概率论与数理统计及其应用习题解答
第1章 随机变量及其概率
1，写出下列试验的样本空间：
（1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录
投掷的次数。
（2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，
记录投掷的次数。
（3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 （4） 抛一枚硬币，若出现H则再抛一次；若出现T，则再抛一颗骰
子，观察出现的各种结果。 解：（1）S（4）S
2，设A,B是两个事件，已知P(A)?0.25,P(B)?0.5,P(AB)?0.125,，求
P(A?B),P(AB),P(AB),P[(A?B)(AB)]。
______（2）S?{2,3,4,?}；（3）S?{H,TH,TTH,TTTH,?}；?{2,3,4,5,6,7}；
?{HH,HT,T1,T2,T3,T4,T5,T6}。
解：P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.625，
P(AB)?P[(S?A)B]?P(B)?P(AB)?0.375___，
P(AB)?1?P(AB)?0.875，
___P[(A?B)(AB)]?P[(A?B)(S?AB)]?P(A?B)?P[(A?B)(AB)]?0.625?P(AB)?0.5
3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。
1
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解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为8?9?9?648，所以所求得概率为
648900?0.72
4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字至多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。
解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有5?5?4?100个。（1）该数是奇数的可能个数为
4?4?3?48个，所以出现奇数的概率为
48100?0.48
48（2）该数大于330的可能个数为2?4?5?4?5?4?330的概率为
48100?0.48，所以该数大于
5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。
（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。 （2）4只中至少有2只红球。 （3）4只中没有白球。 解: （1）所求概率为
C5C4C3C124211?833；
2
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（2） 所求概率为（3）所求概率为
C4C8?C4C8?C4C441222314?201495?67165；
C7C124?35495?7165。
6，一公司向M个销售点分发n(n?M)张提货单，设每张提货单分发给每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到k(k?n)张提货单的概率。
解：根据题意，n(n?M)张提货单分发给M个销售点的总的可能分法有Mn种，某一特定的销售点得到k(kCn(M?1)kn?k?n)张提货单的可能分法有
?n)种，所以某一特定的销售点得到k(kCn(M?1)Mnkn?k张提货单的概率为
。
7，将3只球（1~3号）随机地放入3只盒子（1~3号）中，一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。 （1）求3只球至少有1只配对的概率。 （2）求没有配对的概率。
解：根据题意，将3只球随机地放入3只盒子的总的放法有3！=6种：123，132，213，231，312，321；没有1只配对的放法有2种：312，231。至少有1只配对的放法当然就有6-2=4种。所以 （2）没有配对的概率为
26?13；
13?23（1）至少有1只配对的概率为1?
。
3
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8，（1）设P(A)?0.5,P(B)?0.3,P(AB)?0.1,，求P(A|B),P(B|A),P(A|A?B),
P(AB|A?B),P(A|AB).
（2）袋中有6只白球，5只红球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取到红球不放回也不放入另外的球。连续取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。 解：（1）由题意可得P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.7，所以
P(A|B)?P(AB)P(B)?0.10.3?13，
?P(B|A)?P(AB)P(A)?0.10.5?15，
P(A|A?B)?P[A(A?B)]P(A?B)P(A)P(A?B)?57，
17P(AB|A?B)?P[AB(A?B)]P(A?B)P(AB)P(AB)?P(AB)P(A?B)?，
P(A|AB)?P[A(AB)]P(AB)??1。
（2）设Ai(i?1,2,3,4)表示“第i次取到白球”这一事件，而取到红球可以用它的补来表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到红球可以表示为A1A2A3A4，它的概率为（根据乘法公式）
P(A1A2A3A4)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)
?611?712?513?412?84020592?0.0408。
9，一只盒子装有2只白球，2只红球，在盒中取球两次，每次任取一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另一只也是红球的概率。
解：设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件A，“另一只
4
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也是红球”记为事件B。则事件A的概率为
P(A)?2?24?23?24?13?56（先红后白，先白后红，先红后红）
所求概率为
2P(B|A)?P(AB)P(A)?4?5613?15
10，一医生根据以往的资料得到下面的讯息，他的病人中有5%的人以为自己患癌症，且确实患癌症；有45%的人以为自己患癌症，但实际上未患癌症；有10%的人以为自己未患癌症，但确实患了癌症；最后40%的人以为自己未患癌症，且确实未患癌症。以A表示事件“一病人以为自己患癌症”，以B表示事件“病人确实患了癌症”，求下列概率。
（1）P(A),P(B)；（2）P(B|A)；（3）P(B|A)；（4）P(A|B)；（5）P(A|B)。 解：（1）根据题意可得
P(A)?P(AB)?P(AB)?5%?45%?50%P(B)?P(BA)?P(BA)?5%?10%?15%；
；
5P%?0.1；
（2）根据条件概率公式：P(B|A)?（3）P(B|A)?（4）P(A|B)?（5）P(A|B)?P(BA)P(A)P(AB)P(B)P(AB)P(A)??10%1?50E%1?15%?0.2；
??917；
P(AB)P(B)?5%?13。
5
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11，在11张卡片上分别写上engineering这11个字母，从中任意连抽6张，求依次排列结果为ginger的概率。
解：根据题意，这11个字母中共有2个g，2个i，3个n，3个e，1个r。从中任意连抽6张，由独立性，第一次必须从这11张中抽出2个g中的任意一张来，概率为2/11；第二次必须从剩余的10张中抽出2个i中的任意一张来，概率为2/10；类似地，可以得到6次抽取的概率。最后要求的概率为
211?210?39?18?37?16?36332640?19240；或者
C2C2C3C1C3C1A611111111?19240。
12，据统计，对于某一种疾病的两种症状：症状A、症状B，有20%的人只有症状A，有30%的人只有症状B，有10%的人两种症状都有，其他的人两种症状都没有。在患这种病的人群中随机地选一人，求 （1）该人两种症状都没有的概率； （2）该人至少有一种症状的概率；
（3）已知该人有症状B，求该人有两种症状的概率。
解：（1）根据题意，有40%的人两种症状都没有，所以该人两种症状都没有的概率为1?20%?30%?10%?40%；
；
（2）至少有一种症状的概率为1?40%?60%（3）已知该人有症状B，表明该人属于由只有症状B的30%人群或者两种症状都有的10%的人群，总的概率为30%+10%=40%，所以在已知该人有症状B的条件下该人有两种症状的概率为
6
100%?10%?14。
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13，一在线计算机系统，有4条输入通讯线，其性质如下表，求一随机选择的进入讯号无误差地被接受的概率。
通讯线 1 2 3 4
通讯量的份额
0.4 0.3 0.1 0.2
无误差的讯息的份额
0.9998 0.9999 0.9997 0.9996
解：设“讯号通过通讯线i进入计算机系统”记为事件Ai(i?1,2,3,4)，“进入讯号被无误差地接受”记为事件B。则根据全概率公式有
4P(B)??P(A)P(B|A)?0.4?0.9998iii?1?0.3?0.9999?0.1?0.9997?0.2?0.9996
=0.99978
14，一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患关节炎的病人有85%的给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎。已知人群中有10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为他没有关节炎，而他却有关节炎的概率。 解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件A，“一名被检验者确实患有关节炎”记为事件B。根据全概率公式有
P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)?10%?85%?90%?4%?12.1%，
所以，根据条件概率得到所要求的概率为
P(B|A)?P(BA)P(A)?P(B)P(A|B)1?P(A)?10%(1?85%)1?12.1%?17.06%
即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为17.06%.
