习题八
7-1下列表述是否正确?为什么?并将错误更正．
Q?E??pdV?Q??E??A（1） （2）
QQ??1?2?不可逆?1?2Q1 （4）Q1 （3）
解：(1)不正确，Q??E?A
(2)不正确，
Q?ΔE??pdV
??1?(3)不正确，
?不可逆(4)不正确，
Q2Q1
Q?1?2Q1
A净Q1，A净面积越大，效
7-2 p?V图上封闭曲线所包围的面积表示什么?如果该面积越大，是否效率越高?
??答：封闭曲线所包围的面积表示循环过程中所做的净功．由于
率不一定高，因为?还与吸热Q1有关．
7-3 如题7-3图所示，有三个循环过程，指出每一循环过程所作的功是正的、负的，还是零，说明理由．
解：各图中所表示的循环过程作功都为0．因为各图中整个循环分两部分，各部分面积大小相等，而循环方向一个为逆时针，另一个为顺时针，整个循环过程作功为0．
题7-3图
7-4 用热力学第一定律和第二定律分别证明，在p?V图上一绝热线与一等温线不能有两个交点．
题7-4图
解：1.由热力学第一定律有
Q??E?A 若有两个交点a和b，则 经等温a?b过程有
?E1?Q1?A1?0 经绝热a?b过程
?E2?A1?0 ?E2??A2?0
从上得出?E1??E2，这与a,b两点的内能变化应该相同矛盾．
2.若两条曲线有两个交点，则组成闭合曲线而构成了一循环过程，这循环过程只有吸热，无放热，且对外做正功，热机效率为100%，违背了热力学第二定律． 7-5 一循环过程如题7-5图所示，试指出： (1)ab,bc,ca各是什么过程；
(2)画出对应的p?V图； (3)该循环是否是正循环?
(4)该循环作的功是否等于直角三角形面积? (5)用图中的热量
Qab,Qbc,Qac表述其热机效率或致冷系数．
解：(1) ab是等体过程
bc过程：从图知有V?KT，K为斜率 由pV?vRT 得
p?故bc过程为等压过程 ca是等温过程
(2)p?V图如题7?5?图
vRK
题7?5?图
(3)该循环是逆循环
(4)该循环作的功不等于直角三角形面积，因为直角三角形不是p?V图中的图形．
e?(5)
QabQbc?Qca?Qab
题7-5图 题7-6图
7-6 两个卡诺循环如题7-6图所示，它们的循环面积相等，试问： (1)它们吸热和放热的差值是否相同； (2)对外作的净功是否相等； (3)效率是否相同?
答：由于卡诺循环曲线所包围的面积相等，系统对外所作的净功相等，也就是吸热和放热的差值相等．但吸热和放热的多少不一定相等，效率也就不相同．
7-7 评论下述说法正确与否?
(1)功可以完全变成热，但热不能完全变成功；
(2)热量只能从高温物体传到低温物体，不能从低温物体传到高温物体．
(3)可逆过程就是能沿反方向进行的过程，不可逆过程就是不能沿反方向进行的过程． 答：(1)不正确．有外界的帮助热能够完全变成功；功可以完全变成热，但热不能自动地完全变成功； (2)不正确．热量能自动从高温物体传到低温物体，不能自动地由低温物体传到高温物体．但在外界的帮助下，热量能从低温物体传到高温物体．
(3)不正确．一个系统由某一状态出发，经历某一过程达另一状态，如果存在另一过程，它能消除原过程对外界的一切影响而使系统和外界同时都能回到原来的状态，这样的过程就是 可逆过程．用任何方法都不能使系统和外界同时恢复原状态的过程是不可逆过程．有些过程 虽能沿反方向进行，系统能回到原来的状态，但外界没有同时恢复原状态，还是不可逆过程． 7-8 热力学系统从初平衡态A经历过程P到末平衡态B．如果P为可逆过程，其熵变为 ：
BdQdQ可逆不可逆SB?SA??SB?SA??AAT，如果P为不可逆过程，其熵变为T，你说对吗？
B哪一个表述要修改，如何修改？
答：不对．熵是状态函数，熵变只与初末状态有关，如果过程P为可逆过程其熵变为：
dQ可逆AT，如果过程P为不可逆过程，其熵变为
BdQ不可逆SB?SA??AT
BdQBdQ可逆不可逆SB?SA??SB?SA??AAT及T7-9 根据，这是否说明可逆过程的熵变大于SB?SA??B不可逆过程熵变?为什么?说明理由．
答：这不能说明可逆过程的熵变大于不可逆过程熵变，熵是状态函数，熵变只与初末状态有关，如果可逆过程和不可逆过程初末状态相同，具有相同的熵变．只能说在不可逆过程中，系统的热温比之和小于熵变．
7-10 如题7-10图所示，一系统由状态a沿acb到达状态b的过程中，有350 J热量传入系统，而系统作功126 J．
(1)若沿adb时，系统作功42 J，问有多少热量传入系统?
