高中数学经典高考难题集锦(解析版)(11)

10.(2006?北京)设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数,前n项和为Sn. (Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)若a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式. 考点: 等差数列的通项公式;等差数列的性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (Ⅰ)本题是关于等差数列的基本量的运算,设出题目中的首项和公差,根据第十一项和前十四项的和两个数据列出方程组,解出首项和公差的值,写出数列的通项. (Ⅱ)根据三个不等关系,写出关于首项和公差的不等式组,解不等式组,得到一个范围,根据{an}的首项a1及公差d都为整数得到所有可能的结果,写出通项公式. 解答: 解:(Ⅰ)由S14=98得2a1+13d=14, 又a11=a1+10d=0, ∴解得d=﹣2,a1=20. ∴{an}的通项公式是an=22﹣2n, (Ⅱ)由 得 即 由①+②得﹣7d<11. 即d>﹣. 由①+③得13d≤﹣1 即d≤﹣于是﹣ <d≤﹣ 又d∈Z,故 d=﹣1 ④ 将④代入①②得10<a1≤12. 又a1∈Z,故a1=11或a1=12. ∴所有可能的数列{an}的通项公式是 an=12﹣n和an=13﹣n, 点评: 本题考查数列的基本量,是一个综合问题,题目中结合不等式和方程的解法,根据题目所给的关系,写出关于数列的首项和公差的方程组,解方程组得到公差和首相,再写出通项公式. 第13页(共42页)

11.(2006?山东)已知数列{an}中,

,点(n,2an+1﹣an)在直线y=x上,其中n=1,

2,3….

(Ⅰ)令bn=an+1﹣an﹣1,求证数列{bn}是等比数列; (Ⅱ)求数列{an}的通项;

(Ⅲ)设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和,是否存在实数λ,使得数列

为等差数列?若存在,试求出λ.若不存在,则说明理由. 考等比关系的确定;等差关系的确定;数列的求和;数列递推式. 点: 专计算题;压轴题. 题: 分(Ⅰ)把点(n、2an+1﹣an)代入直线方程可得2an+1=an+n代入bn和bn+1中两式相除结析: 果为常数,故可判定{bn}为等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)可求得数列{bn}的通项公式,进而可求得数列的前n项和,进而可得{an}的通项公式. (Ⅲ)把数列an}、{bn}通项公式代入an+2bn,进而得到Sn+2T的表达式代入Tn,进而推断当且仅当λ=2时,数列解解:(Ⅰ)由已知得答: ∵又bn=an+1﹣an﹣1,bn+1=an+2﹣an+1﹣1, 是等差数列. , , ∴===, ∴{bn}是以为首项,以为公比的等比数列. , , ,, (Ⅱ)由(Ⅰ)知,∴∴… ∴将以上各式相加得: 第14页(共42页)

, ∴∴, . ∴. 是等差数列. (Ⅲ)存在λ=2,使数列由(Ⅰ)、(Ⅱ)知,an+2bn=n﹣2 ∴ 又= ∴当且仅当λ=2时,数列是等差数列. 点本题主要考查了等比关系和等差关系的确定.要利用好an和an﹣1的关系. 评: 12.(2006?山东)已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x+2x的图象上,其中n=1,2,3,…

(1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn及数列{an}的通项; (3)记

,求数列{bn}的前n项Sn,并证明

2

考点: 等比关系的确定;数列的求和;数列递推式. 专题: 计算题;证明题;压轴题. 2分析: (1)把点(an,an+1)代入函数式,整理得an+1+1=(an+1),两边取对数整理得第15页(共42页)

,进而判断{lg(1+an)}是公比为2的等比数列. (2)根据等比数列的通项公式求的数列{lg(1+an)}的通项公式,进而求的an代入到Tn=(1+a1)(1+a2)(1+an)求的Tn. (3)把(2)求的an代入到,用裂项法求和求得项,又,原式得证. 2解答: 解:(Ⅰ)由已知an+1=an+2an, 2∴an+1+1=(an+1) ∵a1=2 ∴an+1>1,两边取对数得lg(1+an+1)=2lg(1+an), 即 ∴{lg(1+an)}是公比为2的等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)知lg(1+an)=2∴∴ =31+2+22n﹣1?lg(1+a1)= ∴Tn=(1+a1)(1+a2)(1+an)=(Ⅲ)∵an+1=an+2an ∴an+1=an(an+2) ∴ 2+…+2n﹣1= ∴ 又∴ = ∴Sn=b1+b2+…+bn=∵第16页(共42页)

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@)