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15，计算机中心有三台打字机A,B,C，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C上打字的概率分别为多少？
解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M，“程序在A,B,C三台打字机上打字”分别记为事件N1,N2,N3。则根据全概率公式有
3P(M)??P(Ni?1i)P(M|Ni)?0.6?0.01?0.3?0.05?0.1?0.04?0.025，
根据Bayes公式，该程序是在A,B,C上打字的概率分别为
P(N1|M)?P(N1)P(M|N1)P(M)P(N2)P(M|N2)P(M)P(N3)P(M|N3)P(M)?0.6?0.010.0250.3?0.050.0250.1?0.040.025?0.24， ， 。
P(N2|M)???0.60P(N3|M)???0.16
16，在通讯网络中装有密码钥匙，设全部收到的讯息中有95%是可信的。又设全部不可信的讯息中只有0.1%是使用密码钥匙传送的，而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。求由密码钥匙传送的一讯息是可信讯息的概率。
解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件A，“一讯息是可信的”记为事件B。根据Bayes公式，所要求的概率为
P(B|A)?P(AB)P(A)?P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)?95%?195%?1?5%?0.1%?99.9947%
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17，将一枚硬币抛两次，以A,B,C分别记事件“第一次得H”，“第二次得H”，“两次得同一面”。试验证A和B，B和C，C和A分别相互独立（两两独立），但A,B,C不是相互独立。 解：根据题意，求出以下概率为
P(A)?P(B)?P(AB)?12?1212?，
14P(C)?12?12?12?1212??1212?；
14，
P(BC)?P(CA)?，P(ABC)?12?12?14。
所以有
P(AB)?P(A)P(B)，P(AC)?P(A)P(C)，P(BC)?P(B)P(C)。
即表明A和B，B和C，C和A两两独立。但是
P(ABC)?P(A)P(B)P(C)
所以A,B,C不是相互独立。
18，设A,B,C三个运动员自离球门25码处踢进球的概率依次为0.5, 0.7, 0.6，设A,B,C各在离球门25码处踢一球，设各人进球与否相互独立，求（1）恰有一人进球的概率；（2）恰有二人进球的概率；（3）至少有一人进球的概率。
解：设“A,B,C进球”分别记为事件Ni(i?1,2,3)。 （1）设恰有一人进球的概率为p1，则
p1?P{N1N2N3}?P{N1N2N3}?P{N1N2N3}
?P(N1)P(N2)P(N3)?P(N1)P(N2)P(N3)?P(N1)P(N2)P(N3) （由独立性）
?0.5?0.3?0.4?0.5?0.7?0.4?0.5?0.3?0.6 ?0.29
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（2）设恰有二人进球的概率为p2，则
p2?P{N1N2N3}?P{N1N2N3}?P{N1N2N3}
?P(N1)P(N2)P(N3)?P(N1)P(N2)P(N3)?P(N1)P(N2)P(N3)
（由独立性）
?0.5?0.7?0.4?0.5?0.7?0.6?0.5?0.3?0.6 ?0.44
（3）设至少有一人进球的概率为p3，则
p3?1?P{N1N2N3}?1?P(N1)P(N2)P(N3)?1?0.5?0.3?0.4?0.94。
19，有一危重病人，仅当在10分钟之内能有一供血者供给足量的A-RH+血才能得救。设化验一位供血者的血型需要2分钟，将所需的血全部输入病人体内需要2分钟，医院只有一套验血型的设备，且供血者仅有40%的人具有该型血，各人具有什么血型相互独立。求病人能得救的概率。
解：根据题意，医院最多可以验血型4次，也就是说最迟可以第4个人才验出是A-RH+型血。问题转化为最迟第4个人才验出是A-RH+型血的概率是多少？因为
第一次就检验出该型血的概率为0.4；
第二次才检验出该型血的概率为0.6?0.4=0.24； 第三次才检验出该型血的概率为0.62?0.4=0.144； 第四次才检验出该型血的概率为0.63?0.4=0.0864； 所以病人得救的概率为0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704
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20，一元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性。如图设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5按先串联再并联的方式连接，设元件的可靠性均为p，试求系统的可靠性。 解：设“元件i能够正常工作”记为事件Ai(i?1,2,3,4,5)。 那么系统的可靠性为
P{(A1A2)?(A3)?(A4A5)}?P(A1A2)?P(A3)?P(A4A5)
1 3 4 第20题 2 5 ?P(A1A2A3)?P(A1A2A4A5)?P(A3A4A5)?P(A1A2A3A4A5)
?P(A1)P(A2)?P(A3)?P(A4)P(A5)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A4)P(A5)
?P(A3)P(A4)P(A5)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)
?p?p?p?p?p?p?p?p?2p?2p?p?p2345223435
21，用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为0.9，据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4，0.6。今独立地对一产品进行了3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。（注：本题较难，灵活应用全概率公式和Bayes公式）
解：设“一产品真含有杂质”记为事件A，“对一产品进行3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而1次检验认为不含有杂质”记为事件B。则要求的概率为P(A|B)，根据Bayes公式可得
P(A|B)?P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)
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又设“产品被检出含有杂质”记为事件C，根据题意有P(A)?0.4，而且P(C|A)?0.8，P(C22|A)?0.9，所以 ；P(B|A)?C23P(B|A)?C3?0.8?(1?0.8)?0.384?(1?0.9)?0.9?0.0272
故，
P(A|B)?P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?0.4?0.3840.4?0.384?0.6?0.027?0.15360.1698?0.9046
（第1章习题解答完毕）
第2章
1，设在某一人群中有40%的人血型是A型，现在在人群中随机地选人来验血，直至发现血型是A型的人为止，以Y记进行验血的次数，求Y的分布律。
解：显然，Y是一个离散型的随机变量，Y取k表明第k个人是A型血而前k?1个人都不是A型血，因此有
随机变量及其分布
P{Y?k}?0.4?(1?0.4)k?1?0.4?0.6k?1， （k?1,2,3,?）
上式就是随机变量Y的分布律（这是一个几何分布）。
2，水自A处流至B处有3个阀门1，2，3，阀门联接方式如图所示。当信号发出时各阀门以0.8的概率打开，以X表示当信号发出时水自A流至B的通路条数，求X的分布律。设各阀门的工作相互独立。 解：X只能取值0，1，2。设以Ai(i?1,2,3)记第i个阀门没有打开这一事件。则
P{X?0}?P{A1(A2?A3)}?P{(A1A2)?(A1A3)}
?P{A1A2}?P{A1A3}?P{A1A2A3}?P(A1)P(A2)?P(A1)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)
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概率论与数理统计及其应用习题解答
223?(1?0.8)?(1?0.8)?(1?0.8)?0.072，
类似有P{X?2}?P{A1(A2A3)}?P(A1A2A3)?0.83?0.512，
P{X?1}?1?P{X?0}?P{X?2}?0.416,综上所述，可得分布律为
X 0 0.072 1 0.512 2 0.416 1 P{X?k}
A 2 3 B 3,据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查15个美国人，以X表示15个人中无任何健康保险的人数（设各人是否有健康保险相互独立）。问X服从什么分布？写出分布律。
并求下列情况下无任何健康保险的概率：（1）恰有3人；（2）至少有2人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。
解：根据题意，随机变量X服从二项分布B(15, 0.2)，分布律为
P(X?k)?C15?0.2?0.8（1）（2）
kk15?k,
k?0,1,2,?15。
P(X?3)?C15?0.2?0.83312?0.2501,P(X?2)?1?P(X?1)?P(X?0)?0.8329；
（3）（4）
P(1?X?3)?P(X?1)?P(X?2)?P(X?3)?0.6129；
P(X?5)?1?P(X?5)?P(X?4)?P(X?3)?P(X?2)
?P(X?1)?P(X?0)?0.0611
4，设有一由n个元件组成的系统，记为k/n[G]，这一系统的运行方式是当且仅当n个元件中至少有
k(0?k?n)个元件正常工作时，系统正常工作。现有一3/5[G]系统，它由相互独立的元件组成，设
每个元件的可靠性均为0.9，求这一系统的可靠性。
解：对于3/5[G]系统，当至少有3个元件正常工作时，系统正常工作。而系统中正常工作的元件个数X服从二项分布B(5, 0.9)，所以系统正常工作的概率为
55?k?3P(X?k)??C5?0.9?0.1k?3kk5?k?0.99144
5，某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡，以至产品成为次品，设次品率为0.001，现取8000件产品，用泊松近似，求其中次品数小于7的概率。（设各产品是否为次品相互独立） 解：根据题意，次品数X服从二项分布B(8000, 0.001)，所以
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6P(X?7)?P(X?6)??Ck?0k80000.001?0.999k8000?k
6?
?k?0(8000?0.001)ek!k?8000?0.0016??k?08ek?8k!。 ?0.3134（查表得）
6，（1）设一天内到达某港口城市的油船的只数X~?(10)，求P{X?15} （2）已知随机变量X~?(?)，且有P{X?0}?0.5，求P{X?2}。 解：（1）P{X?15}?1?P{X?15}?1?0.9513?0.0487； （2）根据P{X?0}?1?P{X?0}?1?e???0.5，得到??ln2。所以
??P{X?2}?1?P{X?0}?P{X?1}?1?0.5??e
?(1?ln2)/2?0.1534。
7，一电话公司有5名讯息员，各人在t分钟内收到讯息的次数X~?(2t)（设各人收到讯息与否相互独立）。（1）求在一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率。（2）求在给定的一分钟内5个讯息员恰有4人未收到讯息的概率。（3）写出在一给定的一分钟内，所有5个讯息员收到相同次数的讯息的概率。 解：在给定的一分钟内，任意一个讯息员收到讯息的次数X~?(2)。 （1）P{X?0}?e?2?0.1353；
（2）设在给定的一分钟内5个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用Y表示，则Y~ B(5, 0.1353)，所以
P{Y?4}?C50.1353（3）每个人收到的讯息次数相同的概率为
44?(1?0.1353)?0.00145。
?2ke?2???k!k?0???????
