智合教育……暑期蓝天行动
10 ? 2. 把分数
11 18 ? ? 12 17 ? ? 13 16 ? ? 14 15 ? ? 4化成小数后，小数点第110位上的数字是_____. 7?99251?4567?与0.3?.这两个循环小数在小数点后第_____位,73. 循环小数0.1首次同时出现在该位中的数字都是7.
4. 一串数: 1,9,9,1,4,1, 4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4, ??共有1991个数.
(1)其中共有_____个1,_____个9_____个4； (2)这些数字的总和是_____.
10. 7?7?7????7所得积末位数是_____.
50个
答案：
1. 3
仔细观察题中数表.
1 2 3 4 5 (奇数排) 第一组 9 8 7 6 (偶数排)
10 11 12 13 14 (奇数排) 第二组
18 17 16 15 (偶数排) 19 20 21 22 23 (奇数排) 第三组 27 26 25 24 (偶数排)
可发现规律如下:
(1)连续自然数按每组9个数,且奇数排自左往右五个数,偶数排自右往左四个数的规律循环排列；
(2)观察第二组,第三组,发现奇数排的数如果用9除有如下规律:第1列用9除余数为1,第2列用9除余数为2,?，第5列用9除余数为5.
(3)10?9=1?1，10在1+1组，第1列 19?9=2?1，19在2+1组，第1列
因为1992?9=221?3，所以1992应排列在（221+1）=222组中奇数排第3列数的位置上.
2. 7 4=0.57142857?? 7
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它的循环周期是6，具体地六个数依次是 5，7，1，4，2，8 110?6=18?2
因为余2，第110个数字是上面列出的六个数中的第2个，就是7. 3. 35
. . . .
因为0.1992517的循环周期是7,0.34567的循环周期为5,又5和7的最小公倍数是35,所以两个循环小数在小数点后第35位,首次同时出现在该位上的数字都是7.
4. 853,570,568,8255.
不难看出,这串数每7个数即1,9,9,1,4,1,4为一个循环,即周期为7,且每个周期中有3个1,2个9,2个4.因为1991?7=284?3，所以这串数中有284个周期，加上第285个周期中的前三个数1，9，9.其中1的个数是:3?284+1=853(个),9的个数是2?284+2=570(个),4的个数是2?284=568(个).这些数字的总和为
1?853+9?570+4?568=8255.
三、拓展提升
1. 紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数.例如8?9=72,在9后面写2,9?2=18,在2后面写8,??得到一串数字:
1 9 8 9 2 8 6??
这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？
2. 1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？
3. 设n=2?2?2????2，那么n的末两位数字是多少？
1991个
4．在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？
答案：11. 依照题述规则多写几个数字: 1989286884286884??
可见1989后面的数总是不断循环重复出现286884，每6个一组，即循环周期为6.因为(1989-4)?6=330?5，所以所求数字是8.
12. 1991个1990相乘所得的积末两位是0,我们只需考察1990个1991相乘的积末两位数即可.1个1991末两位数是91,2个1991相乘的积末两位数是81,3个1991相乘的积末两位数是71,4个至10个1991相乘的积的末两位数分别是61,51,41,31,21,11,01,11个1991相乘积的末两位数字是91，??，由此可见，每10个1991相乘的末两位数字重复出现，即周期为10.因为1990?10=199,所以1990个1991相乘积的末两位数是01,即所求结果是01.
13. n是1991个2的连乘积,可记为n=21991,首先从2的较低次幂入手寻找规律,列表如下:
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n 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 n的十n的个位数字 位数字 0 2 0 4 0 8 1 6 3 2 6 4 2 8 5 6 1 2 2 4 4 8 n 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 n的十n的个位数字 位数字 9 6 9 2 8 4 6 8 3 6 7 2 4 4 8 8 7 6 5 2 0 4 观察上表,容易发现自22开始每隔20个2的连乘积,末两位数字就重复出现,周期为20.因为1990?20=99?10，所以21991与211的末两位数字相同，由上表知211的十位数字是4，个位数字是8.所以,n的末两位数字是48.
14. 因为100能被5整除,所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我们可以看作是从同一端点染色.
6与5的最小公倍数是30,即在30厘米的地方,同时染上红色,这样染色就会出现循环,每一周的长度是30厘米,如下图所示.
6 12 18 24 30 96 100 . . . . . . .
5 10 15 20 25 90 95
由图示可知长1厘米的短木棍,每一周期中有两段,如第1周期
中,6-5=1,5?5-6?4=1.剩余10厘米中有一段.所以锯开后长1厘米的短木棍共有7段.综合算式为:
2?[(100-10)?30]+1 =2?3+1 =7(段)
[注]解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔5厘米的染色,转化为自左向右的染色,便于利用最小公倍数发现周期现象,化难为易.
（十三） 棋盘中的数学
所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2））， 还 有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问 题．这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题．解
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决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学．
今天，我们就简单介绍关于棋盘中的覆盖问题。
用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。
棋盘的覆盖问题可以分为两类：一是能不能覆盖的问题，二是有多少种不同的覆盖方法问题。
一、例题与方法指导
例1. 要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个下图所示的图形？
思路导航： 因为图形由3个小方格构成，所以要拼成的正方形内所含的小方格数应是3的倍数，从而正方形的边长应是3的倍数。经试验，不可能拼成边长为3的正方形。所以拼成的正方形的边长最少是6（见下图），需要用题目所示的图形 36÷3= 12（个）。
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