画出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,利用w的几何意义即可得到结论. 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法. 10.【答案】4
【解析】
∴=(m,n)与=(1,-1)不可能同向.
∴夹角θ≠0. ∵θ∈(0,] ?≥0, ∴m-n≥0, 即m≥n.
当m=6时,n=6,5,4,3,2,1; 当m=5时,n=5,4,3,2,1; 当m=4时,n=4,3,2,1; 当m=3时,n=3,2,1; 当m=2时,n=2,1; 当m=1时,n=1.
∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1 ∴概率P=故答案为:
=
=
.
解:展开式的通项为其中r=0,1,2…10
要使x的指数为负整数有r=4,6,8,10 故含x的负整数指数幂的项共有4项 故答案为:4
利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为负整数,得到r的值,求出含x的负整数指数幂的项数.
本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题. 11.【答案】3:2
【解析】
解:设圆柱的高为:2,由题意圆柱的侧面积为:2×2π=4π 圆柱的体积为:2π12=2π
球的表面积为:4π,球的半径为:1;球的体积为:所以这个圆柱的体积与这个球的体积之比为:故答案为:
设出圆柱的高,求出圆柱的体积,圆柱的表面积,转化为球的表面积,求出球的半径,然后求出球的体积,可得二者体积之比.
本题考查球的体积、表面积;圆柱的表面积、体积;考查计算能力,正确利用题目条件,面积相等关系,挖掘题设中的条件,解题才能得心应手. 12.【答案】
【解析】
由题意知本题是一个古典概型,根据分步计数原理可以得到试验发生包含的所有事件数,满足条件的事件数要通过列举得到,题目大部分内容考查的是向量的问题,这是一个综合题. 向量知识,向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用,而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体,能与中学数学教学内容的许多主干知识综合,形成知识交汇点. 13.【答案】[-1,3]
【解析】
解:分别画出集合A={(x,y)||x-a|+|y-1|≤1},B={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤1},表示的平面图形,集合A表示是一个正方形,集合B表示一个圆.如图所示.
解:由题意知本题是一个古典概型, 试验发生包含的所有事件数6×6, ∵m>0,n>0,
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其中A(a+1,1),B(a-1,1),
欲使得A∩B≠?,只须A或B点在圆内即可,
2222
∴(a+1-1)+(1-1)≤1或(a-1-1)+(1-1)≤1,
解:对于①当,据共线向量的充要条件得到P在线段BE上,故1≤y≤3,故①错
故②对
对于②当当P是线段CE的中点时,=
=
解得:-1≤a≤1或1≤a≤3, 即-1≤a≤3. 故答案为:[-1,3].
22
先分别画出集合A={(x,y)||x-a|+|y-1|≤1},B={(x,y)|(x-1)+(y-1)≤1},表示的平面图形,集合
对于③x+y为定值1时,A,B,P三点共线,又P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点,故P的轨迹是线段,故③对 故答案为②③④
利用向量共线的充要条件判断出①错,③对;利用向量的运算法则求出②对.
本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件. 16.【答案】a≤ 或a≥ 【解析】
A表示是一个正方形,集合B表示一个圆.再结合题设条件,欲使得A∩B≠?,只须A或B点在圆内即可,将点的坐标代入圆的方程建立不等式求解即可.
本小题主要考查二元一次不等式(组)与平面区域、集合关系中的参数取值问题、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题. 14.【答案】3
【解析】
,求出x,y判断出
解:如右图: ∵AB=BD,
∴在△ABC中,由正弦定理得∴BDsin∠ABC=sin∠ACB,
222
+∠ABC) 在△BCD中,CD=BD+BC-2BD?BCcos(90°
解:原不等式等价于(3+2sinθcosθ-asinθ-acosθ)
,
由①得a≥在②中,
②,或a≤,
=(sinθ+cosθ)+
sin∠ACB
显然当1≤x≤由此可得a在③中,
当且仅当sinθ+cosθ=所以由此可得a综上,a故答案为:a
, 或a
. 或a
.
2
2
,θ∈[0,]①, ③,
,
为减函数,从而上式最大值为f(1)=1+=,
=AB2+2+2BDsin∠ABC=AC2+BC2-2AC?BCcos∠ACB+2+2
时,f(x)=x+;
=5-2cos∠ACB+2sin∠ACB
=5+4sin(∠ACB-45°),
时CD最大为9,CD最大值为3, ∴当∠ACB=135°故答案为:3.
