(2)若点M在抛物线上,且S△AOM=2S△BOC,求点M的坐标;
(3)如图②,设点N是线段AC上的一动点,作DN⊥x轴,交抛物线于点D,求线段DN长度的最大值.
图K14-9
18.[2019·仙桃]在平面直角坐标系中,已知抛物线C:y=ax+2x-1(a≠0)和直线l:y=kx+b,点A(-3,-3),B(1,-1)均在直线l上.
(1)若抛物线C与直线l有交点,求a的取值范围;
(2)当a=-1,二次函数y=ax+2x-1的自变量x满足m≤x≤m+2时,函数y的最大值为-4,求m的值; (3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点,请直接写出a的取值范围.
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【参考答案】
1.C 2.D 3.D 4.C
5.C [解析]①∵抛物线开口向上,∴a>0, ∵抛物线的对称轴在y轴右侧, ∴-2??>0,∴b<0.
∵抛物线与y轴交于负半轴,∴c<0,∴abc>0,故①错误; ②当x=-1时,y>0,∴a-b+c>0,
∵-2??=1,∴b=-2a,把b=-2a代入a-b+c>0中得3a+c>0,故②正确; ③当x=1时,y<0,∴a+b+c<0,∴a+c<-b.
∵a-b+c>0,∴a+c>b,∴|a+c|<|b|,∴(a+c)<(-b),即(a+c)-b<0,所以③正确; ④∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴x=1时,函数的最小值为a+b+c, ∴a+b+c≤am+mb+c,即a+b≤m(am+b),所以④正确.故选C. 6.D [解析]y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7=x-2ax+a-3a+6,
∵抛物线与x轴没有公共点,∴Δ=(-2a)-4(a-3a+6)<0,解得a<2. ∵抛物线的对称轴为直线x=--2??2
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????=a,抛物线开口向上,而当x<-1时,y随x的增大而减小,
∴a≥-1,∴实数a的取值范围是-1≤a<2.
??2=-??,??=????+??,??1=1,
7.D [解析]由{得{{
??=????2+????,??1=??+??,??2=0,
故直线与抛物线的两个交点坐标分别为(1,a+b)和-,0. 对于D选项,从直线过第一、二、四象限可知:a<0,b>0.
又∵|a|>|b|,∴a+b<0.从而(1,a+b)在第四象限,因此D选项不正确,故选D. 8.-6 9.0 1-??2+2??(??>0), 解得m<4,当直线y=x+m经过原点时与函数y={的图象有两个不同的交点,再向上平移,有三 -??(??≤0) 1 2 2 2 2 2 2 ????????个交点,∴m>0,∴m的取值范围为0 10.①③④ [解析]由题意得,m+2=-x+2x+m+1,化简得x-2x+1=0, ∵b-4ac=0,∴抛物线y=-x+2x+m+1与直线y=m+2有且只有一个交点,①正确; 2 2 2 2 1 由图可得:y1 y=-x2+2x+m+1=-(x-1)2+m+2,将该抛物线向左平移2个单位,再向下平移2个单位,所得的抛物线解析式为y=-(x+1)2+m,故③正确; 当m=1时,抛物线解析式为y=-x+2x+2,∴A(0,2),C(2,2),B(1,3).作点B关于y轴的对称点B'(-1,3),作点C关于x轴的对称点C'(2,-2).连结B'C',与x轴、y轴分别交于点D,E.则BE+ED+CD+BC=B'E+ED+C'D+BC=B'C'+BC.此时,四边形BCDE的周长最小.为√34+√2,故④正确. 11.②③ [解析]将A(-1,0),B(m,0),C(-2,n)代入解析式y=ax+bx+c,∴对称轴x=2 2 ??-12 =-2??,∴ ??-??=m-1,a(m-1)=-b. ∵1 2 ????,b+1+2 ??24 , 若△PAB为直角三角形,则△PAB为等腰直角三角形, ∴b+1+??2??4 =2+1,∴b=-2, ∵b>0,∴不存在点P使△PAB为直角三角形.④错误.故答案为②③. 12.解:(1)证明:联立两个函数表达式,得x-4x=kx+1,即x-(4+k)x-1=0,其中Δ=(4+k)+4>0,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,即直线l与抛物线总有两个交点. (2)如图,连结AO,BO, 2 2 2 联立两个函数表达式,得x-4x=-2x+1,解得x1=1-√2,x2=1+√2.设直线l与y轴交于点C,在一次函数y=-2x+1中 , 令 1 2 x=0, 1 得 1 y=1, 1 所以C(0,1),OC=1.所以 S△ABO=S△AOC+S△BOC=2·OC·|xA|+2·OC·|xB|=2·OC·|xA-xB|=2×1×2√2=√2. 13.解:(1)设点P(x,y),则MP=y,由OA的中点为M知OA=2x,代入OA·MP=12,得2x·y=12,即xy=6, ∴k=xy=6. (2)当t=1时,令y=0,得0=-2(x-1)(x+3). ∴x1=1,x2=-3. 由点B在点A的左边,得B(-3,0),A(1,0), ∴AB=4. ∵抛物线l的对称轴为直线x=-1,而点M的坐标为(2,0), ∴直线MP与抛物线l的对称轴之间的距离为2. (3)∵A(t,0),B(t-4,0),∴抛物线l的对称轴为直线x=t-2,直线MP为直线x=2. 当t-2≤,即t≤4时,顶点(t-2,2)就是G的最高点; 2 3 1 1 ????当t-2>,即t>4时,抛物线l与直线MP的交点(,-??2+??)就是G的最高点. 2 2 8 ????1 14.解:(1)乙求得的结果不正确,理由如下: ∵当x=0时,y=0;当x=1时,y=0, ∴二次函数图象经过点(0,0),(1,0), ∴x1=0,x2=1,∴y=x(x-1)=x-x, 当x=时,y=-,∴乙求得的结果不正确. 2 4 1 1 2 (2)对称轴为直线x=当x=??1+??2 2 ??1+??2 2 2 . 时,y=-(??1-??2) 4 , 2 ∴函数的最小值为-(??1-??2) 4 . (3)证明:∵二次函数的图象经过(0,m)和(1,n)两点, ∴m=x1x2,n=1-x1-x2+x1x2, 2 ∴mn=x1x2(1-x1)(1-x2)=(x1-??21)(x2-??2)=-x1-2+4 2 11 -x2-22+4. 11 ∵0 ∴0<-x1-2+4≤4,0<-x2-2+4≤4,且-x1-2+4与-x2-2+4不能同时取4,∴0 4??-??2 4 1 2 111 2 111 2 11 2 111 ??=3,4c-b2=12; 丁:4+2b+c=4.