T 是Y的商拓扑当且仅当在拓扑空
'间（Y，T ）中F?Y是一个闭集的充分必要条件是f?1?1(U)?T }是Y的一个拓扑．我们称T 1为Y的（相对于满
'(F)是X中的一个闭集．
定理3.3.2设（X，T ）是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X?Y是一个满射．则 (1)如果T 1是Y的商拓扑，则f:X?Y是一个连续映射； (2)如果T T
'1'1是Y的一个拓扑，使得对于这个拓扑T
'1而言映射f是连续的，则
?T 1.这也就是说商拓扑是使映射f连续的最大的拓扑．
证明:(1)根据定义自明． (2)设U?T
'1，由于满射f对于Y的拓扑T
'1'1而言连续，故f?1(U)?T ，因此
U? T 1，这证明T ?T 1．
定义3.3.3 设X和Y是两个拓扑空间，f:X?Y．我们称映射f为一个商映射，如果它是一个满射并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑．
根据定理3.3.2 可见商映射是连续的．下面的这个定理告诉我们如何利用商映射来验证一类映射的连续性．
定理3.3.4 设X,Y和Z都是拓扑空间，且f:X?Y是一个商映射，则映射g:Y?Z连续当且仅当映射g?f:X?Z连续．
证明:由于商映射f连续，故当g连续时g?f连续．
另一方面，设g?f连续．若W是Z中的一个开集，则(g?f)(W)是X中的一个开集．然而(g?f)(W)?f便证明了g连续．
?1?1?1(g?1(W))，所以根据商拓扑的定义g?1(W)是Y中的一个开集．这
为了应用定理3.3.4 ，如何知道一个拓扑空间的拓扑是相对于从另一个拓扑空间到它的一个满射而言的商拓扑便成了一个有意思的问题．我们在这里只给出一个简单的必要条件．为此先陈述开映射和闭映射的定义．
定义3.3.5 设X和Y是两个拓扑空间，映射f:X?Y称为一个开映射（闭映射），如果对于X中的任何一个开集（闭集）U，像集f (U）是Y中的一个开集（闭集）.
定理3.3.6 设X和Y是两个拓扑空间，如果映射f:X?Y是一个连续的满射，并且是一个开映封（闭映射），则Y的拓扑便是相对于满射f而言的商拓扑．
证明：我们证明当f是开映射的情形．如果V是Y中的一个开集，由于映射f连续，所以
f?1(V)是X中的一个开集，因此V是Y中对于商拓扑而言的一个开集．另一方面，如果V
?1是Y中对于商拓扑而言的一个开集，则f?1(V)是X中的一个开集，由于f是一个开的满射，
所以f(f(V))?V是Y中的一个开集．综上所述，我们证明了Y的拓扑便是商拓扑．当f 是闭映射的情形时，证明是类似的．
定义3.3.7设（X，T ）是一个拓扑空间，R是X中的一个等价关系．商集X/R的（相对于自然的投射p:X?X/R而言的）商拓扑T R称为X/R的（相对于等价关系R而言的）商拓扑，拓扑空间（X/R，T 商空间．
R）称为拓扑空间（X，T ）的（相对于等价关系R而言的）
如果X是一个拓扑空间，R是X中的一个等价关系，若无另外的说明，我们总认为商集X/R的拓扑是商拓扑，也就是说将商集X/R认作拓扑空间时，指的就是商空间．因此投射p:X?X/R是一个商映射．
通过在一个拓扑空间中给定等价关系的办法来得到商空间是构造新的拓扑空间的一个重要手法．下面给出若干例子．
例3.3.8 在实数空间R中给定一个等价关系
R?{(x,y)?R2或者x,y?Q或者x,y?Q}所得到的商空间R/R实际上便是由两个点构
成的平庸空间．（请读者自行验证．）然而，明确地写出上面那个等价关系R有时是很麻烦的，我们经常采用一种较为通俗的简便说法，将这个商空间R/R说成是“在实数空间中将所有有理点和所有无理点分别粘合（或等同）为一点所得到的商空间”. 例3.3.9 在单位闭区间I?[0,1]中给定一个等价关系
R?{(x,y)?I或者x?y或者{x,y}?{0,1}}，我们便得到了一个商空间I/R．由于与例
3.3.1中同样的理由，习惯上也将这个商空间说成是“在单位闭区间I中粘合两个端点所得到的商空间”．事实上这个商空间与单位圆周S同胚．
类似地我们还可以构造出许多为读者熟悉或不熟悉的拓扑空间．例如在单位正方形
1I2?[0,1]2中将它的一对竖直的对边上的每一对具有相同的第二个坐标的点(0,x)和(1,x)
