高中数学经典高考难题集锦(解析版)(11)

确定. 16.(2005?重庆)数列{an}满足a1=1且8an+1an﹣16an+1+2an+5=0(n≥1).记

(Ⅰ)求b1、b2、b3、b4的值;

(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn. 考数列的求和;数列递推式. 点: 专计算题;压轴题. 题: 分(法一)(I)由a1结合递推公式可求a2,a3,a4,代入析: 求b1,b2,b3,b4 (II)先由(I)中求出的b1,b2,b3,b4的值,观察规律可猜想数列进而可求bn,结合?为等比数列,,从而猜想得以证明,代入求出an?bn,进而求出前n和sn (法二)(I)代入递推公式可得,代入可求b1,b2,b3,b4 (II)利用(I)中的递推关系个构造数列为等比数列,从而可求bn,sn (法三)(I)同法一 (II)先由(I)中求出的b1,b2,b3,b4的值,观察规律可猜想数列bn+1﹣bn为等比数列,仿照法一再证明猜想,根据求通项的方法求bn,进一步求sn 解解:法一: 答(I)a1=1,故;, : 故;, 故;, 第21页(共42页)

故 (II)因. , 故猜想是首项为,公比q=2的等比数列. 因an≠2,(否则将an=2代入递推公式会导致矛盾)故. 因, 故因由确是公比为q=2的等比数列. ,故得,, , 故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn= 法二: (Ⅰ)由得,代入递推关系8an+1an﹣16an+1+2an+5=0, == 整理得由a1=1,有b1=2,所以 (Ⅱ)由所以,即, . , 是首项为,公比q=2的等比数列, 第22页(共42页)

故由,即,得, . 故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn=. 法三: (Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)项为, 公比q=2的等比数列, 猜想{bn+1﹣bn}是首==又因an≠2,故. 因此= ; =. 因是公比q=2的等比数列,, 从而bn=(bn﹣bn﹣1)+(bn﹣1﹣bn﹣2)+…+(b2﹣b1)+b1===

. 第23页(共42页)

由得, 故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn===. 点本题考查了数列的综合运用:递推关系的运用,构造等比求数列通项,累加求通项,归评纳推理的运用,综合考查了考生的推理运算能力. : 17.(2004?上海)设P1(x1,y1),P1(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N)是二次曲线

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C上的点,且a1=|OP1|,a2=|OP2|,…,an=|OPn|构成了一个公差为d(d≠0)的等差数列,其中O是坐标原点.记Sn=a1+a2+…+an. (1)若C的方程为出一个)

(2)若C的方程为

(a>b>0).点P1(a,0),对于给定的自然数n,当公差d=1,n=3.点P1(10,0)及S3=255,求点P3的坐标;(只需写

变化时,求Sn的最小值;

(3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P1,P2,…Pn存在的充要条件,并说明理由. 考点: 等差数列的性质;数列的求和;椭圆的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (1)依题意可分别求得a1和a3,进而把椭圆方程和圆的方程联立求得交点即P3的坐标. (2)根据原点O到二次曲线C:(a>b>0)上各点的最小距离为b,最大距离为a.根据a1=a,判断d<0,进而根据an≥b,求得22≤d,进而判断Sn在[,0)上递增,进而求得Sn的最小值. (3)点P1(a,0),则对于给定的n,点P1,P2,Pn存在的充要条件是d>0.根据2双曲线的性质可知原点O到双曲线C上各点的距离h的范围,进而根据|OP1|=a推断22点P1,P2,Pn存在当且仅当|OPn|>|OP1|符合. 第24页(共42页)

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