高中数学经典高考难题集锦(解析版)(11)

∴ 又∴ . 点评: 本题主要考查了等比关系的确定和数列的求和问题.考查了学生对数列知识的综合掌握. 13.(2006?天津)已知数列{xn},{yn}满足x1=x2=1,y1=y2=2,并且

(λ为非零参数,n=2,3,4,…).

(1)若x1,x3,x5成等比数列,求参数λ的值; (2)当λ>0时,证明

;当λ>1时,证明:

考点: 等比数列的性质;不等式的证明. 专题: 计算题;证明题;压轴题. 分析: 36(1)根据把x1=x2=1代入求得x3,同理可求得x4=λ,x5=λ,进而根据等比中项的性质求得λ. (2)根据根据不等式性质可知有≥…≥=λn﹣1;=…=λn﹣1 进而可得出,再看当λ>1时得出≥,即≥\\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}},代入\\frac{{x}_{1}﹣{y}_{1}}{{x}_{2}﹣{y}_{2}}+\\frac{{x}_{2}﹣{y}_{2}}{{x}_{3}﹣{y}_{3}}+…+\\frac{{x}_{n}﹣{y}_{n}}{{x}_{n+1}﹣{y}_{n+1}},原式得证. 第17页(共42页)

解答: (1)解:由已知x1=x2=1,且36 226∴x3=λ,同理可知x4=λ,x5=λ,若x1、x3、x5成等比数列,则x3=x1x5,即λ=λ.而λ≠0,解得λ=±1. (2)证明:(Ⅰ)由已知λ>0,x1=x2=1及y1=y2=2,可得xn>0,yn>0.由不等式的性质,有≥…≥ =λn﹣1; 另一方面,=…=λn﹣1. 因此,=(n∈N).故**(n∈N). *(Ⅱ)当λ>1时,由(Ⅰ)可知,yn>xn≥1(n∈N). 又由(Ⅰ)(n∈N),则*≥, 从而≥(n∈N). *∴ 点评: 本题以数列的递推关系为载体,结合等比数列的等比中项及前n项和的公式,运用不等式的性质及证明等基础知识进行运算和推理论证. 14.(2006?天津)已知数列{xn}满足x1=x2=1并且3,4,…).

(1)若x1、x3、x5成等比数列,求参数λ的值; (2)设0<λ<1,常数k∈N且k≥3,证明

考等比数列的性质;等差数列的前n项和;数列的应用;不等式的证明. 点为非零参数,n=2,

*

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: 专计算题;证明题;压轴题. 题: 分析(1)令n=2,3,4代入到: 2为非零参数,n=2,3,4,…)中得到x1、x3、x5若它们成等比数列则根据x3=x1x5,即求出λ即可; (2)设,由已知,数列{an}是以*为首项、λ为公比的等比数列,化简不等式左边由0<λ<1,常数k∈N且k≥3得证. 解解:(1)解:由已知x1=x2=1,且答: 若x1、x3、x5成等比数列, 226则x3=x1x5,即λ=λ.而λ≠0, 解得λ=±1. (2)证明:设,由已知,数列{an}是以. 为首项、λ为公比的等比数列, 故, 则=λn+k﹣2.λn+k﹣3n﹣1λ . 因此,对任意n∈N,==* =. 当k≥3且0<λ<1时,, 第19页(共42页)

所以. 点本小题以数列的递推关系为载体,主要考查等比数列的等比中项及前n项和公式、等差评数列前n项和公式、不等式的性质及证明等基础知识,考查运算能力和推理论证能力. : 15.(2005?山东)已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N) (I)证明数列{an+1}是等比数列;

2n

(II)令f(x)=a1x+a2x+…+anx,求函数f(x)在点x=1处的导数f'(1)并比较2f'(1)

2

与23n﹣13n的大小. 考点: 等比关系的确定;导数的运算;不等式比较大小. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (I)根据an+1=Sn+1﹣Sn,得到n≥2时an+1和an关系式即an+1=2an+1,两边同加1得到an+1+1=2(an+1),最后验证n=1时等式也成立,进而证明数列{an+1}是等比数列. (II)通过(I){an+1}的首项为5公比为2求得数列an+1的通项公式,进而求得an的通项公式,代入f(x)进而求出f'(x),再求得f‘(1),进而求得2f‘(1).要比较*

2f'(1)与23n﹣13n的大小,只需看2f′(1)﹣(23n﹣13n)于0的关系. *解答: 解:(I)由已知Sn+1=2Sn+n+5(n∈N), 可得n≥2,Sn=2Sn﹣1+n+4两式相减得Sn+1﹣Sn=2(Sn﹣Sn﹣1)+1即an+1=2an+1 从而an+1+1=2(an+1) 当n=1时S2=2S1+1+5所以a2+a1=2a1+6又a1=5所以a2=11 从而a2+1=2(a1+1) *故总有an+1+1=2(an+1),n∈N又a1=5,a1+1≠0 从而=2即数列{an+1}是等比数列; n22(II)由(I)知an=3×2﹣1 2nn﹣1因为f(x)=a1x+a2x+…+anx所以f′(x)=a1+2a2x+…+nanx 2n从而f′(1)=a1+2a2++nan=(3×2﹣1)+2(3×2﹣1)+…+n(3×2﹣1) =3(2+2×2++n×2)﹣(1+2++n)=3(n﹣1)?22n2nn+1﹣2+6. 由上2f′(1)﹣(23n﹣13n)=12(n﹣1)?2﹣12(2n﹣n﹣1) n=12(n﹣1)?2﹣12(n﹣1)(2n+1) n=12(n﹣1)[2﹣(2n+1)]① 2当n=1时,①式=0所以2f'(1)=23n﹣13n; 2当n=2时,①式=﹣12<0所以2f'(1)<23n﹣13n nn01n﹣1n当n≥3时,n﹣1>0又2=(1+1)=Cn+Cn++Cn+Cn≥2n+2>2n+1 n2所以(n﹣1)[2﹣(2n+1)]>0即①>0从而2f′(1)>23n﹣13n. 点评: 本题主要考查了数列中等比关系的确定.往往可以通过,q为常数的形式来第20页(共42页)

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