粘合，得到的商空间将同胚于一截“管子”，而将它的一对竖直的对边上的每一对点(0,x)和(1,1-x)粘合得到的商空间通常叫做Mobius带．数学中许多重要的对象如环面，Klein瓶，射影平面和射影空间等也都可以作为商空间而给出，我们在此不做进一步的介绍．
第四章 连通性
本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间．
4.1 连通空间
我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R中的两个区间(0,1)和[1,2)，尽管它们互不相交，但它们的并(0,1)?[1,2)?(0,2)却是一个“整体”；而另外两个区间(0,1)和(1,2), 它们的并(0,1)?(1,2)是明显的两“部分”．产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间(0,1)有一个凝聚点1在[1,2)中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形． 定义4.1.1 设A和B是拓扑空间X中的两个子集．如果(A?B)?(B?A)??,则称子集A和B是隔离的．
明显地，定义中的条件等价于A?B??和B?A??同时成立，也就是说，A与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的凝聚点．
应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集(0,1)和(1,2)是隔离的，而子集(0,1)和[1,2)不是隔离的．
又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的．
定义4.1.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X?A?B，则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间．
显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间． 定理4.1.3 设X是一个拓扑空间．则下列条件等价： (l) X是一个不连通空间；
(2) X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A?B??和A?B?X成立； (3) X中存在着两个非空的开子集A和B使得A?B??和A?B?X成立； (4) X中存在着一个既开又闭的非空真子集．
证明:（l）蕴涵（2)．设（l）成立．令A和B是X中的两个非空的隔离子集使得A?B?X，显然A?B??，并且这时我们有B?B?X?(B?A)?(B?B)?B.因此B是X中的一个闭子集；同理A也是X中的一个闭子集．这证明了集合A和B满足条件（2）中的要求． (2）蕴涵（3)．如果X的子集A和B满足条件（2）中的要求，则由于这时有A?B'和B?A'，易见A和B也满足条件（3）中的要求．
(3）蕴涵（4)．如果X的子集A和B满足条件（3）中的要求，则易见A和B都是X中的既开又闭的非空真子集，所以条件（4）成立．
(4）蕴涵（1)．设X中有一个既开又闭的非空真子集A．令B?A，则A和B都是X中的非空的闭子集，它们是无交的并且使得A?B?X．易见两个无交的闭子集必定是隔的．因此（l）成立.
例4.1.4 有理数集Q作为实数空间R的子空间是一个不连通空间．这是因为对于任何一个无理数r?R?Q，集合(??,r)?Q(?(??,r]?Q)是Q中的一个既开又闭的非空真子集． 定理4.1.5 实数空间R是一个连通空间．
证明:我们用反证法来证明这个定理．假设实数空间R是不连通空间．则根据定理4.1.3，在R中有两个非空闭集A和B使得A?B??和A?B?R成立．任意选取a?A和b?B，
''不失一般性可设a?b．令A?A?[a,b]和B?B?[a,b]．于是A和B是R中的两个非'''空闭集分别包含a和b，并且使得A?B??和A?B?[a,b]成立. 集合A有上界b，
'''''故有上确界，设为b．由于A是一个闭集，所以b?A，并且因此可见b?b，因为b?b'''''将导致b?A?B，而这与A?B??矛盾．因此(b,b]?B．由于B是一个闭集，所
''''''''''以b?B．这又导致b?A?B，也与A?B??矛盾．
'''''