材料力学应力应变部分

材料力学(应力应变部分)

→规定载荷作用下,

强度要求,就是指构件应有足够的抵抗破坏的能力。 刚度要求,就是指构件应有足够的抵抗变形的能力。

→变形的基本假设:连续性假设,均匀性假设,各向同性假设。

→沿不同方向力学性能不同的材料,称为各向异性材料,如木材、胶合板和某些人工合成材料。

→ 分布力 表面力

集中力(火车轮对钢轨压力,滚珠轴承对轴的反作用力) 体积力是连续分布于物体内各点的力,例如物体的自重和惯性力等。 →动载荷,静载荷

→应力p应分解为正应力? ,切应力τ 。

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→应力单位pa,1pa=1N/m;常用Mpa,1Mpa=10pa。 第二章 拉伸、压缩与剪切

2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力

→习惯上,把拉伸的轴力规定为正,压缩时的轴力规定为负。 →用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。 →FN=?A ;?(x)=FN(x)/A(x)

2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的内力和应力 α

轴向拉伸(压缩)时,在杆件的横截面上,正应力为最大值;在与杆件轴线成45°的斜截面上,切应力为最大值。最大切应力在数值上等于最大正应力的二分之一。此外,α=90°时,?α=τα=0 ,这表示在平行于杆件轴线的纵向截面上无任何应力。 (应力,p=F/A,45°斜截面上,力→ ,面积→ 。) 2.7 安全因数

许用应力和安全因数的数值,可以在有关部门的一些规范中查到。

目前一般机械制造中,在静载的情况下,对塑性材料可取ns=1.2~2.5。脆性材料均匀性较差,且断裂突然发生,有更大的危险性,所以取nb=2~3.5,甚至取到3~9。

2.8 轴向拉伸或压缩时的变形

→胡克定律,当应力不超过材料的比例极限时,应力与应变成正比。?=Eε ,弹性模量E的值随材料而不同。

?ll

22

22

=ε=E=AE ;?l=AE ?FFL

即,对长度相同,受力相等的杆件,有EA越大则变形Δl越小,所以称EA为杆件的抗拉/压刚度。 →泊松比,

当应力不超过比例极限时横向应变ε’与轴向应变ε之比的绝对值是一个常数,即

∣∣=μ。μ称为横向变形因数或泊松比,是一个量纲一的量。

ε

ε’

→几种常用材料的E和μ的约值(弹性模量,泊松比)

材料名称 碳钢 合金钢 灰铸铁 铜及其合金 铝合金 ??N(x)?dx???A(x)

E/(Gpa) 196~216 186~206 78.5~157 72.6~128 70 ??N(x)?dx???A(x)

μ 0.24~0.28 0.25~0.30 0.23~0.27 0.31~0.42 0.33 →若杆件横截面沿轴线变化;轴力也沿轴线变化。长为dx的微段,

d(?l)=

,则?l= L

2.9 轴向拉伸或压缩的应变能

→固体受外力作用而变形;在变形过程中,外力所做的功将转变为储存于固体内的能量。固体在外力作用下,因变形而储存的能量称为应变能。 →

dw=F?d(Δl) w= 0

Δl1

Fd(Δl),w=2F?Δl

1

F2?l

1

νε=w=2F?Δl=2EA νε=2?ε=

1

Eε22

=2E ?2

也 νε= νε?dν ν

2.10 拉伸、压缩超静定问题 几何关系,变形协调方程。

胡克定律是唯一联系变形与轴力之间的关系。 超静定问题是综合了静力方程,变形协调方程(几何方程)和物理方程等三方面关系求解的。 物理方程,变形协调方程。

2.1.1 温度应力和装配应力 一、温度应力

温度变化将引起物体的膨胀或收缩。静定结构可以自由变形,当温度均匀变化时,并不会引起构件的内力。但如超静定结构的变形受到部分或全部约束,温度变化时,往往就要引起内力。

当温度变化ΔT时,杆件的温度变形(伸长)应为 ?lT=αlΔT?l ,式中αl为材料的线胀

系数。

先拆除联系,允许其自由膨胀ΔlT,再加入约束,应力引起变形Δl,→协调方程

二、装配应力

→对静定结构,加工误差只不过是造成几何形状的细微变化,不会引起内力;但对超静定结构,加工误差往往要引起内力。

2.1.2 应力集中的概念

→实验结果和理论分析表明,在零件尺寸突然改变处的横截面上,应力并不是均匀分布的。 应力集中:因杆件外形突然变化,而引起局部应力急剧增大的现象,称为应力集中。 →应力集中因数k=

?max?

