概率论与数理统计及其应用习题解答
也是红球”记为事件B。则事件A的概率为
P(A)?2?24?23?24?13?56（先红后白，先白后红，先红后红）
所求概率为
2P(B|A)?P(AB)P(A)?4?5613?15
10，一医生根据以往的资料得到下面的讯息，他的病人中有5%的人以为自己患癌症，且确实患癌症；有45%的人以为自己患癌症，但实际上未患癌症；有10%的人以为自己未患癌症，但确实患了癌症；最后40%的人以为自己未患癌症，且确实未患癌症。以A表示事件“一病人以为自己患癌症”，以B表示事件“病人确实患了癌症”，求下列概率。
（1）P(A),P(B)；（2）P(B|A)；（3）P(B|A)；（4）P(A|B)；（5）P(A|B)。 解：（1）根据题意可得
P(A)?P(AB)?P(AB)?5%?45%?50%P(B)?P(BA)?P(BA)?5%?10%?15%；
；
5P%?0.1；
（2）根据条件概率公式：P(B|A)?（3）P(B|A)?（4）P(A|B)?（5）P(A|B)?P(BA)P(A)P(AB)P(B)P(AB)P(A)??10%1?50E%1?15%?0.2；
??917；
P(AB)P(B)?5%?13。
5
概率论与数理统计及其应用习题解答
11，在11张卡片上分别写上engineering这11个字母，从中任意连抽6张，求依次排列结果为ginger的概率。
解：根据题意，这11个字母中共有2个g，2个i，3个n，3个e，1个r。从中任意连抽6张，由独立性，第一次必须从这11张中抽出2个g中的任意一张来，概率为2/11；第二次必须从剩余的10张中抽出2个i中的任意一张来，概率为2/10；类似地，可以得到6次抽取的概率。最后要求的概率为
211?210?39?18?37?16?36332640?19240；或者
C2C2C3C1C3C1A611111111?19240。
12，据统计，对于某一种疾病的两种症状：症状A、症状B，有20%的人只有症状A，有30%的人只有症状B，有10%的人两种症状都有，其他的人两种症状都没有。在患这种病的人群中随机地选一人，求 （1）该人两种症状都没有的概率； （2）该人至少有一种症状的概率；
（3）已知该人有症状B，求该人有两种症状的概率。
解：（1）根据题意，有40%的人两种症状都没有，所以该人两种症状都没有的概率为1?20%?30%?10%?40%；
；
（2）至少有一种症状的概率为1?40%?60%（3）已知该人有症状B，表明该人属于由只有症状B的30%人群或者两种症状都有的10%的人群，总的概率为30%+10%=40%，所以在已知该人有症状B的条件下该人有两种症状的概率为
6
100%?10%?14。
概率论与数理统计及其应用习题解答
13，一在线计算机系统，有4条输入通讯线，其性质如下表，求一随机选择的进入讯号无误差地被接受的概率。
通讯线 1 2 3 4
通讯量的份额
0.4 0.3 0.1 0.2
无误差的讯息的份额
0.9998 0.9999 0.9997 0.9996
解：设“讯号通过通讯线i进入计算机系统”记为事件Ai(i?1,2,3,4)，“进入讯号被无误差地接受”记为事件B。则根据全概率公式有
4P(B)??P(A)P(B|A)?0.4?0.9998iii?1?0.3?0.9999?0.1?0.9997?0.2?0.9996
=0.99978
14，一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患关节炎的病人有85%的给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎。已知人群中有10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为他没有关节炎，而他却有关节炎的概率。 解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件A，“一名被检验者确实患有关节炎”记为事件B。根据全概率公式有
P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)?10%?85%?90%?4%?12.1%，
所以，根据条件概率得到所要求的概率为
P(B|A)?P(BA)P(A)?P(B)P(A|B)1?P(A)?10%(1?85%)1?12.1%?17.06%
即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为17.06%.
7
概率论与数理统计及其应用习题解答
15，计算机中心有三台打字机A,B,C，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C上打字的概率分别为多少？
解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M，“程序在A,B,C三台打字机上打字”分别记为事件N1,N2,N3。则根据全概率公式有
3P(M)??P(Ni?1i)P(M|Ni)?0.6?0.01?0.3?0.05?0.1?0.04?0.025，
根据Bayes公式，该程序是在A,B,C上打字的概率分别为
P(N1|M)?P(N1)P(M|N1)P(M)P(N2)P(M|N2)P(M)P(N3)P(M|N3)P(M)?0.6?0.010.0250.3?0.050.0250.1?0.040.025?0.24， ， 。
P(N2|M)???0.60P(N3|M)???0.16
16，在通讯网络中装有密码钥匙，设全部收到的讯息中有95%是可信的。又设全部不可信的讯息中只有0.1%是使用密码钥匙传送的，而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。求由密码钥匙传送的一讯息是可信讯息的概率。
解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件A，“一讯息是可信的”记为事件B。根据Bayes公式，所要求的概率为
P(B|A)?P(AB)P(A)?P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)?95%?195%?1?5%?0.1%?99.9947%
8