5?32ke?10????k!?5k?0???? ??8，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以X表示铃响
?kx2至结束讲解的时间。设X的概率密度为f(x)???0（3）求P{0?x?1其他， （1）确定k；（2）求P{X?13}；
14?X???12}；（4）求P{X?123}。
解：（1）根据1????f(x)dx??kxdx?02k3，得到k?3；
14
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1?1?2（2）P{X?}??3xdx????；
3327??07?1??1?（3）P{?X?}??3xdx???????；
4264?2??4?1/4211/33111/23319?2?2（4）P{X?}??3xdx?1????。
3327??2/3
213?0.003x29，设随机变量X的概率密度为f(x)??0?有实根的概率。 解：方程t20?x?10其他，求t的方程t2?2Xt?5X?4?0?2Xt?5X?4?0有实根表明??4X2?4(5X?4)?0，即X2?5X?4?0，
从而要求X?4或者X?1。因为
110P{X?1}??0.003xdx?0.001， P{X?4}?0220.003xdx?0.936 ?4所以方程有实根的概率为0.001+0.936=0.937.
10，设产品的寿命X（以周计）服从瑞利分布，其概率密度为
?x?x2/200?ef(x)??100?0?（1） （2） （3）
求寿命不到一周的概率； 求寿命超过一年的概率；
x?0其他
已知它的寿命超过20周，求寿命超过26周的条件概率。
1解：（1）P{X?1}??1000xe?x/2002dx?1?e?1/200?0.00498；
??（2）P{X?52}?52?100xe?x/2002dx?e?2704/200?0.000001；
??（3）P{X?26X?20}?P{X?26}P{X?20}?26?100?100xxe?x/2002dx?e?276/200???0.25158。
e?x/2002dx20
11，设实验室的温度X（以C计）为随机变量，其概率密度为
?
15
概率论与数理统计及其应用习题解答
?1?(4?x2)f(x)??9?0?（1） （2）
?1?x?2其他
某种化学反应在温度X >1时才能发生，求在实验室中这种化学反应发生的概率。
在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生时相互独立的，以Y表示10个实验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y的分布律。
（3） 求P{Y?2}，P{X?2}。
2解：（1）P{X?1}??1(4?x2)dx?51927；
（2）根据题意Y~B(10,527)，所以其分布律为
k10?kP(Y?k)?Ck???5??10,k?0,1,2,?10?27??22????27??
28（3）
P(Y?2)?C210???5?27????22???0.2998
???27，?P(Y?2)?1?P(Y?0)?P(Y?1)?0.5778。
12，（1）设随机变量Y的概率密度为
?0.2?1?y?0f(y)???0.2?Cy0?y?1 ??0其他试确定常数C，求分布函数F(y)，并求P{0?Y?0.5}，P{Y?0.5|Y?0.1}。 （2）设随机变量X的概率密度为
?1/80?x?2f(x)???x/82?x?4 ??0其他求分布函数F(x)，并求P{1?x?3}，P{X?1|X?3}。
??01解：（1）根据1??f(y)dy??0.2dy??(0.2?Cy)dy?0.4?C，得到C?1.2。
???102 16
概率论与数理统计及其应用习题解答
0?y???0.2dy?1?yy?0F(y)??f(y)dy??0.2dy??(0.2?1.2y)dy?????10?01?0.2dy?(0.2?1.2y)dy???0??1y??1?1?y?0
0?y?1y?10??0.2(y?1)???2?0.6y?0.2y?0.2?1?y??1?1?y?00?y?1y?1
P{0?Y?0.5}?P{Y?0.5}?P{Y?0}?F(0.5)?F(0)?0.45?0.2?0.25；
P{Y?0.5|Y?0.1}?P{Y?0.5}P{Y?0.1}01?1?P{Y?0.5}1?P{Y?0.1}x?0?1?F(0.5)1?F(0.1)?1?0.451?0.226?0.7106
????x?2（2）F(x)?f(x)dx???????0?2????0x?8dx01818xdx?dx??8242xxdx?8dx?00?x?2??x/8??2x/162?x?4??1?x?4x?00?x?22?x?4x?4
P{1?x?3}?F(3)?F(1)?9/16?1/8?7/16；
P{X?1|X?3}?
P{?1X?3}P{X?3}?F(3)?F(1)F(3)?7/9。
13，在集合A={1,2,3,….,n}中取数两次，每次任取一数，作不放回抽样，以X表示第一次取到的数，以Y表示第二次取到的数，求X和Y的联合分布律。并用表格形式写出当n=3时X和Y的联合分布律。 解：根据题意，取两次且不放回抽样的总可能数为n(n-1)，因此
P{X?i,Y?j}?161n(n?1)，（i?j，且1?i,j?n）
当n取3时， P{X?i,Y?j}?X 1 2 ,（i?j，且1?i,j?3）,表格形式为
2 1/6 0 3 1/6 1/6 Y 1 0 1/6 17
概率论与数理统计及其应用习题解答
3 1/6 1/6 0 14,设一加油站有两套用来加油的设备，设备A是加油站的工作人员操作的，设备B是有顾客自己操作的。A，B均有两个加油管。随机取一时刻，A，B正在使用的软管根数分别记为X，Y，它们的联合分布律为
X 0 1 2 （1） （2） （3）
Y 0.10 0.04 0.02 0 0.08 0.20 0.06 1 0.06 0.14 0.30 2 求P{X?1,Y?1}，P{X?1,Y?1}； 求至少有一根软管在使用的概率； 求P{X?Y}，P{X?Y?2}。
解：（1）由表直接可得P{X?1,Y?1}=0.2，
P{X?1,Y?1}=0.1+0.08+0.04+0.2=0.42
（2）至少有一根软管在使用的概率为
P{X?Y?1}?1?P{X?0,Y?0}?1?0.1?0.9
（3）P{X?Y}?P{X?Y?0}?P{X?Y?1}?P{X?Y?2}=0.1+0.2+0.3=0.6
P{X?Y?2}?P{X?0,Y?2}?P{X?1,Y?1}?P{X?2,Y?0}?0.28
15,设随机变量（X，Y）的联合概率密度为
?Ce?(2x?4y)，x?0,y?0f(x,y)??
其他0，?试确定常数C，并求P{X?2}，P{X?Y}，P{X?Y?1}。 解：根据
??f(x,y)dxdy?1，可得
???????(2x?4y)???2xx?0,y?01???f(x,y)dxdy??dx0?Ce0dy?C?e0dx?e0?4ydy?C8，
x?0,y?0所以C?8。
???????(2x?4y)???2xP{X?2}???x?2f(x,y)dxdy??dx2???8e0xdy??2e2??dx?4e0x?4ydy?e???4；
P{X?Y}???x?yf(x,y)dxdy??dx?8e00?(2x?4y)dy??2e0?2xdx?4e0?4ydy??2e0?2x(1?e?4x)dx?23 18
概率论与数理统计及其应用习题解答
11?x1?(2x?4y)1?x?2xP{X?Y?1}???f(x,y)dxdy??dx?8edy??2edx?4e?4ydy?(1?e?22)。
x?y?10000
16，设随机变量（X，Y）在由曲线y?x2,y?x2/2,x?1所围成的区域G均匀分布。 （1） 求（X，Y）的概率密度； （2）
求边缘概率密度fX(x),fY(y)。
解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度f(x,y)必定是一常数，故由
1x21???f(x,y)dxdy??dx(x,y)dy?1?6,(G0x2?f/26f(x,y)，得到f(x,y)?x,y)?G??0，其他。?x2??（2）f(x)??f(x,y)dy???2?6dy?3x2，0?x?1X；
?x/2???0,其他?2y???6dx，0?y?0.5y???1?6(2y?y)，0?y?0.5f(y)??f(x,y)dx??Y??6dx，0.5?y?1???6(1?y)，0.5?y?1???y???0，其他?0，其他??
18，设X,Y是两个随机变量，它们的联合概率密度为
?f(x,y)??x3e?x(1?y)，x?0,y?0??2?0，其他，
（1） 求(X,Y)关于X的边缘概率密度fX(x)；
（2）
求条件概率密度fY|X(y|x)，写出当x?0.5时的条件概率密度； （3）
求条件概率P{Y?1|X?0.5}。
?????x32?x(1?解：（1）f)dy??X(x)??f(x,y??ey)dy?xe?x,x?0022。
????0,其他（2）当x?0时，
19
概率论与数理统计及其应用习题解答
fY|X?xe?xy,y?0。 (y|x)???fX(x)0,其他?f(x,y)特别地，当x?0.5时
fY|X?0.5e?0.5y,y?0。 (y|x?0.5)??其他?0,????（3）P{Y?1|X?0.5}?