,它反映了应力集中的程度,是一个大于1的因数。

→截面尺寸改变的越急剧、角越尖、孔越小,应力集中的程度就越严重。 →用塑性材料制成的零件在静载作用下,可以不考虑应力集中的影响。对于脆性材料制成的零件,应力集中的危害显得严重。 →对于灰铸铁,其内部的不均匀性和缺陷往往是产生应力集中的主要因素,而零件的外形改变所引起的应力集中就可能成为次要因素,对零件的承载能力不一定造成明显的影响。 →当零件受到周期性变化的应力或受冲击载荷作用时,不论是塑性材料还是脆性材料,应力集中对零件的强度都有严重影响,往往是零件破坏的根源。

2.13 剪切和挤压的实用计算

→剪切的特点是,对于构件某一截面两侧的力,大小相等、方向相反且相互平行,使构件的两部分沿这一截面发生相对错动的变形。剪切面上的应力为剪应力,分布方式为均匀分布。 τ=

FSA

(剪切面上的平均切应力)

FSA

→安全因数n,许用切应力[τ],强度条件τ=≤[τ]。

二、挤压的实用计算 在外力作用下,连接件和被连接的构件之间,必将在接触面上相互压紧,这种现象称为挤压。 ?bs=A ,?bs=A

bs

FF

bs

≤[?bs] 。

第三章 扭转

→杆件的两端作用两个大小相等、方向相反,且作用平面垂直于杆件轴线的力偶,致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动,这就是扭转变形。

3.2 外力偶矩的计算

扭矩图,横轴表示横截面位置,纵轴表示扭矩。 右手螺旋法

(传动轴上主动轮和从动轮安置的位置不同,轴所承受的最大扭矩也就不同。)

3.3 纯剪力 M=2πr?δτr

τ=

M

22πrδ

二、切应力互等定理

在相互垂直的两个平面上,切应力必然成对存在,且数值相等;两者都垂直于两个平面的交线,方向则共同指向或共同背离这一交线。(即切应力互等定理或称切应力双生定理)

三、切应变,剪切胡克定律

单元体的上、下、左、右四个侧面上,只有切应力而并无正应力,这种情况称为纯剪切。 →

当切应力不超过材料的剪切比例极限时,切应变γ与切应力τ成正比,即剪切胡克定律。 τ=Gγ

式中G为比例常数,称为材料的切变模量。因γ的量纲为一,G的量纲与τ相同。 (钢材的G值约为80Gpa)

→三个弹性常量,即弹性模量E,泊松比μ,切变模量G。

E:胡克定律,应力不超过材料的比例极限时,应力与应变成正比,σ=Eε。 μ:应力不超过比例极限时,横向应变ε’与轴向应变ε之比的绝对值是一个常数,∣

ε′ε

∣=μ。

E

G:当切应力不超过材料的剪切比例极限时,切应变γ与切应力τ成正比。τ=Gγ。

? 对各向同性材料,可以证明三个弹性常数E,G,μ之间存在下列关系:G=

2(1+μ)

四、剪切应变能

3.4 圆轴扭转时的应力

→圆轴扭转的平面假设:圆轴扭转变形前原为平面的横截面,变形后仍保持为平面,形状和大小不变,半径仍保持为直线;且相邻两截面间的距离不变。 →

扭转角φ,用弧度来度量。 变形几何关系,γρ=ρ

dφdx

dφdx

是扭转角φ沿x轴的变化率,对一个给定的截面上的各点来说,它是常量。

横截面上任意点的切应变与改点到圆心的距离ρ成正比。 物理关系,τρ=Gγρ,即τρ=Gρ dx

表明,横截面上任意点的切应力τρ与该点到圆心的距离ρ成正比。 因为γρ发生于垂直半径的平面内,所以τρ也与半径垂直。(也同时要注意到切应力互等定理)

静力关系,

微分面积 dA=ρdθ?dρ ;dA上的微内力τρdA,力矩ρτρdA。 积分得到横截面上,力矩= ΛρτρdA T= ΛρτρdA=G Λρ2dA

dx

IP= ΛρτρdA ,横截面对圆心O的极惯性矩。IP的量纲为长度的四次方。 T=GIPdx ,(又τρ=Gρ )

dx消去

2

,→τρ=dx

TρIP

(τρ=

TRIP

T

抗扭截面系数 Wt=

IP

,则τmax=W R

t

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