类比迁移在数学学习中的作用与应用
摘要：数学是培养人的能力的一门重要学科，对大多数人而言，数学思想方法比形式化的数学知识更加重要，在生活和工作中发挥着更为重要的作用，其中类比法贯穿知识始终，它对学生当前的数学学习，乃至未来的分析、探索问题，合情猜测和推理结果。本文结合目前高中数学学习，对学生类比推理能力的培养举措进行探讨，论述了类比推理的重要性，以及它在学生能力培养上所发挥的作用。
关键词：数学思想方法 数学学习 类比 迁移
数学是培养人的能力的一门重要学科, 从小学到中学,乃至到了大学，学生都为它投入了大量的时间和经历.有学生是这样评价他的数学经历：小学数学老师教会了我加、减、乘、除,初中数学老师教会了我乘方、开方,高中数学老师教给了我数学理念??新课标也指出：高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用.
统计数字也表明：学生毕业后，研究数学和从事数学教育的人占1%，使用数学的人占29%，基本不用或很少用数学的占70%.对大多数学生而言，数学思想方法比形式化的数学知识更加重要，因为前者更具有普遍性，更能在他们未来的生活和工作中发挥作用。联合国教科文组织的数学教育论文专辑中曾叙述过这样一个典型的例子：我们能确信三角形面积公式一定是重要的吗？很多人在校外生活中使用这个公式至多不超过一次。更重要的是获得这样的思想方法：就是通过分割一个表面成一些简单的小块，并且用一种不同的方式重新组成这个图形来求它的面积值.这个见解也映证了数学思想方法是提高数学素质的关键.
一、问题的提出
高中阶段，学生学习和应用的数学思想方法有很多，其中类比法在高中数学的许多方面都发挥着积极作用.人们已经公认，类比是人类获得新知和解决问题的重要机制之一。美国数学家波利亚对类比法推崇倍至，他在《怎样解题》的第三部分——探索法小词典里,首先谈到的即是类比。他认为: “在我们的思维、日常谈话、一般结论以及艺术表演方法和最高科学成就中无不充满了类比。类比可在不同的水平使用??”,“我们希望能预测结果,或者,至少在某种似乎可信的程度上预测结果的某些特征.这种似乎可信的预测通常是以类比为基础的”.
根据类比领域专家Genter的观点，类比是知识从一个领域（源领域）向另一
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个领域（目标领域）的映射,源情景事物之间存在的关系系统也存在于目标情景的事物之间时,类比便有可能发生.因此类比方法也称为类比推理,它是从特殊到特殊的推理,是物体共有关系的迁移,而不迁移其中的物体或物体属性.类比推理具有如下形式：
A具有性质F1,F2,?Fn,P B具有性质F1?,F2?,?Fn?, 推测B具有性质p?.
这里, p?分别与F1,F2,?Fn,P相同或相似.A和B指不同的对象或不同的事物 二、类比推理对高中数学教学的作用与重要性
类比不仅在数学领域发挥着重要作用——例如瑞士数学家哈德·欧拉通过类比成功地解决了另一个瑞士数学家雅克·伯努利所没有解决的“求所有自然数平方
111的倒数之和,即1?()2?()2?()2??的和”的问题,并用同样的方法发现了莱布
234111?尼兹级数的和,即1??????，再如柯尔莫戈洛夫将概率和测度作类比,解
3574决了长久以来存在的概率含义缺乏坚实数学基础的困扰,得到公理化概率论;它在其他科学发挥着巨大的作用——物理学家卢瑟福曾将原子内部的情况和太阳系类比m最后得出原子结构的行星模型说,原子极小,而宇宙博大,二者竟如此相像,类比思想确具创造性.
1.类比法能有效沟通新旧知识，突破教学难点
心理学研究表明,当学习内容处于学生的“最近发展区”范围之内时,学生更容易获得成功，这种成功感可以有力地保证学生不会因过多的失败而放弃他们的努力, 失去发现的机会.同时，应用类比法，可以促使学生回顾旧知,尝试在已有知识的基础上,去发现新结论、构建新知识, 可以有效的实现旧知识在新内容中的正迁移，帮助学生建立新旧知识的联系,突破教学难点,降低教学难度,这也符合建构主义的学习理论.例如，立体几何是高中数学学习的一大难点，如果教师能够利用学生已有的平面几何知识，将二维的知识概念类比到三维的学习中，就可以降低学习立体几何的难度.
