概率论与数理统计(含答案)

解析 随机变量X的概率密度f(x)与概率P{a?X?b}之间有如下关系

P{a?X?b}?P{a?X?b}??baf(x)dx,

关键在f(x)的内容要与区间对应.由题设f(x)仅在[0,1]上为2x,其他处f(x)均为0.故

(1)P{0?X?1}??10f(x)dx??2xdx是正确的.

01(2) P{0.5?X?1}?(3)P{0?X?2}?2?10.5f(x)dx??2xdx是正确的.

0.5121101001?20f(x)dx??2xdx??0dx??2xdx?0??2xdx,故

P{0?X?2}??2xdx是错误的.

0(4)P{X?0.5}?错误的.

???0.5f(x)dx??2xdx??0dx??2xdx,故P{X?0.5?}?0.510.51??1??0.5x2d是x

(5)连续型随机变量的分布函数与概率密度之间有如下关系:在概率密度的可导点x,f(x)?F?(x).

?(x故在(??,0内),f(x)?F?)??0?(x;内0在(1??,),f(x)?F?)??1;0在(0,1内),

?(xf(x)?F?)2??). (x2x又因为概率密度在个别点的值不影响概率的计算,所以只要满足概率密度的非负性,在x?0与x?1处,概率密度可以任意定义.

?0?1?26.设随机变量X的分布函数F(x)??x2?4??1x?00?x?2,则概率 x?211P{0.5?X?1.5}??1.52??0.52?0.5. 正确

44?0?1?27.设随机变量X的分布函数F(x)??x2?4??1x?00?x?2,则X的概率密度为(A ). x?2 期末复习大纲与复习题 21

?x?120?x?2??xA.f(x)??2B.f(x)??4??其它?0?00?x?2?xx?C.f(x)?,x?R D.f(x)??22?其它?10?x?2x?2

28.若随机变量X的概率密度为f(x),且f(?x)?f(x),F(x)是X的分布函数,则对任意实数a有( C )

A.F(?a)?F(a) B.F(?a)?1??a0f(x)dx

1aC.F(?a)???f(x)dx D.F(?a)?2F(a)?1

20解析 该题目是在考核对概率密度与分布函数几何意义的理解,如下图所示

应该知道当曲线为概率密度图像,分布函数F(x)?P{X?x}??x??f(x)dx为斜线阴影区域的面积.

题目告诉概率密度为f(x),且f(?x)?f(x),说明概率密度为偶函数,图像关于y轴对称,如下图

1y轴两侧概率密度曲线与x轴所夹区域面积相等各为,两斜阴影区域面积相等;

2又

?a0f(x)dx为图中横线阴影区域的面积,F(?a)为图中左边阴影区域的面积,故

1a??f(x)dx, 20 F(?a)?所以(C)是正确的.

29.该图中曲线为随机变量X的概率密度f(x)的图象,则下面错误的是(D ). F(x)为X的分布函数,

期末复习大纲与复习题 22

A. 概率P?a?X?b?等于图中以?a,b?为底的曲边梯形面积. B. 概率P?0?X?b???b0f(x)等于图中以?0,b?为底的曲边梯形面积.

C. 分布函数F(x)的数值等于图中斜线阴影部分面积.

D. 分布函数F(x)的数值等于图中以f(x)曲线为顶,以(x,??)为底的曲边梯形面积. ●常用连续型随机变量分布

?1?30.随机变量X服从区间[2,6]上的均匀分布,则其概率密度f(x)??4??031.. 随机变量X服从区间[2,6]上的均匀分布,则概率P?3?X?5??32.公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车通过,乘客随机到车站等车,则 (1)乘客候车时间不超过5分钟的概率为(2)乘客候车时间超过5分钟的概率为

2?x?6其他.正确

5?321??.正确 6?2421. 正确 21. 正确 23(3)乘客候车时间不超过3分钟的概率为. 正确

103(4)乘客候车时间超过3分钟的概率为. 错误

10解析 因为公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车通过,所以只在0到10分钟内考虑既可.由题设乘客随机到车站等车,相当于乘客到车站的时刻X服从(0,10)内的均匀分布.

均匀分布的概率计算公式为:设随机变量X服从(a,b)区间的均匀分布,则

P{c?X?d}?其中(c,d)?(a,b),如图

d?c b?a.

当乘客在(5,10)内任意时刻到达时,乘客候车时间不超过5分钟,故

P(乘客候车时间不超过5分钟)?P{5?X?10}?所以(1)乘客候车时间不超过5分钟的概率为

10?51?,

10?02

1是正确的. 2当乘客在(0,5)内任意时刻到达时,乘客候车时间超过5分钟,故

期末复习大纲与复习题 23

P(乘客候车时间超过5分钟)?P{0?X?5}?所以(2)乘客候车时间超过5分钟的概率为

5?01?,

10?02

1是正确的. 2当乘客在(7,10)内任意时刻到达时,乘客候车时间才不超过3分钟,故

P(乘客候车时间不超过3分钟)?P{7?X?10}?所以(3)乘客候车时间不超过3分钟的概率为

10?73?,

10?010

3是正确的.10当乘客在(0,7)内任意时刻到达时,乘客候车时间才超过3分钟,故

P(乘客候车时间超过3分钟)?P{0?X?7}?所以(4)乘客候车时间超过3分钟的概率为

33. 随机变量X~N(0,1) 则 (1) P?X?0??7?07?,

10?010

3是错误的. 1011 正确 (2) P?X?0?? 正确 22 (3)P?X?0??P?X?0? 正确 (4)P?X?0??P?X?0? 错误

解析 N(0,1)为标准正态分布,其概率密度为偶函数,概率密度图像如图

故?X?0?的概率与?X?0?的概率相等,均为是错误的.

34. 随机变量X~N(3,2) ,?(x)为标准正态分布的分布函数, 则 (1)

21,所以(1)(2)(3)均是正确的,(4)P?X?0??P?X?0?2X?3X?3~N(0,1);错误 (2)~N(0,1);正确 42 期末复习大纲与复习题 24

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