课时作业21 三角函数的图象与性质
l
一.选择题
1.下列函数中周期为π且为偶函数的是( )
π??A.y＝sin?2x－?
??
2?
B.y＝cos?2x－?
2??D.y＝cos?x＋? 2??
??
π?
?π?C.y＝sin?x＋?
2?
π?
解析：y＝sin?2x－?＝－cos2x为偶函数，且周期是π，所以选A.
2??答案：A
?
π??π3π?2.下列函数中，周期为π，且在区间?，?上单调递增的函数是( )
4??4
A.y＝sin2x C.y＝－sin2x
解析：由－
B.y＝cos2x D.y＝－cos2x
π2
＋2kπ≤2x≤
πππ
＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数244
?ππ??π3π?y＝sin2x在区间?－，?上单调递增，在区间?，?上单调递减，则函数y＝－sin2x在区
?
4
4?
?44?
间?
?π，3π?上单调递增，易知y＝－sin2x的周期为π，因此选C.
4??4?
答案：C
?π1?3.(2017·湖南长沙模拟)函数y＝sin?－x?，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )
?32??π5π?A.?－，?
3??3
π??B.?－2π，－? 3??C.?
?5π，2π? ?
?3?
π??5π??D.?－2π，－?和?，2π?
3??3??
π3π?π1?解析：令z＝－x，函数y＝sinz的单调递减区间为?2kπ＋，2kπ＋?，k∈Z，由
22?32?ππ13π7πππ1
2kπ＋≤－x≤2kπ＋，得4kπ－≤x≤4kπ－，k∈Z，而z＝－x在R上单调
23223332
7ππ??π1??递减，于是y＝sin?－x?的单调递增区间为?4kπ－，4kπ－?，k∈Z，而x∈[－2π，2π]，33??32??π??5π??故其单调递增区间是?－2π，－?和?，2π?，故选D.
3??3??
答案：D
4.下列函数，有最小正周期的是( ) A.y＝sin|x| C.y＝tan|x|
?sinx，x≥0，?
解析：A：y＝sin|x|＝?
??－sinx，x<0，
B.y＝cos|x| D.y＝(x＋1)
2
0
??tanx，x≥0，
期T＝2π；C：y＝tan|x|＝?
??－tanx，x<0，
不是周期函数；B：y＝cos|x|＝cosx，最小正周
不是周期函数；D：y＝(x＋1)＝1，无最小正周
20
期，故选B.
答案：B
?ππ?5.已知函数y＝sin(2x＋φ)在区间?，?上单调递增，其中φ∈(π，2π)，则φ的取?43?
值范围为( )
?7?A.?π，2π? ?6?
11??7
C.?π，π?
6??6
11??B.?π，π?
6??
?7?D.?π，2π? ?6?
2π3?ππ??π?解析：由x∈?，?，得2x＋φ∈?＋φ，π＋φ?，又∵φ∈(π，2π)，∴＋φ>322?43??2?2511
π，π＋φ≤π，∴π<φ≤π，故选B.
326
答案：B
π??6.(2017·河北名校联考)若函数f(x)＝2sin?ωx－?(ω≠0)，且f(2＋x)＝f(2－x)，则
3??|ω|的最小值为( )
π
A. 12C.5π 12
B.D.π 65π 6
π??解析：由题意可得，函数f(x)＝2sin?ωx－?(ω≠0)的图象关于直线x＝2对称，∴2ω－3??ππ5πkππ
＝＋kπ，k∈Z，∴ω＝＋，k∈Z，∴|ω|min＝. 3212212
答案：A 二.填空题
7.函数f(x)＝sin2x－4sinx·cosx(x∈R)的最小正周期为________.
122
解析：f(x)＝sin2x－2sin2xcosx＝sin2x(1－2cosx)＝－sin2xcos2x＝－sin4x，故其最
22ππ
小正周期为＝.
42
π
答案： 2
13??π??8.(2017·东北沈阳四城市质检)函数y＝sinx＋cosx?x∈?0，??的单调递增区间是
2??22??______.
5π?π?则由2kπ－π≤x＋π≤2kπ＋π，
解析：因为y＝sin?x＋?，k∈Z，即2kπ－≤x≤2kπ
3?2326?＋
π?π??π?，k∈Z.当x∈?0，?时，单调递增区间为?0，?. 2?6?6??
3
?π?答案：?0，?
6??
π??2
9.函数f(x)＝2sin?2x－?＋4cosx的最小值为________.
4??
π??2
解析：f(x)＝2sin?2x－?＋4cosx＝sin2x－cos2x＋2(cos2x＋1)＝sin2x＋cos2x＋2＝
4??π??2sin?2x＋?＋2，所以函数f(x)的最小值为2－2.
4??答案：2－2 三.解答题
π?22?10.已知函数f(x)＝sinx－sin?x－?，x∈R.
6??(1)求f(x)的最小正周期；
?ππ?(2)求f(x)在区间?－，?上的最大值和最小值.
?34?
解：(1)由已知，有
π??1－cos?2x－?3?1?11－cos2x31?3?1
f(x)＝－＝×?cos2x＋·sin2x?－cos2x＝sin2x－
222?2442?2π?1?2π
cos2x＝sin?2x－?，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
6?2?2
πππ5π5ππππ
(2)由x∈[－，]，知2x－∈[－π，]，当－π≤2x－≤－即－≤x≤－
3466366236πππππ1?π??π?时，f(x)是减函数；当－≤2x－≤即－≤x≤时，f(x)是增函数，f?－?＝－，f?－?
263644?6??3?1?π?331?ππ?＝－，f??＝，所以f(x)在区间?－，?上的最大值为，最小值为－.
2?4?442?34?
11.(2016·北京卷)已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (Ⅰ)求ω的值；
(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间. 解：(Ⅰ)因为
f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx
π
＝sin2ωx＋cos2ωx＝2sin(2ωx＋)，
4所以f(x)的最小正周期T＝
2ππ＝. 2ωωπ
依题意，＝π，解得ω＝1.
ωπ??(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)＝2sin?2x＋?. 4??函数y＝sinx的单调递增区间为 ππ
[2kπ－，2kπ＋](k∈Z).
22
πππ3ππ
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).
24288所以f(x)的单调递增区间为 3ππ
[kπ－，kπ＋](k∈Z).
88
1.(2016·浙江卷)函数y＝sinx的图象是( )
2