解析 随机变量X的概率密度f(x)与概率P{a?X?b}之间有如下关系
P{a?X?b}?P{a?X?b}??baf(x)dx，
关键在f(x)的内容要与区间对应.由题设f(x)仅在[0,1]上为2x，其他处f(x)均为0.故
（1）P{0?X?1}??10f(x)dx??2xdx是正确的.
01（2） P{0.5?X?1}?（3）P{0?X?2}?2?10.5f(x)dx??2xdx是正确的.
0.5121101001?20f(x)dx??2xdx??0dx??2xdx?0??2xdx，故
P{0?X?2}??2xdx是错误的.
0（4）P{X?0.5}?错误的.
???0.5f(x)dx??2xdx??0dx??2xdx，故P{X?0.5?}?0.510.51??1??0.5x2d是x
（5）连续型随机变量的分布函数与概率密度之间有如下关系：在概率密度的可导点x，f(x)?F?(x).
?(x故在(??,0内)，f(x)?F?)??0?(x；内0在(1??,)，f(x)?F?)??1；0在(0,1内)，
?(xf(x)?F?)2??). (x2x又因为概率密度在个别点的值不影响概率的计算，所以只要满足概率密度的非负性，在x?0与x?1处，概率密度可以任意定义.
?0?1?26.设随机变量X的分布函数F(x)??x2?4??1x?00?x?2，则概率 x?211P{0.5?X?1.5}??1.52??0.52?0.5. 正确
44?0?1?27.设随机变量X的分布函数F(x)??x2?4??1x?00?x?2，则X的概率密度为（A ）. x?2 期末复习大纲与复习题 21
?x?120?x?2??xA.f(x)??2B.f(x)??4??其它?0?00?x?2?xx?C.f(x)?,x?R D.f(x)??22?其它?10?x?2x?2
28.若随机变量X的概率密度为f(x)，且f(?x)?f(x)，F(x)是X的分布函数，则对任意实数a有（ C ）
A.F(?a)?F(a) B.F(?a)?1??a0f(x)dx
1aC.F(?a)???f(x)dx D.F(?a)?2F(a)?1
20解析 该题目是在考核对概率密度与分布函数几何意义的理解，如下图所示
应该知道当曲线为概率密度图像，分布函数F(x)?P{X?x}??x??f(x)dx为斜线阴影区域的面积.
题目告诉概率密度为f(x)，且f(?x)?f(x)，说明概率密度为偶函数，图像关于y轴对称，如下图
1y轴两侧概率密度曲线与x轴所夹区域面积相等各为，两斜阴影区域面积相等；
2又
?a0f(x)dx为图中横线阴影区域的面积，F(?a)为图中左边阴影区域的面积，故
1a??f(x)dx， 20 F(?a)?所以（C）是正确的.
29.该图中曲线为随机变量X的概率密度f(x)的图象，则下面错误的是（D ）. F(x)为X的分布函数，
期末复习大纲与复习题 22
A. 概率P?a?X?b?等于图中以?a,b?为底的曲边梯形面积. B. 概率P?0?X?b???b0f(x)等于图中以?0,b?为底的曲边梯形面积.
C. 分布函数F(x)的数值等于图中斜线阴影部分面积.
D. 分布函数F(x)的数值等于图中以f(x)曲线为顶，以(x,??)为底的曲边梯形面积. ●常用连续型随机变量分布
?1?30.随机变量X服从区间[2,6]上的均匀分布，则其概率密度f(x)??4??031.. 随机变量X服从区间[2,6]上的均匀分布，则概率P?3?X?5??32.公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车通过，乘客随机到车站等车，则 （1）乘客候车时间不超过5分钟的概率为（2）乘客候车时间超过5分钟的概率为
2?x?6其他.正确
5?321??.正确 6?2421. 正确 21. 正确 23（3）乘客候车时间不超过3分钟的概率为. 正确
103（4）乘客候车时间超过3分钟的概率为. 错误
10解析 因为公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车通过，所以只在0到10分钟内考虑既可.由题设乘客随机到车站等车，相当于乘客到车站的时刻X服从(0,10)内的均匀分布.
均匀分布的概率计算公式为：设随机变量X服从(a,b)区间的均匀分布，则
P{c?X?d}?其中(c,d)?(a,b)，如图
d?c b?a.
当乘客在(5,10)内任意时刻到达时，乘客候车时间不超过5分钟，故
P(乘客候车时间不超过5分钟）?P{5?X?10}?所以（1）乘客候车时间不超过5分钟的概率为
10?51?，
10?02
1是正确的. 2当乘客在(0,5)内任意时刻到达时，乘客候车时间超过5分钟，故
期末复习大纲与复习题 23
P(乘客候车时间超过5分钟）?P{0?X?5}?所以（2）乘客候车时间超过5分钟的概率为
5?01?，
10?02
1是正确的. 2当乘客在(7,10)内任意时刻到达时，乘客候车时间才不超过3分钟，故
P(乘客候车时间不超过3分钟）?P{7?X?10}?所以（3）乘客候车时间不超过3分钟的概率为
10?73?，
10?010
3是正确的.10当乘客在(0,7)内任意时刻到达时，乘客候车时间才超过3分钟，故
P(乘客候车时间超过3分钟）?P{0?X?7}?所以（4）乘客候车时间超过3分钟的概率为
33. 随机变量X~N(0,1) 则 (1) P?X?0??7?07?，
10?010
3是错误的. 1011 正确 （2） P?X?0?? 正确 22 （3）P?X?0??P?X?0? 正确 （4）P?X?0??P?X?0? 错误
解析 N(0,1)为标准正态分布，其概率密度为偶函数，概率密度图像如图
故?X?0?的概率与?X?0?的概率相等，均为是错误的.
34. 随机变量X~N(3,2) ，?(x)为标准正态分布的分布函数， 则 （1）
21，所以（1）（2）（3）均是正确的，（4）P?X?0??P?X?0?2X?3X?3~N(0,1)；错误 （2）~N(0,1)；正确 42 期末复习大纲与复习题 24