?1fY|X(y|x?0.5)dy??0.5e1?0.5ydy?e?0.5。
19，（1）在第14题中求在X?0的条件下Y的条件分布律；在Y?1的条件下X的条件分布律。 （2）在16题中求条件概率密度fY|X(y|x)，fX|Y(x|y)，fX|Y(x|0.5)。
解：（1）根据公式P{Y?i|X?0}?为
P{Y?i,X?0}P{X?0}，得到在X?0的条件下Y的条件分布律
Y 0 5/12 1 1/3 2 1/4 P{Y|X?0} 类似地，在Y?1的条件下X的条件分布律为
X 0 4/17 1 10/17 2 3/17 P{X|Y?1} ?6,?0，(x,y)?G其他（2）因为f(x,y)??。
2?6(2y?y)，0?y?0.5?x2??6dy?3x，0?x?1fX(x)??2?；fY(y)??6(1?y)，0.5?y?1。
x/2??0，其他其他?0,?所以，当0?x?1时，fY|X(y|x)?f(x,y)?2?,??x2fX(x)??0,x/2?y?x其他22；
当0?y?0.5时，fX|Y?f(x,y)?(x|y)???fY(y)??f(x,y)12y?0,y,y?x?其他2y；
当0.5?y?1时，fX|Y(x|y)??1,???1?yfY(y)?0,?y?x?1其他；
20
概率论与数理统计及其应用习题解答
1?,?0.5?x?1当y?0.5时，fX|Y(x|y)??1?0.5。
??0,其他
20，设随机变量（X，Y）在由曲线y?x2,y?x所围成的区域G均匀分布。
（1） 写出（X，Y）的概率密度； （2） 求边缘概率密度fX(x),fY(y)；
（3）
求条件概率密度fY|X(y|x)，并写出当x?0.5时的条件概率密度。
解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度f(x,y)必定是一常数，故由
1x1???f(x,y)dxdy??dx?f(x,y)dy?13f(x,y)，得到f(x,y)??3,(x,y)?G?G0x20，。?其他???x（2）fx)??f(x,y)dy????3dy?3(x?x2)，0?x?1X(2；
x????0,其他?y??3dx，0?y?1???y2?3(y?y2)，0f(y)??f(x,y)dx??Y????y?1?。 ???0，其他???0，其他??f(x,y)?12（3）当0?x?1时，fY|X(y|x)??2,x?y?xf)??x?x。
X(x??0,其他特别地，当x?0.5时的条件概率密度为
?4f(y|0.5)???22?1,1/4?y?2/2Y|X。
??0,其他
21，设(X,Y)是二维随机变量，X的概率密度为
?f(x)??2?x?6，0?x?2X
??0,其他
21
概率论与数理统计及其应用习题解答
且当X?x(0?x?2)时Y的条件概率密度为
fY|X?1?xy?,(y|x)??1?x/2??0,0?y?1其他，
（1） （2）
求(X,Y)联合概率密度；
求(X,Y)关于Y的边缘概率密度；
求在Y?y的条件下X的条件概率密度fX|Y(x|y)。
（3）
解：（1）f(x,y)?fX(x)fY|X?1?xy?(y|x)??3??00?x?2,0?y?1其他；
?21?xy2dx?(1?y)??（2）fY(y)?3?f(x,y)dx??03???0???0?y?1其他；
（3）当0?y?1时，fX|Y(x|y)?f(x,y)?1?xy,???2(1?y)fY(y)?0,?0?x?2其他。
22，（1）设一离散型随机变量的分布律为
Y -1 0 1 pk ?2 1?? ?2 又设Y1,Y2是两个相互独立的随机变量，且Y1,Y2都与Y有相同的分布律。求Y1,Y2的联合分布律。并求
P{Y1?Y2}。
（2）问在14题中X,Y是否相互独立？
解：（1）由相互独立性，可得Y1,Y2的联合分布律为
P{Y1?i,Y2?j}?P{Y1?i}P{Y2?j}，i,j??1,0,1
结果写成表格为
22
概率论与数理统计及其应用习题解答
Y1 Y2 -1 -1 0 1 2?/4
?/4 2?(1??)/2 2(1??) 0 1 ?(1??)/2 ?/4 2?(1??)/2 2?/4 ?(1??)/2 P{Y1?Y2}?P{Y1?Y2??1}?P{Y1?Y2?0}?P{Y1?Y2?1}?(1??)??22/2。
（2）14题中，求出边缘分布律为
X Y 0 1 2 P{X?i} 0 0.10 0.08 0.06 0.24 1 0.04 0.20 0.14 0.38 2 0.02 0.06 0.30 0.38 P{Y?j} 0.16 0.34 0.50 1 很显然，P{X?0,Y?0}?P{X?0}P{Y?0}，所以X,Y不是相互独立。
23，设X,Y是两个相互独立的随机变量，X~U(0,1)，Y的概率密度为
f)??8y0?y?1/2Y(y??0其他
试写出X,Y的联合概率密度，并求P{X?Y}。 解：根据题意，X的概率密度为
fx)??10?x?1X(?
?0其他所以根据独立定，X,Y的联合概率密度为
f(x,y)?f?8y0?x?1,0?y?1/2X(x)fY(y)??
?0其他。1/21P{X?Y}???f(x,y)dxdy??dx?8ydx?23
x?y0y
24，设随机变量X具有分布律
X -2 -1 0 1 3 23
概率论与数理统计及其应用习题解答
pk
1/5 1/6 1/5 1/15 11/30
求Y?X2?1的分布律。
解：根据定义立刻得到分布律为
Y 1 2 5 10 pk 1/5 7/30 1/5 11/30
25，设随机变量X~N(0,1)，求U?X的概率密度。
解：设X,U的概率密度分别为fX(x),fU(u)，U的分布函数为FU(u)。则 当u?0时，FU(u)?P{U?u}?P{X?u}?0，fU(u)?0；
当u?0时，FU(u)?P{U?u}?P{X?u}?P{?u?X?u}?2?(u)?1，2 f2U(u)??FU(u)?'?2fX(u)?2?e?u/。
?2?u所以，f(u)??e2/2u?0U?。
???0u?0
26，（1）设随机变量X的概率密度为
x)???e?xf(x?0?0其他
求Y?X的概率密度。
（2）设随机变量X~U(?1,1)，求Y?(X?1)/2的概率密度。 （3）设随机变量X~N(0,1)，求Y?X2的概率密度。
解：设X,Y的概率密度分别为fX(x),fY(y)，分布函数分别为FX(x),FY(y)。则 （1）当y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X?y}?0，fY(y)?0；
当y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X?y}?P{X?y2}?F2X(y)，
fY(y)??FY(y)?'?2yfy2)?2ye?y2X(。
24
概率论与数理统计及其应用习题解答
?y??2ye所以，fY(y)????02y?0y?0。
（2）此时fX(x)???1/2?0?1?x?1其他。
因为FY(y)?P{Y?y}?P{(X?1)/2?y}?P{X?2y?1}?FX(2y?1)， 故， fY(y)??FY(y)??2fX(2y?1)?1,'?1?2y?1?1，
所以，fY(y)???1?00?y?1其他。
（3）当y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X2?y}?P{?y?X?y}
??(y)??(?故， fY(y)??FY(y)??2fX('y)?2?(y)?1，
12?ye?y/2y)12y?。
??所以，fY(y)????
12?y0e?y/2y?0其他。
27，设一圆的半径X是随机变量，其概率密度为
?(3x?1)/80?x?2f(x)??0其他?求圆面积A的概率密度。 解：圆面积A??X2
，设其概率密度和分布函数分别为g(y),G(y)。则
G(y)?P{?X2?y}?P{X?12?yy/?}?FX(y/?)， 故
12?y?3y?8?g(y)??G(y)??'f(y/?)???3y?16?y?,0?y/??2
?3y???所以，g(y)??16?y??0
0?y?4?其他。
28，设随机变量X,Y相互独立，且都服从正态分布N(0,?
