概率论与数理统计 习题解答
P(B3)?0.4?0.6?0.7?0.168
因为事件A能且只能与互不相容事件B,B,B之一同时发生.于是
123（1）由全概率公式得
P(A)??P(Bi)P(A|Bi)?0.324?0.2?0.436?0.6?0.168?1?0.4944i?13
（2）由Bayes公式得
P(B3|A)?P(B3)P(A|B3)?P(B)P(A|B)iii?13?0.168?0.34.
0.494430．某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求
（1）该厂产品能出厂的概率；（2）任取一出厂产品未经调试的概率.
解：A——需经调试 A——不需调试 B——出厂 则P(A)?30%，P(A)?70%，P(B|A)?80%，P(B|A)?1
（1）由全概率公式：P(B)?P(A)?P(BA)?P(A)?P(BA)
?30%?80%?70%?1?94%.
P(A)?P(B)70P(AB)A?? （2）由贝叶斯公式：P(A)?.
BP(B)94?31．进行一系列独立试验，假设每次试验的成功率都是p，求在试验成功2次之前已经失败了3次的概率.
23解：所求的概率为4p(1?p).
32．10个球中有一个红球，有放回地抽取，每次取一球，求直到第n次才取k次(k?n)红球的概率。
解：所求的概率为Ck?1n?1?1??9??????10??10?kn?k
33．灯泡使用寿命在1000h以上的概率为0.2，求3个灯泡在使用1000h后，最多只有一个坏了的概率。 解：由二项概率公式所求概率为
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概率论与数理统计 习题解答
312P3(0)?P3(1)?0.2?C3(0.2)?0.8?0.104
34．（Banach 问题）某人有两盒火柴，每盒各有n根，吸烟时任取一盒，
并从中任取一根，当他发现有一盒已经用完时，试求：另一盒还有r根的概率。
解：设试验E—从二盒火柴中任取一盒，A—取到先用完的哪盒，P(A)?1， 2则所求概率为将E重复独立作2n?r次A发生n次的概率，故所求的概率为
P2n?r(n)?C
n2n?rn1n1n?rC2()()?n?r2n?r.
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第二章
思 考 题
1. 随机变量的引入的意义是什么？ 答：随机变量的引入,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来，其目的是将事件数量化，从而随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究,使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究.
随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件，随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量的引入则变为可以用动态的观点来研究.
2.随机变量与分布函数的区别是什么？为什么要引入分布函数？
答：随机变量与分布函数取值都是实数，但随机变量的自变量是样本点，不是普通实数，故随机变量不是普通函数，不能用高等数学的方法进行研究，而分布函数一方面是高等数学中的普通函数，另一方面它决定概率分布，故它是沟通概率论和高等数学的桥梁，利用它可以将高度数学的方法得以引入.
3. 除离散型随机变量和连续型随机变量，还有第三种随机变量吗？ 答：有，称为混合型. 例：设随机变量X~U?0,2?，令
?x,0?x?1; g(x)??1,1?x?2.?则随机变量Y?g(X)既非离散型又非连续型.
事实上，由Y?g(X)的定义可知Y只在?0,1?上取值，于是当y?0时，FY(y)?0；
y?1时，FY(y)?1；当0?y?1时，
FY(y)?P(g(X)?y)?P?X?y??于是
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y 2概率论与数理统计 习题解答
?0,y?0;?y?FY(y)??,0?y?1;
?2??1,y?1.1?0，故Y不是连续型随2首先Y取单点{1}的概率P(Y?1)?FY(1)?FY(1?0)?机变量.其次其分布函数不是阶梯形函数，故Y也不是离散型随机变量.
4.通常所说“X的概率分布”的确切含义是什么？
答：对离散型随机变量而言指的 是分布函数或分布律，对连续型随机变量而言指的是分布函数或概率密度函数.
5.对概率密度f(x)的不连续点，如何由分布函数F(x)求出f(x)？
答：对概率密度f(x)的连续点，f(x)?F?(x)，对概率密度f(x)的有限个不连续点处，可令f(x)?c（c为常数）不会影响分布函数的取值.
6.连续型随机变量的分布函数是可导的，“概率密度函数是连续的”这个说法对吗？为什么？
答：连续型随机变量密度函数不一定是连续的，当密度函数连续时其分布函数是可导的，否则不一定可导.
习 题
1．在测试灯泡寿命的试验中,试写出样本空间并在其上定义一个随机变量.
解：每一个灯泡的实际使用寿命可能是[0,??)中任何一个实数, 样本空间为
??{t|t?0}，若用X表示灯泡的寿命（小时），则X是定义在样本空间??{t|t?0}上的函数，即X?X(t)?t是随机变量.
2．一报童卖报, 每份0.15元,其成本为0.10元. 报馆每天给报童1000份报, 并规定他不得把卖不出的报纸退回. 设X为报童每天卖出的报纸份数, 试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.
解：{报童赔钱}?{卖出的报纸钱不够成本}，而当 0.15 X<1000× 0.1时，报童赔钱，故{报童赔钱} ?{X ?666}
3．若P{X?x2}?1??，P{X?x1}?1??，其中x1?x2，求P{x1?X?x2}.
{X?x{X?1x }解：P{x1?X?x2}?P2}?P ?P{X?x2}?[1?P{X?x1}]?1????.
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概率论与数理统计 习题解答
?0,x?0?24．设随机变量X的分布函数为F(x)??x,0?x?1
?1,x?1?试求（1）P?X???3?1?1??? （2） （3）P?1?X?PX??????
4?2?2???解：(1)P?X???1?11??F()?； 2?243?399； ?F()?F(?1)??0??4?41616（2）P??1?X???（3）
1?1?13??P?X???1?P?X???1?F()?.
2?2?24??5．5个乒乓球中有2个新的，3个旧的，如果从中任取3个，其中新的
乒乓球的个数是
一个随机变量，求这个随机变量的概率分布律和分布函数，并画出分布函数的图形.
解：设X表示任取的3个乒乓球中新的乒乓球的个数，由题目条件可知，X的所有可能
3121C3C2C3C32C3163取值为0，1，2，∵P{X?0}?3?，P{X?1}?3?，P{X?2}?3?
1010C510C5C5∴随机变量X的概率分布律如下表所示： 由F(x)?xk?x?Pk可求得F(x)如下:
X 0 0.1 1 0.6 2 0.3 P ?0 ,x?0?P{X?0} ,0?x?1?F(x)???P{X?0}?P{X?1} ,1?x?2??P{X?0}?P{X?1}?P{X?2} ,x?2?0 ,x?0?0.1 ,0?x?1?? ?，F(x)的图0.7 ,1?x?2???1 ,x?2形如图所示.
6．某射手有5发子弹，射击一次命中率为0.9，如果他命中目标就停止射击，命不中就
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