解：第一个x是约束变项，辖域为(Px∧?xQx)。第二个x也是约束变项，辖域为Qx。
第三个x也是约束的，辖域为(Rx→Qx)。
3．?x(Px?Qx∧?xRx)∧?xRx∧Sx
解：第一个x是约束变项，辖域为(Px?Qx∧?xRx)。第二个x是约束变项，辖域为Rx。
第三个x为自由变项。
4．?x(Px→?yR(x, y))
解：x为约束变项，辖域为(Px→?yR(x, y))。y为约束变项，辖域为R(x, y)。 5．?x?y(R(x, y)→﹁Gx)∧?zR(x, z)
解：x为约束变项，辖域为(R(x, y)→﹁Gx)。y为约束变项，辖域为(R(x, y)→﹁Gx)。z
为约束变项，辖域为R(x, z)。
6．?x?y(P(x, y)∧Q(y, z))∧?xP(x, y)
解：第一个x为约束变项，辖域为P(x, y)∧Q(y, z)。第一个y约束变项，辖域为P(x, y)∧Q(y,
z)。第二个x为约束变项，辖域为P(x, y)。第二个y为自由变项。
（四）把下列推理形式表达为谓词逻辑的蕴涵式 1．有的S是P，所以有的P不是S。
解：?x(Sx∧Px)→?x(Px∧﹁Sx)
2．所有M不是P，所有S是M，所以有的S不是P。
解：(?x(Mx→﹁Px)∧?x(Sx→Mx))→?x(Sx∧﹁Px) 3．没有P是M，凡S是M，所以凡S不是P。
解：(?x(Px→﹁Mx)∧?x(Sx→Mx))→?x(Sx→﹁Px) 4．所有M是P，所有M是S，所以有S是P。
解：?x(Mx→Px)∧?x(Mx→Sx)→?x(Sx∧Px)
（五）分析下列命题，指出哪些是直言命题，哪些是关系命题。 1．人民利益高于一切。 2．事实胜于雄辩。
3．普及工作和提高工作是紧密相连的。 4．普及工作和提高工作都是要进行的。 5．命题甲和命题乙是矛盾的。
6．命题甲和命题乙都是全称肯定命题。
答：第4和第6是直言命题，第1、2、3和第5是关系命题。 （六）下列各混合关系三段论的形式是否有效？为什么？
1．所有固体都能为有的液体溶解，有的金属是固体，所以有的金属能为有的液体溶解。
答：有效。
2．一切负数都不比一切正整数大，零不是负数，所以零不比一切正整数大。
答：无效。因为它的直言命题不是肯定命题。
3．每人都同意有些建议，有些建议是十分宝贵的，所以每人都同意有些十分宝贵的建议。
答：无效。因为它违反媒介向必须至少周延一次的规则。
4．有些甲班同学没有参加书法小组，小吴参加书法小组，所以小吴不是甲班同学。
答：无效。因为它违反前提中不周延的项在结论中也不得周延的规则。 （七）把下列关系命题表达为谓词公式 1．珠穆朗玛峰比所有山都高。
解：设M表示山，a表示珠穆朗玛峰，H(x, y)表示x比y高，则 ?x(Mx→H(a, x))
2．有些甲班同学的外语成绩比所有乙班同学的外语成绩差。
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解：令J表示甲班同学，Y表示乙班同学，L(x, y)表示x的外语成绩比y的差，则
?x(Jx∧?y(Yy→L(x, y))
第八章 模态逻辑及其推理
一、单项选择题
1．与“这次试验必然不能成功”为矛盾关系的命题是（ C ）
A．这次实验必然能成功。 B．这次实验不必然能成功。 C．这次实验可能成功。 D．这次实验不能成功有可能。 2．在下列各组命题中，具有差等关系的是（ A ）
A．“必然p”与“可能p” B．“必然非p”与“可能p” C．“可能p”与“可能非p” D．“可能非p”与“必然p” 3．?□p与?◇?p之间为（ A ）
A．矛盾关系 B．反对关系 C．差等关系 D．下反对关系 4．以?□SEP为前提进行对当关系模态推理，其结论是（ C ）
A．□SAP B．□SEP C．◇SIP D．□?SIP
解析：这里需要经过两步推理，即?□SEP├ ◇?SEP├ ◇SIP。这两步推理分别用到
如图两种不同类型的对当方阵。
5．以“有些昆虫可能是害虫”为前提进行对当关系推理，其结论用符号表示只能是（ A ）
A．?□SEP B．□SAP C．◇SOP D．?◇SIP
解析：这里需要经过两步推理，即◇SIP├ ◇?SEP├ ?□SEP。这两步推理分别用到
如图两种不同类型的对当方阵。
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6．前提含有模态词“可能”的模态三段论，无论另一前提是哪种模态词，其结论的模态词应是（ C ） A．必然 B．实然 C．可能 D．以上三种都可以 7．“并非可能p”与“并非可能非p”之间为（ A ）
