高中数学经典高考难题集锦(解析版)(11)

分析: 先把题设中的三个等式联立可求得a,b和c,再把它们的值代入所求代数式,即可得解. 2222解答: 解:∵b+c=2,c+a=2, ∴b+c=c+a 22∴b=a 22又a+b=1, 所以当a=b=)=﹣,c=﹣, , 时ab+bc+ca有最小值为:×+×(﹣)+×(﹣2222ab+bc+ca的最小值为﹣故选B. 点评: 本题解题的关键是通过已知条件求得a,b和c值,然后代入即可. 二.解答题(共25小题) 6.(2007?重庆)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足S1>1,且6Sn=(an+1)(an+2),

*n∈N.

(1)求{an}的通项公式; (2)设数列{bn}满足

*

,并记Tn为{bn}的前n项和,求证:3Tn+1>log2

(an+3),n∈N. 考点: 数列的求和;等差数列的通项公式;不等式的证明. 专题: 计算题;证明题;压轴题. 分析: (1)先根据题设求得a1,进而根据an+1=Sn+1﹣Sn整理得(an+1+an)(an+1﹣an﹣3)=0求得an+1﹣an=3,判断出{an}是公差为3,首项为2的等差数列,则数列的通项公式可得. (2)把(1)中的an代入入到3Tn+1﹣log2(an+3)中,令可求得bn,进而求得前n项的和Tn,代,进而判断出f(n+1)>f(n),从而推断出3Tn+1﹣log2(an+3)=log2f(n)>0,原式得证. 解答: 解:(1)由,解得a1=1或a1=2,由假设a1=S1>1,因此a1=2, 又由得(an+1+an)(an+1﹣an﹣3)=0, 即an+1﹣an﹣3=0或an+1=﹣an,因an>0,故an+1=﹣an不成立,舍去 因此an+1﹣an=3,从而{an}是公差为3,首项为2的等差数列, 故{an}的通项为an=3n﹣1 第9页(共42页)

, (2)证明:由从而因此令可解得 ,则; 因(3n+3)﹣(3n+5)(3n+2)=9n+7>0,故f(n+1)>f(n) 特别地,从而3Tn+1﹣log2(an+3)=log2f(n)>0 32即3Tn+1>log2(an+3) 点评: 本题主要考查了等差数列的通项公式.涉及了不等式的证明,综合考查了学生对数列知识的灵活运用. 7.(2007?上海)如果有穷数列a1,a2,a3,…,am(m为正整数)满足条件a1=am,a2=am﹣

,我们称其为“对称数列”.例如,数列1,2,5,1,…,am=a1,即ai=am﹣i+1(i=1,2,…,m)

2,1与数列8,4,2,2,4,8都是“对称数列”.

(1)设{bn}是7项的“对称数列”,其中b1,b2,b3,b4是等差数列,且b1=2,b4=11.依次写出{bn}的每一项;

(2)设{cn}是49项的“对称数列”,其中c25,c26,…,c49是首项为1,公比为2的等比数列,求{cn}各项的和S;

(3)设{dn}是100项的“对称数列”,其中d51,d52,…,d100是首项为2,公差为3的等差数列.求{dn}前n项的和Sn(n=1,2,…,100). 考点: 数列的求和;数列的概念及简单表示法. 专题: 计算题;压轴题;新定义. 分析: (1)由b1,b2,b3,b4为等差数列,且b1=2,b4=11,先求b1,b2,b3,b4,然后由对称数列的特点可写出数列的各项. (2)由c25,c26,…,c49是首项为1,公比为2的等比数列,先求出c25,c26,…,c49通项,结合对称数列的对应项相等的特点,可知前面的各项,结合等比数列的求和公式可求出数列的和 (3)由d51,d52,…,d100是首项为2,公差为3的等差数列,可求该数列d51,d52,…,d100的通项,由对称数列的特点,结合等差数列的特点,求数列的和 解答: 解:(1)设数列{bn}的公差为d,则b4=b1+3d=2+3d=11,解得d=3, ∴?数列{bn}为2,5,8,11,8,5,2. 22425(2)S=c1+c2+…+c49=2(c25+c26+…+c49)﹣c25=2(1+2+2+…+2)﹣1=2(2﹣1)26﹣1=2﹣3=67108861. (3)d51=2,?d100=2+3×(50﹣1)=149. 由题意得d1,d2,,d50是首项为149,公差为﹣3的等差数列. 第10页(共42页)

当n≤50时,Sn=d1+d2+…+dn=当51≤n≤100时,Sn=d1+d2+…+dn=S50+(d51+d52+…+dn) ==. 综上所述, 点评: 本题以新定义对称数列为切入点,运用的知识都是数列的基本知识:等差数列的通项及求和公式,等比数列的通项及求和公式,还体现了分类讨论在解题中的应用. 8.(2007?福建)数列{an}的前N项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N). (Ⅰ)求数列{an}的通项an;