例1：立体几何二面角概念的学习 角 二面角 2
βαAB图形 α βB顶点 O A边 βA图 2Baα aαβ从平面内一点引出的两条定义 射线（半直线）所组成的图形 表示法 从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形 二面角??a??（面—棱—面） ?AOB（边—顶点—边） 例2：类比平面向量的坐标表示，得到空间向量的坐标表示
??平面向量的坐标表示：分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作
?????为基底若a?xi?yj,记作a?(x,y).把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标,
???i?(1,0),j?(0,1),0?(0,0) ???空间向量的坐标表示：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，若
?????则有序实数组(a1,a2,a3)叫作向量a在空间直角坐标系O?xyz中a?a1i?a2j?a3k，????的坐标，记作a?(a1,a2,a3).i?(1,0,0);j?(0,1,0);k?(0,0,1);
例3：由平面向量的直角坐标运算律类比得到空间向量的直角坐标运算律： 环节1：复习平面向量的坐标运算，
??若a?(a1,a2)，b?(b1,b2)，
?????则a?b?(a1?b1,a2?b2)，a?b?(a1?b1,a2?b2)，?a?(?a1,?b2)，
??a?b?a1b1?a2b2
????两向量平行与垂直的充要条件：a//b?x1y2?x2y1?0，a?b?x1x2?y1y2?0
若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB??x2?x1,y2?y1?,AB中点坐标为x?xy?y2(12,1) 22环节二：类比得空间向量的直角坐标运算： ??若a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)， ????则a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)；a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)； ????a?(?a1,?a2,?a3)(??R)；a?b?a1b1?a2b2?a3b3， ??????a//b?a??b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)，a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0
????若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB?(x2?x1,y2?y1,z2?z1), AB中点坐标为 x?xy?y2z1?z2(12,1,) 222
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2.类比法可以实现学生经历和体验创造性解决问题的过程
《高中数学课程标准》提出不仅要教给学生基本的数学知识,更要引导学生去学习数学思想方法，感受数学理念,体会数学思维的严密性与深刻性.但是探索、研究、创新需要有坚实的知识作为基础，而类比方法与思想在解决问题中的应用，可以让过程成为问题解决的有机组成部分.因为在运用类比得出数学结论之前,学习者必然对两个对象进行比较,找到它们的对应部分,并明确其具有的某些一般特征,即发现可类比的对象,把观察到的结果加以综合类比,清楚类比对象中结论的来源,然后对想要得到的结论进行猜测,推测证明的思路,最后证明或推翻猜测.
3.应用类比法有利于激发学生探索，获得“ 再发现”的体验
在进行类比和知识迁移的过程中，学生是作为一个探索者、研究者和发现者而去进行研究的,这使得学生能从中获得了大量探索发现的机会.同时，类比思维在数学知识的延伸拓展过程中常借助于比较、联想，用作启发诱导以寻求思维的变异和发散，因此，类比方法是数学发现的有效方法.例如在学习立体几何中，学生可以利用平面几何中已有的性质定理，探索和研究立体几何中的相关性质.
类比 “平行四边形的对角线互相平分”???? “平行六面体的对角线交于一点,迁移且互相平分”;
类比“等腰三角形的高通过底边的中点” ??“正棱锥的高通过底面的中心”; ?? 迁移类比 “在同一三角形中两边之和大于第三边” ???? “在同一三棱锥中三个面迁移的面积之和大于第四个面的面积”;
类比三角形具有“四心”(内心、外心、重心、垂心) ????三棱锥也可能具有“四迁移心”??
通过这样的类比分析，可以调动学生思维的积极性，而且在探索结果的同时，既使知识深化，又贯彻了课堂教学精讲和学生自主探索的原则。
4.应用类比法可以加深学生对知识点的理解
学生在进行基础知识讲解，解题指导时，往往只注意到知识点和题目的一些外在形式，而忽略了一些本质特征（如其中所蕴涵的数学思想方法），忽视知识点、相关题目之间的联系，这容易造成学生经常出现解题盲点，无法将所学知识，所掌握的解题方法、技巧顺利地应用到独立解题中。而类比迁移，可以学生将所学知识、技能进行分析比较，找到它们之间的相互联系和区别，探明其形式和本质的统一，从而使问题得到圆满的解决.
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