2)，验证Z?X2?Y2的概率密度为
25
概率论与数理统计及其应用习题解答
?z?z2/(2?2)?efZ(z)???2?0?解：因为随机变量X,Y相互独立，所以它们的联合概率密度为
x?y2?22z?0其他。
2f(x,y)?12??2?e2。
2先求分布函数，当z?0时，FZ(z)?P{Z?z}?P{X2?z?Y?z}
r222?2??2f(x,y)dxdy?2?d?0x?y?z?2??01?2e2??z22rdr?1?e2?，
故，
fZ(z)??FZ(z)?'?z?z2/(2?2)?e???2?0?z?0其他。
29，设随机变量X~U(?1,1)，随机变量Y具有概率密度fY(y)?设X,Y相互独立，求Z?X?Y的概率密度。 解：因为fX(x)??1?(1?y)2，???y???，
?1/2?0?1?x?1其他z?1，所以Z?X?Y的概率密度为
??fZ(z)?
???fY(y)fX(z?y)dy??z?112?(1?y)2dy?12??arctan(z?1)?arctan(z?1)?。
30随机变量X和Y的概率密度分别为
??e??xx?0fX(x)??其他?0解： 根据卷积公式，得
????2ye??yy?0，fY(y)??其他?0
??0，X,Y相互独立。求Z?X?Y的概率密度。
zfZ(z)????fY(y)fX(z?y)dy???ye03??zdy??32ze2??z，z?0。
所以Z?X?Y的概率密度为
??32??z?zefY(y)??2??0z?0其他。
26
概率论与数理统计及其应用习题解答
31，设随机变量X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，且X,Y相互独立，求Z?X?Y的概率密度。 解：因为X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，所以
?10?x?1fX(x)??其他?0根据卷积公式，得
，fY(y)???1?00?x?1其他
??fZ(z)?????1z?1??1dy,?z?1?2?z,1?z?2z??fY(y)fX(z?y)dy???1dy,0?z?1??z,0?z?1 。
?0?0,其他?其他?0,??
32，设随机变量X,Y相互独立，它们的联合概率密度为
?3?3x?e，x?0,0?y?2 f(x,y)??2其他??0，（1） （2） （3）
求边缘概率密度fX(x),fY(y)。 求Z?max{X,Y}的分布函数。 求概率P{1/2?Z?1}。
?2?3x?3x/2dy?3e，x?0??3e解：（1）fX(x)?；
?f(x,y)dy??0???0,其他??????3x/2dx，0?y?2??3e????0fY(y)??f(x,y)dx?????0，其他???（2）Z?max{X,Y}的分布函数为
?1/2，0?y?2?。 ???0，其他?FZ(z)?P{Z?z}?P{max{X,Y}?z}?P{X?z,Y?z}?P{X?z}P{Y?z}?FX(z)FY(z)?00,x?0??F(y)?因为 FX(x)??； ?y/2Y?3x1?e,x?0??1?y?00?y?2， y?2 27
概率论与数理统计及其应用习题解答
?0,?z?3zF(z)?F(z)F(z)?,所以，Z?1?eXY?2?3z?1?e,z?00?z?2。
z?2?12e?3??（3）P{1/2?Z?1}?FZ(1)?FZ(1/2)?
14?14e?3/2。
33，（1）一条绳子长为2l，将它随机地分为两段，以X表示短的一段的长度，写出X的概率密度。 （2）两条绳子长度均为2l，将它们独立地各自分成两段，以Y表示四段绳子中最短的一段的长度，验证
Y的概率密度为
?2(l?y)/l2，0?y?l?。 fY(y)???0，其他?解：（1）根据题意，随机变量X~U(0,l)，所以概率密度为
?1?0?x?lfX(x)??l?其他?0。
（2）设这两条绳子被分成两段以后较短的那一段分别记为X1,X2，则它们都在(0,l)上服从均匀分布。
Y?min{X1,X2}，其分布函数为
FY(y)?1?1?FX1(y)1?FX2(y)?1?(1?所以密度函数为
????yl),20?y?l，
fY(y)??FY(y)?'?2(l?y)/l2，0?y?l?。 ???0，其他?
34，设随机变量X和Y的联合分布律为 （1）
求U?max(X,Y)的分布律。 求V?min(X,Y)的分布律。 求W?X?Y的分布律。 X 0 1 2 （2） （3）
Y 0 1/12 1/4 1/8 1 1/6 1/4 1/20 2 1/24 1/40 0 28
概率论与数理统计及其应用习题解答
3 1/120 0 0 解：（1）U?max(X,Y)的分布律为
P{U?k}?P{max(X,Y)?k}?P{X?k,Y?k}?P{Y?k,X?k},如，P{U?2}?P{X?2,Y?2}?P{Y?2,X?2}
k?0,1,2,3
?1/8?1/20?0?1/24?1/40?29/120，
其余类似。结果写成表格形式为
U 0 1 2 3 1/12 2/3 29/120 1/120 pk （2）V?min(X,Y)的分布律为
P{V?k}?P{min(X,Y)?k}?P{X?k,Y?k}?P{Y?k,X?k},如，P{V?2}?P{X?2,Y?2}?P{Y?2,X?2}?0?0?0， 其余类似。结果写成表格形式为
k?0,1,2
U 0 1 27/40 13/40 pk （3）W?X?Y的分布律为
kP{W?k}?P{X?Y?k}??P{Xi?0?i,Y?k?i},k?0,1,2,3,4,5
2如，P{W?2}??P{Xi?0?i,Y?2?i}?1/24?1/4?1/8?5/12，
其余类似。结果写成表格形式为
W 0 1 2 3 1/12 5/12 5/12 1/12 pk
（第2章习题解答完毕）
第3章 随机变量的数字特征
29
概率论与数理统计及其应用习题解答
1，解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。它
们的字母数分别为4，5，6，7，7。所以分布律为
X 4 5 6 7
pkE(X)?15 1/5 1/5 1/5 2/5
(4?5?6?7?7)?29/5.
2，解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。这时，字母数更多的单词更有可能被取到。分布律为
Y 4 5 6 7
pkE(Y)?129 4/29 5/29 6/29 14/29
.
(4?4?5?5?6?6?7?14)?175/29
3，解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为
p0?C10C3123?611，
p1?C2C10C31212?922，
p2?C2C10C31221?122。
所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为
E?611?0?922?1?122?2?12(台)。
4，解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，而且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第一次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分小于6。分布律为
30
概率论与数理统计及其应用习题解答
Y 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12
16pk 16 16 16 16 136 136 136 136 136 136 得分的数学期望为
E?16(1?2?3?4?5)?136(7?8?9?10?11?12)?4912(点)。
5，解：（1）根据X此计算得到??6~?(?)，可得P{X?5}??e5??5!??e6??6!?P{X?6}，因
，即X~?(6)。所以E(X)=6。
（2）根据题意，按照数学期望的公式可得
????E(X)??k?1(?1)k?1kP{X?k}??(?1)k?1k?1k6?kn22?6???2?k?1(?1)k?11k?6ln2?2，
因此期望存在。（利用了ln(1?x)??(?1)n?0?xnn?1,（不符书上答案） ?1?x?1）
6，解：（1）一天的平均耗水量为
????E(X)????xf(x)dx????0xe2?x/3??9dx???0x2??3d(e?x/3)?0??02xe?x/3??3dx???2xd(e0?x/3)
?0??2e0?x/3dx?6（百万升）。
（2）这种动物的平均寿命为
????E(X)????xdF(x)??5xd(1?25x2??)??x5502dx?10（年）。
??112527，解：E(X)??xf(x)dx????42x(1?x)dx?0??7xd(1?x)0?6?
