以上为以平面假设为基础导出的公式，只适用于等直圆杆；也可适用于圆截面沿轴线变化缓慢的的小锥度锥形杆。
→Wt
①实心圆轴，Wt =②空心圆轴，Wt =强度条件 τmax=
πD316
16
dD
πD3
（1?α4） α= TmaxWt
≤[τ]
3.5 圆轴扭转时的变形与刚度计算
→扭转变形的的标志的标志是两个横截面间绕轴线的相对转角，亦即扭转角。
dφ=
TGIP
dx
dφ 表示相距为dx的两个横截面之间的相对转角。
沿轴线x积分，即可求得距离为l的两个横截面之间的相对转角为 φ= dφ= 0GIdx lP(若在两截面之间T的值不变，且轴为直杆，则
TGIP
lT
为常量。)
（GIP 称为圆轴的抗扭刚度）
例如只在等直圆轴的两端作用扭转力偶时，φ=用φ‘表示变化率
dφdx
TlGIP
φ‘=
dφdx
=GI P
T
φ 的变化率φ‘是相距为1单位长度的两截面的相对转角，称为单位长度扭转角，单位rad/m。 扭转的刚度条件就是限定φ‘的最大值不得超过规定的允许值，即φmax=工程中，习惯把(°)/m作为[φ‘]的单位吗，φ’max=
TmaxGIP
TmaxGIP
≤[φ‘] 。
×
180°π
≤[φ‘] (°)/m 。
3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 →螺旋弹簧簧丝的轴线是一条空间螺旋线，其应力和变形的精确分析比较复杂。但当螺旋角α很小时，可以省略α的影响，近似的认为，簧丝横截面与与弹簧轴线（亦即F力）在同一平面内。一般将这种弹簧称为密圈螺旋弹簧。此外，当簧丝横截面的直径d远小于弹簧圈的平均直径D时，还可以略去簧丝曲率的影响，近似的用直杆公式计算。 ……
3.7 非圆截面杆扭转的概念
→杆变形后杆的横截面已不再保持为平面（变成空间平面），这种现象称之为翘曲。 故平面假设对非圆截面杆件的扭转已不再适用。
→非圆截面杆件的扭转可以分为自由扭转和约束扭转。
等直杆两端受到扭转力偶的作用，且翘曲不受任何限制的情况，属于自由扭转。
在自由扭转下，杆件各横截面的翘曲程度相同，纵向纤维的长度无变化，横截面上没有正应力而只有切应力。
约束扭转，由于约束条件或受力限制，造成杆件各截面翘曲程度不同，相邻截面间纵向纤维长度改变，于是横截面上除切应力外还有正应力。
工字钢、槽钢等薄壁杆件，约束扭转时横截面上的正应力往往很大；但一些实体杆件，如截面为矩形或椭圆杆件，因约束扭转而引起的正应力很小，与自由扭转并无太大差别。
→任何情况下，杆件扭转时，横截面上边缘个点的切应力都与横截面边界相切，又切应力互等定理，→截面凸角处的切应力应为零。
→横截面上的切应力分布：
①边缘各点的切应力形成与边界相切的顺流。 ②四个角点上切应力等于零。
③最大切应力发生于矩形长边的中点，且τmax=
Tahb2；
α是一个与比值h/b有关的系数，查表。
④短边中点的切应力τ1是短边上最大切应力，τ1=ν τmax，ν与h/b有关，查表。 ⑤杆件两端相对扭转角φ的公式φ=
TlGβhb3=GI
t
Tl
→在狭长的矩形截面上，虽然最大切应力在长边的中点，但沿长边各点的切应力实际上变化不大，接近相等，在靠近短边处才迅速减小到零。
第四章 弯曲应力
→作用于这些杆件的外力垂直于杆件的轴线，使原为直线变形后成为曲线。变形形式成为弯曲变形。 以弯曲变形为主的杆件习惯上称为梁。 →
平面弯曲
梁的横截面具有对称轴，横截面的对称轴和梁的轴线形成面（纵向对称面），梁的轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线，载荷作用在同一平面并使梁的轴线在平面内弯曲时称为平面弯曲。（并不是梁要发生平面弯曲，就一定要有对称轴。）
4.2 受弯杆件的简化 一、支座的几种形式
简支
静定 外伸
悬臂
铰支座；固定铰支座，滑动铰支座。
4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
→在集中力作用截面的两侧，剪力有一突然变化，变化的数值就等于集中力。
在集中力偶作用的截面的两侧，弯矩就有一突然变化，变化的数值就等于集中力偶矩。 →刚节点
节点连接的两个部分在其连接处夹角不变，即两部分在连接处夹角不变，即两部分在连接处不能有相对转动，称为刚节点。