(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Tn. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (I)利用递推公式an+1=2Sn把已知转化为Sn+1与Sn之间的关系,从而确定数列an的通项; (II)由(I)可知数列an从第二项开始的等比数列,设bn=n则数列bn为等差数列,所以对数列n?an的求和应用乘“公比”错位相减. 解答: 解:(I)∵an+1=2Sn, ∴Sn+1﹣Sn=2Sn, *

∴=3. 又∵S1=a1=1, n﹣1∴数列{Sn}是首项为1、公比为3的等比数列,Sn=3(n∈N*). n﹣2∴当n≥2时,an﹣2Sn﹣1=2?3(n≥2), ∴an= (II)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan, 当n=1时,T1=1; 01n﹣212n﹣1当n≥2时,Tn=1+4?3+6?3+…+2n?3,①3Tn=3+4?3+6?3+…+2n?3,② 12n﹣2n﹣①﹣②得:﹣2Tn=﹣2+4+2(3+3+…+3)﹣2n?31=2+2?n﹣1=﹣1+(1﹣2n)?3n﹣1 (n≥2). ∴Tn=+(n﹣)3第11页(共42页)

又∵Tn=a1=1也满足上式,∴Tn=+(n﹣)3n﹣1(n∈N*) 点评: 本小题考查数列的基本知识,考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和,考查分类讨论及化归的数学思想方法,以及推理和运算能力. 9.(2007?上海)若有穷数列a1,a2…an(n是正整数),满足a1=an,a2=an﹣1…an=a1即ai=an

,就称该数列为“对称数列”. ﹣i+1(i是正整数,且1≤i≤n)

(1)已知数列{bn}是项数为7的对称数列,且b1,b2,b3,b4成等差数列,b1=2,b4=11,试写出{bn}的每一项

(2)已知{cn}是项数为2k﹣1(k≥1)的对称数列,且ck,ck+1…c2k﹣1构成首项为50,公差为﹣4的等差数列,数列{cn}的前2k﹣1项和为S2k﹣1,则当k为何值时,S2k﹣1取到最大值?最大值为多少?

(3)对于给定的正整数m>1,试写出所有项数不超过2m的对称数列,使得1,2,2…2﹣1

成为数列中的连续项;当m>1500时,试求其中一个数列的前2008项和S2008. 考点: 数列与函数的综合. 专题: 计算题;压轴题;新定义. 分析: (1)设{bn}的公差为d,由b1,b2,b3,b4成等差数列求解d从而求得数列{bn}, 2m

(2)先得到S2k﹣1=﹣4(k﹣13)+4×13﹣50,用二次函数求解, 2m﹣1是(3)按照1,2,2…2数列中的连续项按照定义,用组合的方式写出来所有可能的数列,再按其数列的规律求前n项和取符合条件的一组即可. 解答: 解:(1)设{bn}的公差为d,则b4=b1+3d=2+3d=11,解得d=3,∴数列{bn}为2,5,8,11,8,5,2. (2)S2k﹣1=c1+c2+…+ck﹣1+ck+ck+1+…+c2k﹣1=2(ck+ck+1+…+c2k﹣1)﹣ck, 22S2k﹣1=﹣4(k﹣13)+4×13﹣50, ∴当k=13时,S2k﹣1取得最大值.S2k﹣1的最大值为626. (3)所有可能的“对称数列”是: ①1,2,2,2,2,2,2,2,1; 2m﹣2m﹣1m﹣1m﹣22②1,2,2,2,2,2,2,2,2,1; m﹣1m﹣222m﹣2m﹣1③2,2,2,2,1,2,2,2,2; m﹣1m﹣222m﹣2m﹣1④2,2,2,2,1,1,2,2,2,2. 220072008对于①,当m≥2008时,S2008=1+2+2+…+2=2﹣1. ﹣﹣﹣m2m1m22m﹣2009mm﹣12m当1500<m≤2007时,S2008=1+2+…+2+2+2+…+2=2﹣1+2﹣2﹣2009mm﹣12m﹣2009=2+2﹣2﹣1. 2008对于②,当m≥2008时,S2008=2﹣1. m+12m﹣2008当1500<m≤2007时,S2008=2﹣2﹣1. mm﹣2008对于③,当m≥2008时,S2008=2﹣2. m2009﹣m当1500<m≤2007时,S2008=2+2﹣3. mm﹣2008对于④,当m≥2008时,S2008=2﹣2. ﹣m2008m当1500<m≤2007时,S2008=2+2﹣2. 点评: 本题一道新定义题,这样的题做法是严格按照定义要求,将其转化为已知的知识和方法去解决,本题涉及到等差数列的通项公式,等比数列求和,构造数列等知识. 第12页(共42页)

2m﹣2m﹣1m﹣2222

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