高中数学经典高考难题集锦(解析版)(11)

2015年10月18日姚杰的高中数学组卷

一.选择题(共5小题)

1.(2013?黑龙江)若存在正数x使2(x﹣a)<1成立,则a的取值范围是( ) A.(﹣∞,+∞) B.(﹣2,+∞) C.(0,+∞) D.(﹣1,+∞) 2.(2012?陕西)小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则( ) A.a<v<

3.(2008?江西)已知函数f(x)=2x+(4﹣m)x+4﹣m,g(x)=mx,若对于任一实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数,则实数m的取值范围是( ) A.[﹣4,4] B.(﹣4,4) C.(﹣∞,4) D.(﹣∞,﹣4)

4.(2006?重庆)若a,b,c>0且A. B. C.

2

2

2

2

22x

B.v= C.<v< D.v=

,则2a+b+c的最小值为( )

D.

2

5.(2004?山东)a+b=1,b+c=2,c+a=2,则ab+bc+ca的最小值为( ) A.

﹣ B.﹣

C.﹣﹣

D.+

二.解答题(共25小题) 6.(2007?重庆)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足S1>1,且6Sn=(an+1)(an+2),

*n∈N.

(1)求{an}的通项公式; (2)设数列{bn}满足(an+3),n∈N.

7.(2007?上海)如果有穷数列a1,a2,a3,…,am(m为正整数)满足条件a1=am,a2=am﹣

,我们称其为“对称数列”.例如,数列1,2,5,1,…,am=a1,即ai=am﹣i+1(i=1,2,…,m)

2,1与数列8,4,2,2,4,8都是“对称数列”.

(1)设{bn}是7项的“对称数列”,其中b1,b2,b3,b4是等差数列,且b1=2,b4=11.依次写出{bn}的每一项;

(2)设{cn}是49项的“对称数列”,其中c25,c26,…,c49是首项为1,公比为2的等比数列,求{cn}各项的和S;

(3)设{dn}是100项的“对称数列”,其中d51,d52,…,d100是首项为2,公差为3的等差数列.求{dn}前n项的和Sn(n=1,2,…,100).

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*

,并记Tn为{bn}的前n项和,求证:3Tn+1>log2

8.(2007?福建)数列{an}的前N项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N). (Ⅰ)求数列{an}的通项an;

(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Tn.

9.(2007?上海)若有穷数列a1,a2…an(n是正整数),满足a1=an,a2=an﹣1…an=a1即ai=an

,就称该数列为“对称数列”. ﹣i+1(i是正整数,且1≤i≤n)

(1)已知数列{bn}是项数为7的对称数列,且b1,b2,b3,b4成等差数列,b1=2,b4=11,试写出{bn}的每一项

(2)已知{cn}是项数为2k﹣1(k≥1)的对称数列,且ck,ck+1…c2k﹣1构成首项为50,公差为﹣4的等差数列,数列{cn}的前2k﹣1项和为S2k﹣1,则当k为何值时,S2k﹣1取到最大值?最大值为多少?

(3)对于给定的正整数m>1,试写出所有项数不超过2m的对称数列,使得1,2,2…2﹣1

成为数列中的连续项;当m>1500时,试求其中一个数列的前2008项和S2008.

10.(2006?北京)设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数,前n项和为Sn. (Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)若a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式.

11.(2006?山东)已知数列{an}中,

,点(n,2an+1﹣an)在直线y=x上,其中n=1,

2

m

*

2,3….

(Ⅰ)令bn=an+1﹣an﹣1,求证数列{bn}是等比数列; (Ⅱ)求数列{an}的通项;

(Ⅲ)设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和,是否存在实数λ,使得数列为等差数列?若存在,试求出λ.若不存在,则说明理由.

12.(2006?山东)已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x+2x的图象上,其中n=1,2,3,…

(1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn及数列{an}的通项; (3)记

13.(2006?天津)已知数列{xn},{yn}满足x1=x2=1,y1=y2=2,并且

(λ为非零参数,n=2,3,4,…).