A．反对关系 B．矛盾关系 C．差等关系 D．下反对关系
解析：“并非可能p”等值于“必然不p”，“并非可能非p”等值于“必然p”，所以“并非可能p”与“并非可能非p”是反对关系。 8．与“必然有S是P”的负命题相等值的命题是（ B ）
A．可能有S是P B．可能凡S不是P C．可能有S不是P D．不可能有S是P 9．以“不可能（p并且q）”为前提进行等值推理，其结论为（ C ）
A．可能（非p或非q） B．必然（p且非q） C．必然（非p或非q） D．必然（如果p则q） 10．以“不必然（非p或q）”为前提进行等值推理，其结论为（ A ）
A．可能（p且非q） B．可能（非p且q） C．可能（非p或q） D．必然（p且非q）
二、指出下列各模态命题的种类 1．这场斗争是必然要来的。
答：主观模态命题，但也可以说是客观模态命题。从物模态命题，狭义模态命题，非逻
辑模态命题。
2．共产主义运动不可能是一帆风顺的。
答：从物模态命题，狭义模态命题，非逻辑模态命题。主观模态命题，但也可以说是客
观模态命题。
3．火星上可能不会有生命存在。
答：客观模态命题，但也可以说是主观模态命题。狭义模态命题，非逻辑模态命题，从
物模态命题。
4．攀登科技高峰可能要付出一个人的毕生精力。
答：主观模态命题，但也可以说是客观模态命题。狭义模态命题，非逻辑模态命题，从
物模态命题。
5．社会发展规律不以人的意志为转移是必然的。
答：从言模态命题，狭义模态命题，非逻辑模态命题，（这里主要是指）主观模态命题。
三、根据模态命题间的对当关系，指出与下列命题同素材的其他三个模态命题的真假。 1．第一次登台表演可能是紧张的。（真）
答：由“第一次登台表演可能是紧张的”为真，根据对当关系可知，“第一次登台表演
必然不紧张”为假。“第一次登台表演可能不紧张”和“第一次登台表演必然紧张”均真假不定。
2．我国东北3至8月的气温一天比一天上升是必然的。（假）
答：由“我国东北3至8月的气温一天比一天上升是必然的”为假，根据对当关系可知，
“我国东北3至8月的气温一天不比一天上升是可能的”为真，“我国东北3至8
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月的气温一天不比一天上升是必然的”和“我国东北3至8月的气温一天比一天上升是可能的”均真假不定。
3．我国北方不可能在一年内种两茬麦子。（真）
答：“我国北方不可能在一年内种两茬麦子”就是“我国北方必然不在一年内种两茬麦
子”，由它为真，根据对当关系可知，“我国北方可能在一年内种两茬麦子”为假，“我国北方必然在一年内种两茬麦子”为假，“我国北方可能不在一年内种两茬麦子”为真。
4．中学生必然要考大学。（假）
答：由“中学生必然要考大学”为假，根据对当关系可知，“中学生可能不要考大学”
为真，“中学生必然不要考大学”和“中学生可能要考大学”均真假不定。
5．有的同学可能不好相处。（真）
答：“有的同学可能不好相处”中的否定通常被理解为内部否定。这有两种情况。
首先，如果把它理解为◇SOP，那么根据如下对当方阵（左），由“有的同学可能不好相处”为真可知，“有的同学必然是好相处的”为假，“有的同学必然不是好相处的”和“有的同学可能是好相处的”真假不定。
其次，“有的同学可能不好相处”还可以理解为◇SIP，那么根据如下对当方阵（右），由“有的同学可能不好相处”为真可知，“有的同学必然是不好相处的”为假，“有的同学必然是不好相处的”和“有的同学可能是好相处的”真假不定。
□SOP □?SOP □SIP □?SIP
◇SOP ◇?SOP ◇SIP ◇?SIP
四、按命题间的对当关系，用适当的命题驳斥下列命题 1．在事业上有成就的人必然管理不好家庭。
反驳：在事业上有成就的人可能管理好家庭。 2．仅仅计较的人可能有宽阔的胸怀。
反驳：仅仅计较的人必然没有宽阔的胸怀。 3．年轻人不可能有见识。
反驳：年轻人可能有见识。
4．没读大学的孩子必然是没有出息的孩子。
反驳：没读大学的孩子可能是有出息的孩子。
5．不抓精神文明建设会影响物质文明建设不是必然的。
反驳：不抓精神文明建设必然会影响物质文明建设。
五、下列各组模态命题是否等值？如果不等值，请写出第一个命题的等值命题。 1．“不必然p”与“可能不p”。
答：等值。 2．“可能p”与“必然不p”。
答：它们之间是矛盾关系，不等值。第一个命题的等值命题是：并非必然不p。 3．“东东一定有出息”与“东东一定没出息”。
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