2019年上海市浦东新区华师大二附中高考数学模拟试卷（5月份）
一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）
2
1. 设集合A={x|x-5x+4＜0}，B={x||x-a|＜1}，则“a∈（2，3）”是“B?A”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 实数a，b满足a?b＞0且a≠b，由a、b、
②当P是线段CE的中点时， ， ；
③若x+y为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段；
④x-y的最大值为-1；
其中你认为正确的所有结论的序号为______．
16. 对任意实数x和任意 ∈ ， ，恒有 ，则实数a的取值范围为______．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b=4， ? =8．
22
（1）求a+c的值；
2
（2）求函数f（B）= sinBcosB+cosB的值域．
18. 如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB
上一点，且CD⊥平面PAB． （1）求证：AB⊥平面PCB；
（2）求二面角C-PA-B的大小的余弦值．
19. 某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异）．
（1）当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，求内环线列车的最小平均速度； （2）新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时．现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟，向内、外环线应各投入几列列车运行？
、 按一定顺序构成的数列（ ）
A. 可能是等差数列，也可能是等比数列 C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列
B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列 D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列
2
3. 已知双曲线 - =1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y=2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，
O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为 ，则p=（ ）
A. 1
B.
C. 2 D. 3
4. 若函数f（x）满足：f（|x|）=|f（x）|，则称f（x）为“对等函数”，给出以下三个命题：
①定义域为R的“对等函数”，其图象一定过原点；
②两个定义域相同的“对等函数”的乘积一定是“对等函数”；
③若定义域是D的函数y=f（x）是“对等函数”，则{y|y=f（x），x∈D}?{y|y≥0}； 在上述命题中，真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
5. 若复数z满足 6. 计算：
=-1+2i，则z等于______． =______
7. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，
22
方差为2，则x+y=______．
8. 关于x，y的二元一次方程的增广矩阵为 ．若Dx=5，则实数m=______．
9. 已知实数x、y满足不等式组 ，则的取值范围是______
10. 在 展开式中，含x的负整数指数幂的项共有______项．
11. 一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积
之比为______．
=（1，-1）的夹角成为直角三 =（m，n），则 与 12. 连续投骰子两次得到的点数分别为m，n，作向量
角形内角的概率是______．
22
13. 已知集合A={（x，y）||x-a|+|y-1|≤1}，B={（x，y）|（x-1）+（y-1）≤1}，若A∩B≠?，则实数a的取
值范围为______．
14. 在△ABC中，BC= ，AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点在直线
AB的两侧）．当∠C变化时，线段CD长的最大值为______．
，P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点， 15. 如图，B是AC的中点，
， ∈ ．有以下结论： + 且
①当x=0时，y∈[2，3]；
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20. 已知抛物线G的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，点P（m，4）到其准线的距离等于5．
（I）求抛物线G的方程；
22
（II）如图，过抛物线G的焦点的直线依次与抛物线G及圆x+（y-1）=1交于A、C、D、B四点，试证明|AC|?|BD|为定值；
B分别作抛物G的切线l1，l2且l1，l2交于点M，（III）过A、试求△ACM与△BDM面积之和的最小值．
21. 已知数列{an}是以d为公差的等差数列，{bn}数列是以q为公比的等比数列．
（Ⅰ）若数列的前n项和为Sn，且a1=b1=d=2，S3＜a1003+5b2-2010，求整数q的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问数列中是否存在一项bk，使得bk恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由；
（Ⅲ）若b1=ar，b2=as≠ar，b3=at（其中t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的约数），求证：数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项．
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答案和解析
1.【答案】A
【解析】
2
解：根据题意，集合A={x|x-5x+4＜0}={x|1＜x＜4}=（1，4），
故选：B．
由实数a，b满足a?b＞0且a≠b，分a，b＞0和a，b＜0，两种情况分析根据等差数列的定义和等比数列的定义，讨论a、b、
、
按一定顺序构成等差（比）数列时，是否有满足条件的a，b
B={x||x-a|＜1}=（a-1，a+1），
若“a∈（2，3）”，可得1＜a-1＜2，3＜a+1＜4，必有“B?A”， 若“B?A”，则有
，解可得2≤a≤3，“a∈（2，3）”不一定成立；
的值，最后综合讨论结果，可得答案．
本题考查的知识点是等差数列的确定和等比数列的确定，熟练掌握等差数列和等比数列的定义和性质是解答的关键． 3.【答案】C
【解析】
则“a∈（2，3）”是“B?A”的充分不必要条件； 故选：A．
根据题意，先表示出集合A、B，进而分析可得：若“a∈（2，3）”，必有“B?A”，而若“B?A”，则“a∈（2，3）”不一定成立；由充分必要条件的定义，分析可得答案． 本题考查充分必要条件的判定及应用，关键求出集合B， 2.【答案】B
【解析】
解：∵双曲线，
∴双曲线的渐近线方程是y=±x
2
又抛物线y=2px（p＞0）的准线方程是x=-，
故A，B两点的纵坐标分别是y=±∴
＞b
A，B两点的纵坐标分别是y=±
=
则
，双曲线的离心率为2，所以，
，
，
解：（1）若a＞b＞0 则有a＞
＞
若能构成等差数列，则a+b=+，得=2，
又，△AOB的面积为
，x轴是角AOB的角平分线
解得a=b（舍），即此时无法构成等差数列
∴
若能构成等比数列，则a?b=
?