(1)若x1,x3,x5成等比数列,求参数λ的值;

,求数列{bn}的前n项Sn,并证明

2

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(2)当λ>0时,证明;当λ>1时,证明:

14.(2006?天津)已知数列{xn}满足x1=x2=1并且3,4,…).

(1)若x1、x3、x5成等比数列,求参数λ的值; (2)设0<λ<1,常数k∈N且k≥3,证明

15.(2005?山东)已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N) (I)证明数列{an+1}是等比数列;

2n

(II)令f(x)=a1x+a2x+…+anx,求函数f(x)在点x=1处的导数f'(1)并比较2f'(1)

2

与23n﹣13n的大小.

16.(2005?重庆)数列{an}满足a1=1且8an+1an﹣16an+1+2an+5=0(n≥1).记

*

*

为非零参数,n=2,

(Ⅰ)求b1、b2、b3、b4的值;

(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn.

17.(2004?上海)设P1(x1,y1),P1(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N)是二次曲线

222

C上的点,且a1=|OP1|,a2=|OP2|,…,an=|OPn|构成了一个公差为d(d≠0)的等差数列,其中O是坐标原点.记Sn=a1+a2+…+an. (1)若C的方程为出一个)

(2)若C的方程为

(a>b>0).点P1(a,0),对于给定的自然数n,当公差d=1,n=3.点P1(10,0)及S3=255,求点P3的坐标;(只需写

变化时,求Sn的最小值;

(3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P1,P2,…Pn存在的充要条件,并说明理由.

18.(2003?上海)已知数列{an}(n为正整数)是首项是a1,公比为q的等比数列.

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120123

(1)求和:a1C2﹣a2C2+a3C2,a1C3﹣a2C3+a3C3﹣a4C3;

0

(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论,并加以证明.

0123

(3)设q≠1,Sn是等比数列{an}的前n项和,求:S1Cn﹣S2Cn+S3Cn﹣S4Cn+…+(﹣1)nnSn+1Cn.

19.(2014秋?周村区校级月考)已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145. (1)求数列{bn}的通项bn; (2)设数列{an}的通项an=log(a1+

)(其中a>0,且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和.试

比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论.

20.(2010?重庆)在数列{an}中,a1=1,an+1=can+c(2n+1)(n∈N*),其中实数c≠0. (1)求{an}的通项公式;

(2)若对一切k∈N*有a2k>azk﹣1,求c的取值范围. 21.(2010?安徽模拟)已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线,当n≤y≤n+1?(n=0,

n

1,2,…)时,该图象是斜率为b的线段(其中正常数b≠1),设数列|xn|由f(xn)=n(n=1,2,…)定义.

(1)求x1、x2和xn的表达式;

(2)求f(x)的表达式,并写出其定义域;

(3)证明:y=f(x)的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点.

22.(2009?陕西)已知数列{xn}满足x1=,xn+1=(1)猜想数列{x2n}的单调性,并证明你的结论; (Ⅱ)证明:

23.(2009?上海)已知{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列

*

(1)若an=3n+1,是否存在m,n∈N,有am+am+1=ak?请说明理由;

n

(2)若bn=aq(a、q为常数,且aq≠0)对任意m存在k,有bm?bm+1=bk,试求a、q满足的充要条件;

n

(3)若an=2n+1,bn=3试确定所有的p,使数列{bn}中存在某个连续p项的和式数列中{an}的一项,请证明.

24.(2008?北京)对于每项均是正整数的数列A:a1,a2,…,an,定义变换T1,T1将数列A变换成数列T1(A):n,a1﹣1,a2﹣1,…,an﹣1;对于每项均是非负整数的数列B:b1,b2,…,bm,定义变换T2,T2将数列B各项从大到小排列,然后去掉所有为零的项,得到

222

数列T2(B);又定义S(B)=2(b1+2b2+…+mbm)+b1+b2+…+bm.设A0是每项均为正整数的有穷数列,令Ak+1=T2(T1(Ak))(k=0,1,2,…). (Ⅰ)如果数列A0为5,3,2,写出数列A1,A2;

(Ⅱ)对于每项均是正整数的有穷数列A,证明S(T1(A))=S(A);

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n+1

,n∈N;

*

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