11.1 奇校验码码字是c?(m0,m1,?,mk?1,p),其中奇校验位p满足方程
m0?m1???mk?1?p?1 mod 2
证明奇校验码的检错能力与偶奇校验码的检错能力相同，但奇校验码不是线性分组码。 证明提示：
奇数个差错的发生总导致校验方程不满足。全0向量不是奇校验码码字。
11.2 一个(6,2)线性分组码的一致校验矩阵为
?h1?hH??2?h3??h410001?00011?? 00101??01110?(1)求hi,i?1,2,3,4使该码的最小码距dmin?3。 (2)求该码的系统码生成矩阵Gs及其所有4个码字。 解题提示：
(1)对H作行初等变换得
h1??h?hH???21?h3?h1??h4?h2?h310001?10010?? 10100??01000?要使最小码距等于3，有h1, h1?h2, h1?h3, h4?h2?h3中任意两项为1，其余为零。当要使最小码距大于3，有
中三项或四项均为1，其余为零。有h1, h1?h2, h?h3, ?h4?hh12上述关系可以求得一组或多组关于hi,i?1,2,3,4的解。 (2)对H?作行初等变换得
?h4?h2?h3?h?hH????31?h2?h1?h1?01000?10100?????Q?TI? r?10010??k?r?10001?
11.3 一个纠错码消息与码字的对应关系如下：
(00)—(00000)，(01)—(00111)，(10)—(11110)，(11)—(11001)
(1)证明该码是线性分组码
(2)求该码的码长，编码效率和最小码距。 (3)求该码的生成矩阵和一致校验矩阵。 (4)构造该码BSC上的标准阵列。
(5)若在转移概率p?10?3的BSC上，消息等概发送，求用标准阵列
译码后的码字差错概率和消息比特差错概率。 解题提示：
(1)任意两个码字的和是另一个码字且全零向量为码字。 (2)码长为向量长，即n?5。码字数为
4，故R?logqMn?log422?。55最小非零码字的重量为minw?d?3。
(3)因为码字数为4，任意两非零码字构成生成矩阵的行向量
G??11110?。按G与H正交的条件，解得H的一种可能情况??00111???11110?等于?11000?。
??01101??(4)标准阵列见题表(11.1)。
题表(11.1) 标准阵列
c0＝00000 00000 00001 00010 00100 01000 10000 10010 10100 c1＝00111 00111 00110 00101 00011 01111 10111 10101 10011 c2＝11110 11110 11111 11100 11010 10110 01110 01100 01010 c3＝11001 11001 11000 11011 11101 10001 01001 01011 01101 e0＝00000 e1＝00001 e2＝00010 e3＝00100 e4＝01000 e5＝10000 e6＝10010 e7＝10100
(5)按题解(4)的标准阵列译码，记Ac是标准阵列中码字c对应的列，
E是包括无错图案和全部可纠正差错图案的集合，那么码字
差错概率为
??P(e)?1?P(c)P(r?c?e?A)?1?P(c)P(e)???Wc??c?Cc?C?e?E??? ?1?P(c)???P(e)? (P(c)均匀分布，信道差错均匀分布)
c?C?e?E?1543 ?1??4???1?p??5p?1?p??2p2?1?p????4记消息比特差错概率为Pb(e)，消息向量差错概率为PB(e)，注意到该码是非系统码以及消息向量长为2，则应有
PW(e)?PB(e)?1?PB(c)?1??