又∠OCN=∠MAO，∴△OCN∽△MAO，于是， ∴AM2CN=AO2CO 同理，AQ2CP=AO2CO。
【例8】ABCD是圆内接四边形，其对角线交于P，M、N分别是AD、BC的中点，过M、N分别作BD、
AC的垂线交于K。求证：KP⊥AB。
【分析】延长KP交AB于L，则只需证∠PAL+∠APL=90°，
即只需证∠PDC+∠KPC=90°，只需证∠PDC=∠PKF， 因为P、F、K、E四点共圆，故只需证∠PDC=∠PEF，即EF∥DC。
←←←△DME∽△CNF 【例9】以△ABC的边BC为直径作半圆，与AB、AC分别交于点D、E。过D、E作BC的垂线，垂
足分别是F、G，线段DG、EF交于点M。求证：AM⊥BC。
【分析】连结BE、CD交于H，则H为垂心，故AH⊥BC。（同一法）
设AH⊥BC于O，DG、AH交于M1，EF、AH交于M2。下面证M1、M2重合。
OM1∥DF→
→OM1=。
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OM2∥EG→→OM2=。
只需证OG·DF=EG·OF，即
←Rt△OEG∽Rt△ODF←∠DOF=∠DHB=∠EHC=∠EOG。
竞赛讲座05
－几何解题途径的探求方法
一．充分地展开想象
想象力，就是人们平常说的形象思维或直觉思维能力。想象力对于人们的创造性劳动的重要作用，马克思曾作过高度评价：“想象是促进人类发展的伟大天赋。”解题一项创造性的工作，自然需要丰富的想象力。在解题过程中，充分展开想象，主要是指： 1．全面地设想
设想，是指对同一问题从各个不同的角度去观察思考和深入分析其特征，推测解题的大致方向，构思各种不同的处理方案。
例1．在ABCD中，AB=AC，D是BC边上一点，E是线段AD上一点 ，且?BED?2?CED??BAC，
求证：BD=2CD（92年全国初中联赛试题）
例2． 在?ABC中，AB>AC，?A的外角平分线交?ABC的外接圆于D，DE?AB于E。求证：
AE?(AB?AC)2（89年全国高中联赛试题）
3．在Rt?ABC的斜边上取一点D，使?ABD和?ACD的内切圆相等。证明：S2?ABC?AD（31届IMO
备选题）
例4．设A是三维立体abc的长方体砖块。若B是所有到A的距离不超过1的点的集合（特别地，B包含A），试用abc的多项式表示B的体积（84年美国普特南数学竟赛试题）
2．广泛地联想
联想，是指从事物的相联糸中来考虑问题，从一事物想到与其相关的各种不同的事物，进行由此彼的
思索。在解题过程中，我们如能根椐问题特征广泛地联想熟知命题，并设法将其结论或解法加以利用，则无疑是获得解题途径的简捷方法。
例5．在?ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，若角A，B，C的大小成等比数列，且b2?a2?ac，
求角B（85年全国高中联赛试题）
例6．四边形ABCD内接于?o，对角线AC?BD于P，E是CD的中点，OF?AB于F。求证：PE?OF（78年上海高中竟赛试题）
例7． 在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在棱AA1上，且A1F:FA?1:2，求平面B1EF与底面A1B1C1D1所成的二面角。（85年全国高中联赛试题） 例8． 设A1A2A3A4为?0的内接四边形，H1,H2,H3,H4依次为
?A2A3A4,?A3A4A1,?A4A1A2,?A1A2A3,的垂心。求证：H1,H2,H3,H4四点在同一个圆上，并确定该圆
的圆心位置。（92年全国高中联赛试题） 3．大胆地猜测想
猜想，是指由直觉或某些数学事实，推测某个判断或命题可能成立的一种创造性的思维活动过程。科学家都非常重视猜想的作用。誉满世界被称为数学王子的德国数学家高斯就曾深有体会地说：“没有大胆的猜想就不可能有伟大的发现。”“若无某种放肆的猜想，一般是不可能有知识的进展的。”在解题过程中，通过猜想不仅可以得到问题的结论，而且还可以获得解题的途径，但应注意，由猜想所得出的结论不一定可靠，其正确性还必须经过严格的逻辑证明或实践的检验。
例9． 正方形ABCD的边长为1，P,Q分别是边AB与边AD上各一点。若?APQ的周长为2。求?PCD（88年国家队选拔试题）
例10．已知圆内接四边形的对角线AC与BD相交于M。求证：ABADCB?CD?AMMC
例11．已知四面体p?ABC的六条棱长之和为l，并且
?APB??BPC??CPA?900，试求它的最大体积。