31
概率论与数理统计及其应用习题解答
??7x(1?x)2?6?101??14x(1?x)dx?0?6???2xd?(1?x)???2x(1?x)7017101??2(1?x)07dx=1/4。
??28，解：E(X)??xf??(x)dx??2x(1?1/x12)dx?(x?2lnx)221?3?2ln2。
9，解：E(X)??xf(x)dx????0???13x21(1?x)dx?2?03x2(1?x)dx2
0??13x21(1?x)dx?2?03x2(1?x)dx?0。
2（对第一个积分进行变量代换x??y）
10， 解：
11E(sin?X2)?k??kk4?k?sin?C?p?(1?p)??24??k?0?314
2（不符书上答案） ?C4?p?(1?p)?C4?p?(1?p)?4p(1?p)(1?2p?2p)。
33
11，解：R的概率密度函数为
a?1/a,f(x)???0,0?x?a其他，所以
E(V)??0?r63?1adr??a324。
??4??12，解：E[g(X)]??g(x)f(x)dx????0x?0.3e2?0.3xdx??16?0.3e4?0.3xdx
?19(200?584e?1.2)（不符书上答案）
32
概率论与数理统计及其应用习题解答
x?0?0,13，解：因为Xi(i?1,2,?n)的分布函数为F(x)??所以可以?x,0?x?1，
??1,x?1求出Y1,Yn的分布函数为
?0,y?0?0,y?0Fmin(y)???1?(1?y)n,0?y?1，
F(y)??max?yn,0?y?1。 ??1,y?1??1,y?1Y1,Yn的密度函数为
n?1f(y)???n(1?y),0?y?1?1?y?1min?0,其他，
f(y)???nyn,0max?0,其他。
所以Y1,Yn的数学期望为
??111E(Y??yf)n?1dy??n(1?y)n?11)min(y)dy??ny(1?ydy??n(1?y)ndy?1??000n?1，
??1E(Yn)??yfmax(y)dy??nyndy?n
??0n?1。
14，解：求出边缘分布律如下
X Y 0 1 2 P{X?k} 0 3/28 9/28 3/28 15/28 1 3/14 3/14 0 12/28 2 1/28 0 0 1/28 P{Y?k} 10/28 15/28 3/28 1 22E(X)??kP{X?k}?1/2， E(Y)??kP{Y?k}?3/4，
k?0k?022E(XY)???ijP{X?i}P{Y?j}?1?1?3/14?3/14，
j?0i?0 33
概率论与数理统计及其应用习题解答
22E(X?Y)???(i?j)P{X?i}P{Y?j}??7/28??1/4，
j?0i?022E(3X?2Y)???(3i?2j)P{X?i}P{Y?j}?84/28?3。
j?0i?0
15，解：22E[min(X,Y)]???min(i,j)P{X?i}P{Y?j}?1?3/14?3/14，j?0i?022E[Y/(X?1)]???ji?1P{X?i}P{Y?j}?18/28?9/14。
j?0i?0
11?y16，解：E(X)???xf(x,y)dxdy??dy?24x2ydx?2/5，
R?R0011?yE(Y)???yf(x,y)dxdy??dy?24y2xdx?2/5，
R?R0011?yE(XY)???xyf(x,y)dxdy??dy?24x2y2dx?2/15。
R?R00
17，解：根据题意，可得利润的分布律为
Y 2000 1000 0 -1000 -2000
pk 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1 因此，
E(Y)?2000?0.2?1000?0.3?1000?0.1?2000?0.1?400（元）
E(Y2)?20002?0.2?10002?0.3?(?1000)2?0.1?(?2000)2?0.1?1600000
D(Y)?E(Y2)??E(Y)?2?1440000。
34
概率论与数理统计及其应用习题解答
????18解E(X)??xf(x)dx???????0x22e?x/(2?)22dx??xe?x/(2?)22?????0?e0?x/(2?)22dx???2，
??E(X)?2???xf(x)dx?2??02x32e?x/(2?)22dx??xe2?x/(2?)22?????0?2xe0?x/(2?)22dx??2?e22?x/(2?2)??0?2?，
22D(X)?E(X)??E(X)??(2??/2)?2，
D(X)?(2??/2)?。
??（本题积分利用了
?e0?x/22dx??2，这个结果可以从标准正态分布密度函数中得到）
19，解：E(X)??kP{Xk?1???????k}?p?k(1?p)k?1??k?1?p?1p2?1p，
??E(X)?2?k?1kP{X?k}?p?k(1?p)k?122k?1???k?1?p??k(k?1)(1?p)??k?1?k?1k(1?p)k?1???
?p(2p3?1p2)?2p2?1p，
2所以，D(X)?E(X)??E(X)??21p2?1p?1?pp2。
??k?1本题利用了幂级数求和中先积分再求导的方法。设s(p)??k(1?k?1p)，
p?1则?s(p)dp???(1?p)k?1?，所以s(p)??s(p)dp??pk?11?1????p?1??2?p?'。类似的，设
2S(p)??k(k?1)(1?k?1p)k?1，则经过两次积分以后可得到。
(1?p)p，在经过
两次求导得到S(p)?
2p3????20，解：（1）当k?1时，E(X)????xf(x)dx???k?xkk??dx?k?k??x1kdx?k?k?1。
35
概率论与数理统计及其应用习题解答
??（2）当k?1时，E(X)????xdx??1???，即E(X)不存在。
??（3），当k?2时，E(X22)??x??22f(x)dx???xk?kk?1dx?k?2k?2，
所以，D(X)?（4）当k
E(X)??E(X)???2?1?kk??k????2?2k?2(k?1)(k?1)(k?2)??2??22。
?2时，E(X)?2?x??f(x)dx???2?xdx???，所以D(X)不存在。
21，解：（1）根据14题中结果，得到
Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?3/14?1/2?3/4??9/56；
， ，
因为E(X22)??kk?02P{X?k}?4/7，
2E(Y)?2?kk?02P{Y?k}?27/28所以D(X)?
?XY?E(X)??E(X)??9/2822，D(Y)?E(Y)??E(Y)??45/11222Cov(X,Y)D(X)D(Y)??55。
（2）根据16题结果可得：
Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?2/15??2/5???2/752；
11?y因为
E(X)?2??R?Rxf(x,y)dxdy?12?dy01?y?24xydx?1/5，
303E(Y)?2??R?R2yf(x,y)dxdy?2?dy?24y00xdx?1/5，
所以，D(X)?E(X)??E(X)??1/252，D(Y)?E(Y)??E(Y)??1/2522
D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)?2/75，
?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)??23。
（3）在第2章14题中，由以下结果
36
概率论与数理统计及其应用习题解答
X 0 1 2 Y 0 0.10 0.04 0.02 0.16 1 0.08 0.20 0.06 0.34 2 0.06 0.14 0.30 0.50 P{X?k} 0.24 0.38 0.38 1 P{Y?k} 得到，E(X)?1.14，E(Y)?1.34，E(XY)?1.8，E(X2)?1.9，E(Y2)?2.34， 所以，Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0.2724；
D(X)?E(X)??E(X)??0.600422，D(Y)?.
E(Y)??E(Y)??0.544422,
?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)?0.27240.5717?0.476522，解：根据题意有
D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)
?D(X)?D(Y)?2?XYD(X)D(Y)?9?4?2?(?1/6)?6?11。
D(X?3Y?4)?D(X?4)?D(3Y)?2Cov(X?4,3Y)
?D(X)?9D(Y)?6Cov(X,Y)?9?36?6?(?1/6)?6?51。
23，解：（1）因为X1,X2,X3相互独立，所以
EX1(X2?4X3)?22??E(X221)E[(X2?4X3)]?E[X2?8X2X3?16X3]
222222 ?E[X2?8X2X3?16X3]?E[X2]?8E[X2]E[X3]?16E[X3]
?1?0?16?17。
E(Xi)?D(Xi)??E(Xi)??1/3，i?1,2,3。
222（2）根据题意，可得E(Xi)?1/2,E(X1?2X2?X3)2?2??E[X221?4X2?X3?4X1X2?2X1X3?4X3X2]
22?E[X1]?4E[X2]?E[X3]?4E[X1]E[X2]?2E[X1]E[X3]?4E[X3]E[X2] ?13?43?13?1?12?1?12。
37
概率论与数理统计及其应用习题解答
1x24，解：因为
E(X)???xf(x,y)dxdyR?R1??dx?xdy0x?x?2/3，
E(Y)???R?Ryf(x,y)dxdy??dx?ydy01?xx?0，
E(XY)???xyfR?R(x,y)dxdy??dx?xydy0?x?0，
所以，Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0， 即，验证了X,Y不相关。 又因为，
?x?1dy?2x，0?x?1； fX(x)??f(x,y)dy????x???0,其他????1??1dx，?1?y?0??y??1??fY(y)??f(x,y)dx???1dx，0?y?1???y?0，其他????1?y，0?y?0.5???1?y，0.5?y?1?0，其他?，
显然，f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以验证了
X,Y不是相互独立的。
25，解：引入随机变量定义如下
?1Xi???0第i个球落入第i个盒子第i个球未落入第i个盒子1n
~N(n,1n)则总的配对数X故所以，E(X)?