(2)若系统由状态b沿曲线ba返回状态a时，外界对系统作功为84 J，试问系统是吸热还是放热?热量传递是多少?
题7-10图
解：由abc过程可求出b态和a态的内能之差 Q??E?A
?E?Q?A?350?126?224 J
abd过程，系统作功A?42J
Q??E?A?224?42?266J 系统吸收热量
ba过程，外界对系统作功A??84J
Q??E?A??224?84??308J 系统放热
7-11 1 mol单原子理想气体从300 K加热到350 K，问在下列两过程中吸收了多少热量?增加了多少内能?对外作了多少功? (1)体积保持不变； (2)压力保持不变． 解：(1)等体过程
由热力学第一定律得Q??E 吸热
Q??E??CV(T2?T1)??iR(T2?T1)2
3?8.31?(350?300)?623.252 J
对外作功 A?0
Q??E?(2)等压过程
Q??CP(T2?T1)??i?2R(T2?T1)2
5?8.31?(350?300)?1038.752吸热 J
?E??CV(T2?T1)
3?E??8.31?(350?300)?623.252内能增加 J
对外作功 A?Q??E?1038.75?623.5?415.5J
Q?7-12 一个绝热容器中盛有摩尔质量为Mmol，比热容比为?的理想气体，整个容器以速度v运动，若容器突然停止运动，求气体温度的升高量(设气体分子的机械能全部转变为内能)．
1mu2解：整个气体有序运动的能量为2，转变为气体分子无序运动使得内能增加，温度变
化
m1CV?T?mu2M2 111?T?Mmolu2?Mmolu2(??1)2CV2R 3
?E?解：(1)等温压缩 T?300K 由p1V1?p2V2 求得体积
7-13 0.01 m氮气在温度为300 K时，由0.1 MPa(即1 atm)压缩到10 MPa．试分别求氮
气经等温及绝热压缩后的(1)体积；(2)温度；(3)各过程对外所作的功．
V2? 对外作功
p1V11??0.01?1?10?33p210 m
V2p?p1Vln1V1p2
5 ?1?1.013?10?0.01?ln0.01
??4.67?103J
A?VRTln(2)绝热压缩
CV?57R??2 5
p1V1?1/?V2?()??p2由绝热方程 p1V1?p2V2
p1V1?1/?pV2?()?(1)?V1p2p2
11?()4?0.01?1.93?10?310m
???1????Tp?Tp1122由绝热方程 得
??1T1?p2T2??3001.4?(10)0.4??1p1热力学第一定律Q??E?A，Q?0
?1T2?579K
A??所以
MCV(T2?T1)Mmol
pV5MRTA??11R(T2?T1)RT12Mmol，
1.013?105?0.0015A????(579?300)??23.5?1033002 J
7-14 理想气体由初状态(p1,V1)经绝热膨胀至末状态(p2,V2)．试证过程中气体所作的功
pV?为
A?p1V1?p2V2??1，式中?为气体的比热容比.
答：证明： 由绝热方程
pV?p1V1?p2V2?C 得
???p?p1V1?1V?
A??pdVV1V2
A??V2V1dvp1V1?11p1V1r??(??1???1)v??1V2V1
???