（28届IMO备选题） 例12．设正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为a，过棱B1C1上一点Q作一直线与棱AA1和DC的延长线分别交于P,R，试问：当Q在棱B1C1上移动时，线段PR最短时的长度是多少？证明你的结论。 二．精心地进行类比
类比，是指人们在观察或思考问题时，往往把相似的事物加以比较，并把处理某些事物的成功经验用到与其性质相似的另一些事物上去的思维方式。在解题过程中，若能将它与相似的问题精心地进行类比，则往往可由此得到解题途径，甚至发现新的知识。
例13．四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC与BD相交于P，设?ABP,?BCP,?CDP和?DAP的外接圆圆心分别为O1,O2,O3,O4。求证：O1O3,O2O4,OP三直线共点。（90年全国高中联试题）
例14．在四面体O?ABC中，已知?AOB??BOC??COA?900，试问：S?ABC,S?AOB,S?BOC,S?COA第 18 页 共 64 页
之间有何关系？证明你的结论。
例16．设O是四体ABCD内部的任意一点，AO,BO,CO,和DO的延长线分别与面BCD,ACD,ABD和
ABC交于A?,B?,C?,D?。求证：
OA?OB?OC?AA??BB??CC??OD?DD??1
三．合理地利用特殊
例17.?ABC和?ABD在边Ab的同侧,?ACB??ADB?180?,且边BC与边AD相交于E点.求证:AE?AD?BE?BC?AB2.
例18.已知半径分别为R、r（R>r）的两圆内切于A，AE是外圆的直径，AE的垂线与两圆分别交于AE同侧的两点B和C，试求?ABC的外接圆直径（83年苏联竞赛题）
例19．设AO是?ABiCi的角平分线，且点Bi,O,Ci共线（i?1,2,?,n），则
OB1?B1B2?B2B3???B2n?1Bn?BnO?OC???AB1?AB2???ABn???（79年苏联竞赛题） 1?C1C2?C2C3???Cn?1Cn?CnO?AC1?AC2???ACn?例20．已知菱形ABCD外切于⊙O，MN是与边AD,CD分别交于M,N的⊙O的任一切线，求证：
AM?CN为定值。（89年苏联奥赛题）
例21．设P是正三角形ABC外接圆的劣弧BC上任一点，求证：（1）PB?PC?PA；（2）
PB?PC?PA2?AB2
例22．求证：顶点在单位圆上的锐角三角形的三个内角的余弦之和小于这个三角形周长的一半。
例23．?ABC外接于⊙O，P是AB弧上一点，过P作OA,OB的垂线，与AC,BC分别于S,T，与AB分别义于M,N。求证：PM?MS的充要条件是PN?NT。 例24．在凸六边形ABCDEF中，若对角线AD,BE,CF中的每一条都把六边形分成面积相等的两部分，
则这三条对角线相交于一点（88年苏联奥赛题）
习题
1．若CE是?ABC的?C的平分线，且CE2?AE?EB，则AE:AC?1:2（78年四川联赛试题）
2．在?ABC中，AB?AC，任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP?BQ。 求证：?ABC的外心与A,P,Q四点共圆（94年全国初中联赛试题）
3．平面上已给一锐角?ABC，以Ab中直径的圆交高CC?及延长线于M,N，以AC为直径的圆交高BB?及其延长线于P,Q，证明：M,N,P,Q四点共圆（90年美国19届奥赛题）
4．已知一凸五边形ABCDE中，?BAE?3?,BC?CD?DE，且?BCD??CDE?180??2?，求证：
?BAC??CAD??DAE（90年全国初中联赛题）
5．在?ABC中，?A,?B，?C的对边分别为a,b,c，已知a2?ac?bc?2b2，
22a?ac?bc?2c，求它的最大角的度数（90年苏联奥赛试题）
△ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点的充要条件是
托勒密(Ptolemy)定理
。
6．已知锐角?ABC的顶点C到垂心，外心的距离相等，求?ACB（90年匈牙利奥赛题）
7．在三棱锥S?ABC中，SA?SC，△SBC和△ABC都有等腰三角形，D是BC边上任意一点，在平面SAD内作SH?AD于H，P是SH的中点，求证：tg?PAH?tg?SDH为定值。
9．设不过给定的平行四边形ABCD顶点的任一直线分别与直线AB,BV,CD,DA交于E,F,G,H，则⊙
EFC与⊙GHC的另一交点必在定直线上。