在△ABC中,由正弦定理得BDsin∠ABC=sin∠ACB,在△BCD,△ABC中由余弦定理可得CD2=BD2+BC2-2BD?BCcos(90°+∠ABC)=AC2+BC2-2AC?BCcos∠ACB+2+2为
5+4sin(∠ACB-45°),由此可求答案.
该题考查正弦定理、余弦定理及其应用,考查三角函数的恒等变换,属中档题. 15.【答案】②③④
【解析】
2
=(sinθ+cosθ)+时取等号, 的最小值为
,
=,
sin∠ACB,可化
原不等式等价于(3+2sinθcosθ-asinθ-acosθ)a≤
,θ∈[0,],从而可得a≥,或
,于是问题转化为求函数的最值问题加以解决,对上述分式进行合理变形,
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利用函数单调性、基本不等式即可求得最值.
本题考查函数恒成立问题,转化为函数最值问题是解决该类题目的常用方法,解决本题的关键是先对不等式进行等价变形去掉x,变为关于θ的恒等式处理. 17.【答案】解:(1)∵ ? =8,∴accosB=8,
22222
由余弦定理得b=a+c-2accosB=a+c-16, ∵b=4, 22
∴a+c=32;
22
(2)∵a+c≥2ac, ∴ac≤16, ∵accosB=8,
(2)解:取AP的中点O,连接CO、DO. ∵PC=AC=2,∴C0⊥PA,CO= ,
∵CD⊥平面PAB,由三垂线定理的逆定理,得DO⊥PA. ∴∠COD为二面角C-PA-B的平面角. 由(1)AB⊥平面PCB,∴AB⊥BC, 又∵AB=BC,AC=2,求得BC= PB= ,CD=
∴
cos∠COD= .
∴cosB= ≥ , ∵B∈(0,π), ∴0<B≤ ,
2
∵f(B)= sinBcosB+cosB= sin2B+ (1+cos2B)=sin(2B+ )+ ,
∵ <2B+ ≤ ,
【解析】
(1)要证AB⊥平面PCB,只需证明直线AB垂直平面PCB内的两条相交直线PC、CD即可; (2)取AP的中点O,连接CO、DO;说明∠COD为二面角C-PA-B的平面角,然后解三角形求二面角C-PA-B的大小的余弦值.
本题考查直线与平面垂直的判定,二面角的求法,考查空间想象能力,逻辑思维能力,是中档题.
【答案】解:(1)设内环线列车的平均速度为v千米/小时,则要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,19.
可得
∴sin(2B+ )∈[ ,1], 则f(B)的值域为[1, ]. 【解析】
(1)利用平面向量的数量积运算法则化简
22
果及b的值代入计算即可求出a+c的值;
?=8,再利用余弦定理列出关系式,将化简结
∴v≥20
∴要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,内环线列车的最小平均速度是20千米/小时;
(2)设内环线投入x列列车运行,则外环线投入(18-x)列列车运行,内、外环线乘客最长候车时间分别为t1,t2分钟, 则 ∴
(2)由基本不等式求出ac的范围,根据accosB=8表示出cosB,由ac的范围求出cosB的范围,进而利用余弦函数性质求出B的范围,f(B)解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简,整理为一个角的正弦函数,由B的范围求出这个角的范围,利用正弦函数的值域即可确定出f(B)的范围.
此题考查了正弦、余弦定理,平面向量的数量积运算,二倍角的正弦、余弦函数公式,以及正弦函数的值域,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 18.【答案】(1)证明:∵PC⊥平面ABC,AB?平面ABC,
∴PC⊥AB.
∵CD⊥平面PAB,AB?平面PAB,
∴CD⊥AB.又PC∩CD=C,∴AB⊥平面PCB.
,
∴ ∴
∵x∈N+,∴x=10
∴当内环线投入10列列车运行,外环线投入8列列车时,内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟. 【解析】
(1)设内环线列车的平均速度为v千米/小时,根据内环线乘客最长候车时间为10分钟,可得
,从而可求内环线列车的最小平均速度;
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(2)设内环线投入x列列车运行,则外环线投入(18-x)列列车运行,分别求出内、外环线乘客最长候车时间
解不等式,即可求得结论.
本题考查函数模型的构建,考查利用数学模型解决实际问题,解题的关键是正确求出乘客最长(2)直接推理、计算,并在计算过程中消去变量,从而得到定点;
(3)欲求面积之和的最小值,利用直线AB的斜率作为自变量,建立函数模型,转化成求函数的最值问题.