n??i?1Xi，而且因为P{Xi?1}?，所以，X。
n?1n?1。
第4章
正态分布
38
概率论与数理统计及其应用习题解答
1，（1）设Z（2）设Z求P{Z?1.24}， ~N(0,1)，P{1.24?Z?2.37}，P{?2.37?Z??1.24}；
~N(0,1)，且P{Z?a}?0.9147?1.24}??(1.24)?0.8925，P{Z?b}?0.0526，求a,b。
解：（1）P{Z，
P{1.24?Z?2.37}?P{Z?2.37}?P{Z?1.24}??(2.37)??(1.24)?0.9911?0.8925?0.0986P{?2.37?Z??1.24}??(?1.24)??(?2.37)?[1??(1.24)]?[1??(2.37)]?0.0986
（2）P{Z?a}?0.9147??(1.37)，所以a?1.37；
。
所以P{Z?b}?0.9474??(1.62)，即b?1.62P{Z?b}?0.0526?1?P{Z?b}， 2，设X~N(3,16)，求P{4?X?8}，P{0?X?5}。 ~N(3,16)，所以4?345?34?X?344?X?348?34~N(0,1)。
解：因为XP{4?X?8}?P{P{0?X?5}??(}??(1.25)??(0.25)?0.8944?0.5987?0.2957)??(0?3)?0.6915?(1?0.7734)?0.4649。
3，（1）设X（2）设X~N(25,36)，试确定C，使得P{X?25?C}?0.9544。
~N(3,4)，试确定C，使得P{X?C}?0.95C6。
C6)?2?(C6)?1
解：（1）因为P{X所以得到?(（2）因为
?(C?32C6X?32?25?C}?P{?C?X?25?C}??()??(?)?0.9772,即
C6?2.0，C?12.0。
C?32)?0.95~N(0,1)，所以P{X?C}?1??(3?C2)?0.95，即
。
)?0.05,或者?(，从而
3?C2?1.645，C??0.294，已知美国新生儿的体重（以g计）X（1） 求P{2587.75
~N(3315,575)。
2?X?4390.25}；
39
概率论与数理统计及其应用习题解答
（2） 在新生儿中独立地选25个，以Y表示25个新生儿的体重小
于2719的个数，求P{Y解：根据题意可得（1）P{2587.75 （2）P{XX?3315575?4}。
~N(0,1)。
575)??(2587.75?3315575)?X?4390.25}??(4390.25?3315
??(1.87)??(?1.2648)?0.9693?(1?0.8962)?0.8655（或0.8673）
?2719}??(2719?3315575)?1??(1.04)?0.1492，
根据题意Y~B(25,0.1492)，所以
4P{Y?4}??k?0C25?0.1492kk?0.850825?k?0.6664。
5，设洗衣机的寿命（以年计）X~N(6.4,2.3)，一洗衣机已使用了
5
年，求其寿命至少为8年的条件概率。 解：所要求的概率为
P{X?8}P{X?5}1??(1.06)1?0.85542.3???0.17615?6.41??(?0.92)0.82121??()2.31??(8?6.4)P{X?8|X?5}??6，一电路要求装两只设计值为12欧的电阻器，而实际上装的电阻器的电阻值（以欧计）服从均值为11.9欧，标准差为0.2欧的正态分布。求（1）两只电阻器的电阻值都在11.7欧和12.3欧之间的概率；（2）至少有一只电阻器大于12.4欧的概率（设两电阻器的电阻值相互独立）
解：设两个电阻器的电阻值分别记为随机变量
X~N(11.9,0.04)，Y~N(11.9,0.04)
X,Y,则
40
概率论与数理统计及其应用习题解答
（1）P{11.7?
X?12.3,11.7?Y?12.3}?P{11.7?X?12.3}P{11.7?Y?12.3}
211.7?11.9??12.3?11.92???()??()????(2)??(?1)??0.81850.20.2??2?0.6699；
（2）至少有一只电阻器大于12.4欧的概率为
?12.4?11.9?1?P{X?12.4,Y?12.4}?1?P{X?12.4}P{Y?12.4}?1???()?0.2??2
?1?0.99382?0.0124。
7，一工厂生产的某种元件的寿命X（以小时计）服从均值?均方差为?的正态分布，若要求P{120为多少？ 解：根据题意，
X?160?160，
?X?200}?0.80，允许?最大
?~N(0,1)。所以有 )??(120?160)?2?(40)?1?0.80P{120?X?200}??(200?160???1.28,?，
即，?(40?)?0.9??(1.28)，从而
40???31.25。
故允许?最大不超过31.25。
8，将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器内，调节器整定在d?C，液体的温度X（以?C计）是一个随机变量，且X（1） 若d?90~N(d,0.5)，
2，求X小于89的概率；
（2） 若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至
少为多少？ 解：因为X（1）P{X
~N(d,0.5)，所以
2X?d0.5~N(0,1)。
?89}??(89?900.5)??(?2)?1??(2)?0.0228；
41
概率论与数理统计及其应用习题解答
（2）若要求P{X即?(80?d0.5)?0.01?80}?0.99，那么就有P{X?80}?1??(80?d0.50.5)?0.99?2.326，
或者?(d?800.5)?0.99??(2.326)，从而
d?80，
最后得到d
?81.163，即d至少应为81.163。
9，设X,Y相互独立，且X服从数学期望为150，方差为9的正态分布，Y服从数学期望为100，方差为16的正态分布。 （1） 求W1?X?Y，W2??2X?Y，W3?(X?Y)/2的分布；
（2） 求P{X?Y?242.6}，P{(X?Y)/2?125?5}。
~N(150,9),Y~N(100,16)。
解：根据题意X（1） 根据正态分布的线性组合仍为正态分布（本书101页定理2）
的性质，立刻得到
W1~N(250,25)， W2~N(?200,52)， W3~N(125,254)
（2） 因为 W1
~N(250,25)，W3~N(125,~N(0,1)，
254)，所以 ~N(0,1)X?Y?2505?X?Y?/2?125因此P{X?Y?242.6}??(5/2242.6?2505。
，
)?1??(1.48)?0.0694P{(X?Y)/2?125?5}?1?P{?5?(X?Y)/2?125?5}
55???1???()??(?)?2.52.5??
?2?2?(2) ?0.0456
X10，（1）某工厂生产螺栓和垫圈。螺栓直径（以mm计）~N(10,0.2)，
2垫圈直径（以mm计）Y
~N(10.5,0.2)，X,Y2相互独立。随机地取一
42
概率论与数理统计及其应用习题解答
只螺栓，一只垫圈，求螺栓能装入垫圈的概率。 （2）在（1）中若X~N(10,0.2)，Y~N(10.5,?)22，问控制?至多为
多少才能使螺栓能装入垫圈的概率不小于0.90。 解：（1）根据题意可得X为P{X?Y~N(?0.5,0.08)。螺栓能装入垫圈的概率
?0?(?0.5)??Y}?P{X?Y?0}????????(1.77)?0.96160.08??。
（2）X?Y~N(?0.5,0.04??)，所以若要控制
2?0?(?0.5)P{X?Y}?P{X?Y?0}????2?0.04?????0.90??(1.282)， ??即要求
0.50.04??2?1.282，计算可得??0.3348。表明?至多为0.3348
才能使螺栓能装入垫圈的概率不小于0.90。
11,设某地区女子的身高（以m计）Wm计）M2男子身高（以~N(1.63,0.025)，
2（1）在这一地区随~N(1.73,0.05)。设各人身高相互独立。
机选一名女子，一名男子，求女子比男子高的概率；（2）在这一地区随机选5名女子，求至少有4名的身高大于1.60的概率；（3）在这一地区随机选50名女子，求这50名女子的平均身高达于1.60的概率。 解：（1）因为M?W~N(0.1,0.003125)，所以
；
P{W?M}?P{M?W?0}??(0?0.10.003125)??(?1.79)?1?0.9633?0.0367（2）随机选择的女子身高达于1.60的概率为
P{W?1.60}?1??(1.60?1.630.025)??(1.2)?0.8849，
43
概率论与数理统计及其应用习题解答
随机选择的5名女子，身高大于1.60的人数服从二项分布
B(5,0.8849)，所以至少有
C5?0.8849444名的身高大于1.60的概率为
55?(1?0.8849)?C5?0.8849?0.8955
（3）设这50名女子的身高分别记为随机变量W1,?W50，
W?W。则W?50ii?1150?W?50i?1150i~N(1.63,0.025502)，所以这50名女子的平
均身高达于1.60的概率为
P{W?1.60}?1??(1.60?1.630.025/50)??(8.49)?1
12，（1）设随机变量
P{X?20}?0.90X~N(?,?)2，已知
P{X?16}?0.20，
，求?和?；
?2Y?6Z?7}。
；
（2）X,Y,Z相互独立且都服从标准正态分布，求P{3X解：（1）由P{X?16}??(16???)?0.20??(?0.84)，得到16????0.84?P{X?20}??(20???)?0.90??(1.282)，得到20???1.282?； 。
联立16??（2）由
??0.84?X,Y,Z和20???1.282?，计算得到??17.5834,??1.8850相互独立且都服从标准正态分布，得到
3X?2Y?6Z~N(0,49)。
故所以
P{3X?2Y?6Z?7}?P{3X?2Y?6Z??7}??(?7?07)?1??(1)?0.1587
13，一食品厂用纸质容器灌装饮料，容器的重量为30g，灌装时将容器放在台秤上，将饮料注入直到秤上刻度指到m(g)时结束。以