四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。
10．设ABCD是任意四边形（包括凹四边形），则AC?BD的充要条件是：
AB2?CD2?AD2?BC（1912年匈牙利竞赛试题）
211．如图，圆的三条弦PP1,QQ1,RR1两两相交，交点分别为A,B,C。若AP?BQ?CR,AR1?BP1?CQ1。求证：△ABC是正三角形。（28届IMO备选题）
12．已知锐角△ABC的外接圆半径为R，D,E,F分别是边BC,CA,AB上的点，求证：AD,BE,CF是三条高的充要条件是：S?ABC?R(DE?EF?FD)2西姆松(Simson)定理（西姆松线）
从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角
形的外接圆上。
例题：
(86年全国高中联赛试题)
13.凸四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC与BD相交于P,△ABP与△CDP的外接圆相交于P和另一点Q,且O,P,Q三点两两不重合,则?OQP?90?(第8届CMO试题)
1． 设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求证：。
竞赛专题讲座06
－平面几何四个重要定理
四个重要定理：
梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）
△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、R共线的充
【分析】CEF截△ABD→（梅氏定理）
【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。
2． 过△ABC的重心AB、AC于E、F，交CB
G的直线分别交于D。
求证：
要条件是
塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）
。
。
点。
【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中
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6． 已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。
DEG截△ABM→
（梅氏定理）
求证：
DGF截△ACM→
（梅氏定理）
【分析】
【评注】托勒密定理
∴
=
=
=1
7． △ABC的BC边上的高AD的延长线交外接圆于P，作PE⊥AB于E，延长ED交AC延长线于F。 求证：BC2EF=BF2CE+BE2CF。
3． D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，
【分析】
【评注】西姆松定理（西姆松线）
，AD、BE、CF交成△LMN。
求S△LMN。
【分析】
【分析】
【评注】梅
氏定理
【评注】面积法
4． 以△ABC各边为底边向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证：AE、BF、CG相交于一点。 【分析】
求证：（1）a2Ra?b2db+c2dc;
【评注】塞
5． 已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：【分析】过A作BC圆于D，连结BD。则由托勒密定理，
瓦定理
(2) a2Ra?c2db+b2dc;
AC=AB+AB2BC。
(3) Ra+Rb+Rc?2(da+db+dc)。
的平行线交△ABC的外接CD=DA=AB，AC=BD。 AC2BD=AD2BC+CD2AB。
【分析】
2
2
。（第21届全苏数学竞赛）
【评注】梅氏定理
M、Nk。
8． 正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点分成的比为AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共线。求（23-IMO-5）
9． O为△ABC内一点，分别以da、db、dc表示O到BC、CA、AB的距离，以Ra、Rb、Rc表示O到A、
B、C的距离。
【评注】托勒密定理
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