新课标下的圆锥曲线题一般是压轴题,主要考查椭圆或抛物线的有关知识,本题主要考查直线、,,根据,
候车时间.
20.【答案】解:(1)由题知,抛物线的准线方程为y+1=0,
=1
所以抛物线C的方程为x2
=4y.
(2)当直线AB的斜率不存在时,直线与抛物线只有一个交点, 故直线AB的斜率一定存在,
设直线AB方y=kx+1交抛物线C于点A(x1,y1),B(x2,y2), 由抛物线定义知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1, 所以|AC|=y1,|BD|=y2, 由
得x2
-4kx-4=0,
显然△>0,则x1+x2=4k,x1?x2=-4, 所以y1?y2=
=1,所以|AC|?|BD|为定值1.
(3)解:由
x2=4y,y= x2,y=
x,
得直线AM方程y-
= x1(x-x1)(1), 直线BM方程y-
=
x2(x-x2)(2), 由(2)-(1)得
-
(x1-x2)x= ,
所以x=
(x1+x2)=2k,∴y=-1 所以点M坐标为(2k,-1), 点M到直线AB距离d= =2 ,
弦AB长为|AB|= = =4(1+k2
), △ACM与△BDM面积之和,
S= |-2)?d=
(2+4k2
(|AB ×)×
2 =2(1+2k2) , 当k=0时,即AB方程为y=1时,△ACM与△BDM面积之和最小值为2. 【解析】
(1)第一小题较为简单,因为抛物线是标准方程,只须求参数P;
圆、抛物线等基础知识,考查运算求解能力、探究能力、分析问题和解决问题的能力,背景新颖,
综合要求高.数学中的最值与定值问题,历来是高考的热点.求解定值与最值的基本策略有二:一是从几何角度考虑,当题目中的条件和结论明显体现几何特征及意义时,可用图形性质来解;二是从代数角度考虑,当题中的条件和结论体现出一种明显的函数关系时,可通过建立目标函数,求其目标函数的最值.
21.【答案】解:(Ⅰ)由题意知,an=2n,bn=2?qn-1,所以由S3<a1003+5b2-2010,
可得到b1+b2+b3<a1003+5b2-2010?b1-4b2+b3<2006-2010?q2
-4q+3<0. 解得1<q<3,又q为整数,所以q=2; 故答案为2.
(Ⅱ)假设数列{bn}中存在一项bk,满足bk=bm+bm+1+bm+2++bm+p-1,
因为bn=2n,∴bk>bm+p-1?2k>2m+p-1
?k>m+p-1?k≥m+p(*) 又
=2m+p-2m<2m+p,所以k<m+p,此与(*)式矛盾. 所以,这样的项bk不存在;
故答案为不存在.
(Ⅲ)由b1=ar,得b2=b1q=arq=as=ar+(s-r)d, 则
又 ?
,
从而
,
因为as≠ar?b1≠b2,所以q≠1,又ar≠0,
故
.又t>s>r,且(s-r)是(t-r)的约数,
所以q是整数,且q≥2,
对于数列中任一项bi(这里只要讨论i>3的情形),
有bi=arqi-1=ar+ar(qi-1
-1)
=ar+ar(q-1)(1+q+q2++qi-2) =ar+d(s-r)(1+q+q2++qi-2)
=ar+[((s-r)(1+q+q2++qi-2)+1)-1]?d,
由于(s-r)(1+q+q2
++qi-2)+1是正整数,所以bi一定是数列{an}的项. 故得证. 【解析】
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(Ⅰ)由等差等比数列的表达式an=2n,bn=2?q
n-1
,代入S3<a1003+5b2-2010直接求解即得到答案.
(Ⅱ)可以先假设数列{bn}中存在一项bk,满足bk=bm+bm+1+bm+2++bm+p-1,再根据已知的条件去验证,看是否能找出矛盾.如果没有矛盾即存在,否则这样的项bk不存在;
(Ⅲ)由已知条件b1=ar,得b2=b1q=arq=as=ar+(s-r)d,和等差等比数列的性质,由数学归纳法求证数列中每一项是否都是数列中的项.
此题主要考查等差等比数列的性质的应用,以及数学归纳法在数列中的应用,题目较为复杂,需要一步一步的分析求解,计算量要求较高,属于难题.
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