44
概率论与数理统计及其应用习题解答
Z(g)记容器中饮料的重量。设台秤的误差为X~N(0,7.5)，X2以g
计。（此处约定台秤显示值大于真值时误差为正） （1）写出Z,X,m的关系式； （2）求Z的分布；
（3）确定m使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.95。 解：（1）根据题意Z,X,m有关系式m（2）因为X2?Z?30?X2或者Z?m?30?X；
~N(0,7.5)，所以Z~N(m?30,7.5)；
（3）要使得P{Z?450}?0.95，即要
，
m，
?492.3375?450?(m?30)?P{Z?450}?1?????0.957.5??m?480所以要求????7.5m?480?即??0.95??(1.645)，
7.5??1.645。
所以，要使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.95，m至少为492.4g。
14,在上题中若容器的重量Y(g)也是一个随机变量，YX,Y~N(30,9)，设
相互独立。
（1）求Z的分布；
（2）确定m使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.90。 解：（1）此时Z?m?Y?X，根据Y~N(30,9)，X~N(0,7.5)，可得
2Z~N(m?30,65.25)。
（2）P{Z?450?(m?30)??m?480?450}?1??????????65.25???65.25????0.90??(1.282)， ? 45
概率论与数理统计及其应用习题解答
可得
m?48065.25?1.282，即 m?490.36。
15，某种电子元件的寿命X（以年计）服从数学期望为2的指数分布，各元件的寿命相互独立。随机取100只元件，求这100只元件的寿命之和大于180的概率。
解：设这100只元件的寿命分别记为随机变量X1,?X100，
X?1100100?i?1Xi。则E(X)?2，D(X)?0.04。根据独立同分布的中心极
限定理可得
100P{?Xi?180}?P{X?1.8}?P{i?1X?20.2?1.8?20.2}?1??(1.8?20.2)??(1)?0.8413
16，以X1,?X100记100袋额定重量为25（kg）的袋装肥料的真实的净重，E(Xi)?25(kg),D(Xi)?1,i?1,2,?100.相互独立。X?1100100X1,?X100服从同一分布，且
?i?1Xi，求P{24.7525(kg),?X?25.25}的近似值。
1100解：根据题意可得E(X)?极限定理可得
P{24.75?X?25.25}?P{D(X)?。由独立同分布的中心
24.75?250.1?X?250.1?25.25?250.1}??(2.5)??(?2.5)
?2?(2.5)?1?0.9876
17，有400个数据相加，在相加之前，每个数据被舍入到最接近它的数，其末位为10-7。设舍入误差相互独立，且在区间
46
概率论与数理统计及其应用习题解答
(?0.5?10?7,0.5?10?7)服从均匀分布。求误差总和的绝对值小于
0.5?10?6的概率。（例如45.345678419舍入到45.3456784）
?1400400解：以X1,?X400记这400个数据的舍入误差，X10?14?i?1Xi。则
E(X)?0,D(X)?4800。利用独立同分布的中心极限定理可得
?8400P{?Xi?0.5?10i?1?6}?P{?0.125?10?X?0.125?10?8}
?P{?0.125?1010?14?8?X10?14?0.125?1010?14?8}
480048004800
??(0.2512)??(?0.2512)
?2?(0.866)?1?0.6156
18，据调查某一地区的居民有20%喜欢白颜色的电话机，（1）若在该地区安装1000部电话机，记需要安装白色电话机的部数为X，求P{170（2）问至少需要安装多?X?185}，P{X?190}，P{X?180}；
少部电话，才能使其中含有白色电话机的部数不少于50部的概率大于0.95。
解：（1）根据题意，X~B(1000,0.2)，且E(X)?200,D(X)?160。
由De Moivre-Laplace定理，计算得
P{170?X?185}??(185?0.5?200160)??(170?0.5?200160)
??(?1.15)??(?2.41)?(1?0.8749)?(1?0.9920)?0.1171；
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概率论与数理统计及其应用习题解答
P{X?190}?1??(190?0.5?200160)?1??(?0.83)?0.7967；
。
P{X?180}??(180?0.5?200160)??(?1.54)?1?0.9382?0.0618（2）设要安装n部电话。则要使得
P{X?50}?1??(50?0.5?0.2n0.16n)?1??(49.5?0.2n0.16n)?0.95
就要求?(0.2n?49.5)?0.950.16n??(1.645)，即
0.2n?49.50.16n?1.645，从而
20.04n?20.232964n?2450.25?0，解出n?304.95或者n?201（舍去）。
所以最少要安装305部电话。
19，一射手射击一次的得分X是一个随机变量，具有分布律
X 8 9 10 0.01 0.29 0.70 pk（1） 求独立射击10次总得分小于等于96的概率。
（2） 求在900次射击中得分为8分的射击次数大于等于6的概率。 解：根据题意，E(X)?9.69，D(X)?94.13?9.692（1）以X1,?X10分别记10次射击的得分，则
1010?0.2339。
?Xi?1i?96.9?P{?Xi?96}?P{i?196?96.92.3392.339}??(96?96.92.339)??(?0.59)?0.2776
（2）设在900次射击中得分为8分的射击次数为随机变量Y，则
Y~B(900,0.01)。由
De Moivre-Laplace定理，计算得
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概率论与数理统计及其应用习题解答
P{Y?6}?1??(6?0.5?900?0.01900?0.01?0.99)?1??(?1.17)?0.8790。
（第4章习题解答完毕）
第5章 样本及抽样分布
1,设总体X服从均值为1/2的指数分布，X1,X2,X3,X4是来自总体的容量为4的样本，求
（1）X1,X2,X3,X4的联合概率密度；（2）P{0.5?（3）E(X),D(X)；（4）E(X1X2)，E[X1(X22X1?1,0.7?X2?1.2}；
（5）D(X1X2)。 ?0.5)]；
解：因为X的概率密度为f(x)?2e?2x，x?0，所以
（1） 联合概率密度为g(x1,x2,x3,x4)?f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)
?16e?2(x1?x2?x3?x4)，（X1,X2,X3,X4?0）
?2(x1?x2)（2）X1,X2的联合概率密度为2e11.2，所以
11.2?2x1P{0.5?X1?1,0.7?X2?1.2}???1?4e?e?2x1?2x2dx1dx2?)
?2e0.5dx1?2e0.7?2x2dx2
0.50.7?(e?2)(e?1.4?e4?2.4（3）E(X)??E(Xi)?4i?11412,
D(X)?14116?i?11?1?； D(Xi)?????4?2?1612（4）E(XE[X1(X2X2)?E(X1)E(X2)?12，（由独立性）
2?0.5)]?E(X1)E[(X2?0.5)]?122E[X22?X2?14]?12[E(X22)?E(X2)?14]11?1?11?[D(X2)?E(X2)??]?[????]?； 22424?2?482111 49
概率论与数理统计及其应用习题解答
（5）D(X1X2)?2E[(X1X2)]?E(X1X2)?E(X1)E(X222222?1?)????4?116?2
316?[D(X1)?E(X1)][D(X2)?E(X2)]?116?(14?14)(14?14)?。
2，设总体X（1）P{max(~N(75,100)，X1,X2,X3是来自X的容量为3的样本，求
（2）P{(60?X1?80)?(75?X3?90)}， X1,X2,X3)?85}，
?X3)，
（3）E(X12X22X32)，（4）D(X1X2X3)，D(2X1?3X2（5）P{X1?X2?148}。
解：（1）P{max(X1,X2,X3)?85}?P{X1?85,X2?85,X3?85}?
3?3P{X1?85}P{X2?85}P{X3?85}??P{X1?85}???P{??[?(1)]?0.841333X1?751085?75??}?
10??0.5955；
（2）P{(60?X1?80)?(75?X3?90)}?P(60?X1?80)?P(75?X3?90)
?X3?7510?90?7510?P{60?X1?80}P{75?X3?90}?P{X1?751060?7510?X1?7510?80?7510}?P{75?7510}?P{60?7510??80?7510}P{75?7510?X3?7510?90?7510}
?[?(0.5)??(?0.5)]?[?(1.5)??(0)]?[?(0.5)??(?0.5)][?(1.5)??(0)]
?[2?(0.5)?1]?[0.9332?0.5]?[2?(0.5)?1][0.9332?0.5]?0.383?0.4332?0.383?0.4332?0.6503 （本题与答案不符） （3）E(X12X22X32)?E(X1)E(X2)E(X3)?[D(X1)?E(X1)]?[100?75]?1.8764?10112222323
；
11（4）D(X1X2X3)?E[(X1X2X3)]?E(X1X2X3)?1.8764?1022?E(X1)
6?1.8764?10
11?756?9.662?10；
950