高中数学经典高考难题集锦(解析版)(11)

(Ⅲ)证明:对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0,存在正整数K,当k≥K时,S(Ak+1)=S(Ak).

25.(2007?四川)已知函数f(x)=x﹣4,设曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点为(xn+1,0)(n∈N*),其中x1为正实数. (Ⅰ)用xn表示xn+1;

(Ⅱ)证明:对一切正整数n,xn+1≤xn的充要条件是x1≥2 (Ⅲ)若x1=4,记

26.(2006?江苏)设数列{an}、{bn}、{cn}满足:bn=an﹣an+2,cn=an+2an+1+3an+2(n=1,2,3,…),

证明:{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn+1(n=1,2,3,…)

27.(2006?辽宁)已知函数f(x)=

,其中a,b,c是以d为公差的等差

]上,f′(x)在x1处取得

,证明数列{an}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式.

2

数列,且a>0,d>0.设x0为f(x)的极小值点,在[1﹣

最大值,在x2处取得最小值,将点(x0,f(x0)),(x1,f′(x1)),(x2,f′(x2,f(x2))依次记为A,B,C. (Ⅰ)求x0的值;

(Ⅱ)若△ABC有一边平行于x轴,且面积为2+,求a,d的值.

28.(2005?江西)已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a0=1,an+1=(1)证明an<an+1<2,n∈N; (2)求数列{an}的通项公式an.

29.(2003?江苏)设a>0,如图,已知直线l:y=ax及曲线C:y=x,C上的点Q1的横坐标为a1(0<a1<a).从C上的点Qn(n≥1)作直线平行于x轴,交直线l于点Pn+1,再从点Pn+1作直线平行于y轴,交曲线C于点Qn+1.Qn(n=1,2,3,…)的横坐标构成数列{an}. (Ⅰ)试求an+1与an的关系,并求{an}的通项公式; (Ⅱ)当

时,证明

2

(4﹣an),n∈N.

(Ⅲ)当a=1时,证明.

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30.(1977?北京)在2和30中间插入两个正数,这两个正数插入后使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,求插入的两个正数?

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2015年10月18日姚杰的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一.选择题(共5小题)

1.(2013?黑龙江)若存在正数x使2(x﹣a)<1成立,则a的取值范围是( ) A.(﹣∞,+∞) B.(﹣2,+∞) C.(0,+∞) D.(﹣1,+∞) 考点: 其他不等式的解法;函数单调性的性质. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 转化不等式为,利用x是正数,通过函数的单调性,求出a的范围即可. x

x解答: 解:因为2(x﹣a)<1,所以, 函数y=是增函数,x>0,所以y>﹣1,即a>﹣1, 所以a的取值范围是(﹣1,+∞). 故选:D. 点评: 本题考查不等式的解法,函数单调性的应用,考查分析问题解决问题的能力. 2.(2012?陕西)小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则( ) A.a<v<

B.v=

C.<v< D.v=

考点: 基本不等式. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b,行驶的路程S,则v==及0<a<b,利用基本不等式及作差法可比较大小 解答: 解:设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b,行驶的路程S 则v== ∵0<a<b ∴a+b∴>0 ∵v﹣a=∴v>a 综上可得,

== 第7页(共42页) 故选A 点评: 本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用,比较法中的比差法在比较大小中的应用. 3.(2008?江西)已知函数f(x)=2x+(4﹣m)x+4﹣m,g(x)=mx,若对于任一实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数,则实数m的取值范围是( ) A.[﹣4,4] B.(﹣4,4) C.(﹣∞,4) D.(﹣∞,﹣4) 考点: 一元二次不等式的应用. 专题: 压轴题. 2分析: 对函数f(x)判断△=m﹣16<0时一定成立,可排除D,再对特殊值m=4和﹣4进行讨论可得答案. 2解答: 解:当△=m﹣16<0时,即﹣4<m<4,显然成立,排除D 当m=4,f(0)=g(0)=0时,显然不成立,排除A; 2当m=﹣4,f(x)=2(x+2),g(x)=﹣4x显然成立,排除B; 故选C. 点评: 本题主要考查对一元二次函数图象的理解.对于一元二次不等式,一定要注意其开口方向、对称轴和判别式. 2

4.(2006?重庆)若a,b,c>0且,则2a+b+c的最小值为( ) A. B. C. D. 考基本不等式在最值问题中的应用. 点: 专压轴题. 题: 分已知条件中出现bc,待求式子中有b+c,引导找b,c的不等式 析: 解解:若a,b,c>0且, 答: 所以,∴, 则(2a+b+c)≥, 故选项为D. 点本题考查由已知与待求的式子凑出和的形式. 评: 5.(2004?山东)a+b=1,b+c=2,c+a=2,则ab+bc+ca的最小值为( ) A.

﹣ B.﹣

222222

C.﹣﹣ D.+

考点: 基本不等式. 专题: 计算题;压轴题. 第8页(共42页)

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