各部分由刚节点连接而成的框架结构称为刚架。
（刚架任意横截面上的内力，一般有剪力、弯矩和轴力） 内力可由静力平衡方程确定的刚架称为静定刚架。
4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 →直梁微段的平衡方程
dFS（x）
dx
=q x ，
=
dM（x）dxdx
=FS x
即，
d2M（x）dx2dFS（x）dM x dx
=q（x）
dFS x dx
=q x ，
=FS x
→对应于剪力图和弯矩图
①无载荷作用，即q（x）=0吗，剪力图是平行于x轴的直线，弯矩图是斜直线。
②若分布载荷q（x）向下，弯矩图应为向上凸的曲线；分布载荷q（x）向上，弯矩图应为向下凸的曲线。
③弯矩的极值发生于剪力为零的截面上。
第五章 弯曲应力 5.1 纯弯曲
→弯矩是垂直于横截面的内力系的合力偶矩；剪力是切于横截面的内力系的合力。故，弯矩只与横截面上的正应力σ相关，而剪力FS与切应力τ有关。 →纯弯曲，只有正应力，但是没有切应力。 →弯曲变形的平面假设：变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的轴曲线。
→中性层，中性轴，纵向对称面。 →对纯弯曲变形提出两个假设：（1）平面假设；（2）纵向纤维间无正应力。
5.2 纯弯曲时的正应力
→几何关系，纤维bb的应变 ε= （γ为到中性轴距离，ρ为中性轴的曲率半径）
ργ
→物理关系
纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或压缩。 当应力小于比例极限时，由胡克定律σ=Eε。
即?=E 任意纵向纤维的正应力与改点到中性轴的距离成正比。
ργ
→静力关系
y2dA=IZ 横截面对Z轴（中性轴）的惯性矩
1ρ
=
MEIZ
（曲率） EIZ称为梁的抗弯刚度。
ρ
MyIZ
1
→?= (纯弯曲时正应力的计算公式)
5.3 横力弯曲时的正应力、
→常见的弯曲问题多为横力弯曲，这时梁的横截面上不但有正应力，还有切应力。
→由于切应力的存在，横截面不能再保持为平面。同时，横力弯曲下往往也不能保证纵向纤维间没有正应力。
→横力弯曲时，最大正应力?max发生于弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。
?max=
Mmax?ymax
IZ
（σ与截面，与点的位置有关）
→正应力不仅与M有关，而且与有关，亦即与截面的形状和尺寸有关。故对截面为某些形IZ
Y
状的梁或变截面进行强度校核时，不应只注意弯矩为最大值的截面。
WZ=y
IZ
max
,则?max=
MmaxW
（W为抗弯截面系数，单位m3）
b?h26π?d332
① 若截面为高h宽b的矩形，W=② 若截面为直径为d的圆形，W=
5.4 弯曲切应力
横力弯曲的梁横截面上既有弯矩又有剪力，所以横截面上既有正应力又有切应力。 一、矩形截面梁
→关于横截面上切应力的分布规律，以下做两点假设： （1）横截面上各点的切应力方向都平行于剪力FS； （2）切应力沿截面宽度均匀分布。 →横截面的横线pq上的切应力τ，即 τ=
FS?S?ZIZ?b
式中，FS为横截面上的剪力，b为截面宽度，IZ为整个截面对中性轴的惯性矩。
?SZ 为截面上距中性轴为y的横线以下部分面积对中性轴的静矩。
?SZ
= A1y1dA= yby1dy1=2（
FS
h24
Z
h2b
h24
?y2）
?τ=2I（
?y2）
FSh28IZ
→最大切应力发生于中性轴上，τmax=以IZ=
b?h312
S
，代入得τmax=2?bh 3F
即最大切应力为平均切应力
FSbh
的1.5倍。
二、工字形截面梁
→工字形截面梁腹板上的切应力。
腹板截面是一个狭长矩形，关于矩形截面上切应力分布的两个假设仍适用。
τ=
FS?S?ZIZ?bFS
Z
b
2
τ=I
[ h??b8
FS
Zb0
h20
+
b0h20
24
?y2 ]
→腹板上的最大和最小切应力分别是：
τmax=Iτmin=I
[[
bh288
?(b-b0)8] ?
bh208
h20
FS
Zb0
bh2
]
FSb0h0
→腹板几乎几乎负担了截面上的全部剪力；认为近似分布。
近似得出腹板内的切应力 τ=