，得
=2
，
故选：C．
解得a=b（舍），即此时无法构成等比数列 （2）若b＜a＜0， 则有
＞a＞
＞b
+b=a+
，得2
=3a-b
求出双曲线
2
的渐近线方程与抛物线y=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点
，得p=2．
的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值．
若能构成等差数列，则于是b＜3a 4ab=9a2-6ab+b2 得b=9a，或b=a（舍）
本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错． 4.【答案】B
【解析】
当b=9a时这四个数为-3a，a，5a，9a，成等差数列． 于是b=9a＜0，满足题意 但此时
?b＜0，a?
＞0，不可能相等，故仍无法构成等数列
解：①定义域为R的“对等函数”，可令x=0，即f（0）=|f（0）|， 解得f（0）=0，或f（0）=1，故①错误；
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②两个定义域相同的“对等函数”，设y=f（x）和y=g（x）均为“对等函数”， 可得f（|x|）=|f（x）|，g（|x|）=|g（x）|，
设F（x）=f（x）g（x），即有F（|x|）=f（|x|）g（|x|）=|f（x）g（x）|=|F（x）|， 则乘积一定是“对等函数，故②正确”；
③若定义域是D的函数y=f（x）是“对等函数”，可得f（|x|）=|f（x）|，
可取f（x）=x|x|，x∈R，可得x≥0时，f（x）≥0；x＜0时，f（x）＜0，故③错误．
故选：B．
可令x=0，即f（0）=|f（0）|，解得f（0）可判断①；
设y=f（x）和y=g（x）均为“对等函数”，运用新定义，计算可判断②； 可取f（x）=x|x|，x∈R，求得f（x）的值域，即可判断③．
本题考查函数的新定义的理解和运用，考查反例法、特值法和逻辑推理，属于中档题．5.【答案】1+i
【解析】
解：∵=iz+i ∴iz+i=-1+2i ∴z=1+i
故答案为：1+i． 利用行列式展开法则
和复数的性质进行求解．
本题考查行列式运算法则，解题时要注意复数运算性质的合理运用． 6.【答案】
【解析】
解：；
∴=．
故答案为：
．
根据组合数公式即可求出
，从而得出
=
．
考查组合数公式，以及数列极限的求法，型极限的求法．
7.【答案】208
【解析】
解：由题意可得：
x+y=20，（x-10）2+（y-10）2=8，
解得则x2+y2
=208，
故答案为：208．
利用平均数、方差的概念列出关于x、y的方程组，求解即可．
本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，比较简单． 8.【答案】-2
【解析】
解：由题意，Dx==5，∴m=-2，
故答案为-2． 由题意，Dx=
=5，即可求出m的值．
本题考查x，y的二元一次方程的增广矩阵，考查学生的计算能力，比较基础． 9.【答案】
， ．
【解析】
解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
的几何意义为阴影部分的动点（x，y）
到定点P（-1，1）连线的斜率的取值范围． 由图象可知当点与OB平行时，直线的斜率最大，
当点位于A时，直线的斜率最小， 由A（1，0）， ∴OB的斜率k=1 AP的斜率k=
，
∴-≤w≤1．
则
的取值范围是：
．
故答案为：
． 第4页，共9页