p1V1V1??1[()?1]??1V2
p1V1?A??(V2???1?V1???1)??1又 p1V1?V1???1?p2V2?V2???1???1
pV?p2V2A?11??1所以
7-15 1 mol的理想气体的T-V图如题7-15图所示，ab为直线，延长线通过原点O．求ab过程气体对外做的功．
题7-15图
解：设T?KV由图可求得直线的斜率K为
T02V0
TK?0V2V0 得过程方程
K?由状态方程 pV??RT 得
p??RTV
ab过程气体对外作功
A??A????2V0V02V0v02V0v0pdV
2V0RTRT0dV??VdVV0V2VV0RT0RTdV?02V021/2
7-16 某理想气体的过程方程为Vp解：气体作功
?a,a为常数，气体从V1膨胀到V2．求其所做的功．
A??pdVv1V2
A??V2V17-17 设有一以理想气体为工质的热机循环，如题7-17图所示．试证其循环效率为
aaV2121dV?(?)?a(?)2?1V1VVV1V2
22V1?1V??1??2p1?1p2
答：等体过程
吸热
???CV(T2?T1)Q1
p1V2p2V1?)RR
Q??0
绝热过程 3??CV(Q1?Q1等压压缩过程
放热
???Cp(T2?T1)Q2
????CP(T2?T1)Q2?Q2p2V1p2V2?)RR
Q??1?2Q1 循环效率
?CP(??1?Cp(p2V1?p2V2)Q2?1?Q1CV(p1V2?p2V2)(?1/?2?1)(p1/p2?1)
??1??题7-17图 题7-19图
7-18 一卡诺热机在1000 K和300 K的两热源之间工作，试计算 (1)热机效率；
(2)若低温热源不变，要使热机效率提高到80%，则高温热源温度需提高多少? (3)若高温热源不变，要使热机效率提高到80%，则低温热源温度需降低多少?
??1?解：(1)卡诺热机效率
T2T1
??1?300?7000
(2)低温热源温度不变时，若
??1?
300?80%T1
要求 T1?1500K，高温热源温度需提高500K (3)高温热源温度不变时，若
T2?8000
要求 T2?200K，低温热源温度需降低100K
??1?7-19 如题7-19图所示是一理想气体所经历的循环过程，其中AB和CD是等压过程，BC和DA为绝热过程，已知B点和C点的温度分别为T2和吗?
T3．求此循环效率．这是卡诺循环
Q2Q1
解：(1)热机效率
???CP(T2?T1) AB等压过程 Q1??1?Q1?吸热
MCP(TB?TA)Mmol
??vCP(T2?T1) CD等压过程 Q2M??Q2??Q2CP(TC?TD)Mmol放热
Q2TC?TDTC(1?TD/TC)??Q1TB?TATB(1?TA/TB)
根据绝热过程方程得到
??1????1??pT?pTD AADAD绝热过程
??1??1??1??BC绝热过程 pBTB?pCTC
TDTpA?pBpC?pD?TCTB 又
T??1?3T2
(2)不是卡诺循环，因为不是工作在两个恒定的热源之间． 7-20 （1）用一卡诺循环的致冷机从7℃的热源中提取1000 J的热量传向27℃的热源，需要多少功?从-173℃向27℃呢?
(2)一可逆的卡诺机，作热机使用时，如果工作的两热源的温度差愈大，则对于作功就愈有利．当作致冷机使用时，如果两热源的温度差愈大，对于致冷是否也愈有利?为什么? 解：(1)卡诺循环的致冷机
e? 7℃→27℃时，需作功
Q2T2?A静T1?T2
A1??173℃→27℃时，需作功
T?T2300?100A2?1Q2??1000?2000T2100J
T1?T2300?280Q2??1000?71.4T2280 J
(2)从上面计算可看到，当高温热源温度一定时，低温热源温度越低，温度差愈大，提取同
样的热量，则所需作功也越多，对致冷是不利的．
7-21 如题7-21图所示，1 mol双原子分子理想气体，从初态V1?20L,T1?300K经历三种不同的过程到达末态V2?40L,T2?300K． 图中1→2为等温线，1→4为绝热线，4→2为等压线，1→3为等压线，3→2为等体线．试分别沿这三种过程计算气体的熵变．
题7-21图 解：1?2熵变
等温过程 dQ?dA, dA?pdV
pV?RT
dQ1V2RT1S2?S1????dV1TT1V1V
VS?S?Rln2?Rln2?5.76221V! J?K?1
1?2?3熵变
S3dQ2?S1??1T??2dQ3T
SCpdTT2CVdT2?S1??T3TT?T?CT3T1?3TplnT?CVln21T3
1?3等压过程 p1?p3T3V2 T?1V1
p33?2?p2等体过程 T3T2
T2T?p2T2?p23p3 T3p1
SVp22?S1?CPln2?CVln
V1p1 在1?2等温过程中 p1V1?p2V2
S2?SV221?CPlnVCVVVln2V?Rln?Rln2所以
11V1
1?4?2熵变
S4dQ2?S1???2dQ1T?4T
S2?S1?0??T2CpdTTT?CT2T4plnT?Cpln14T4
1?4绝热过程
?1T??1T??1T1V?41V1?4V4T???14V1
p??,V4?(p1p)1/??(p11V1?p4V4)1/?V14p2
在1?2等温过程中 p1V1?p2V2
V4?(p1)1/??(p1)1/??(V2)1/?V1p4p2V1
T??11V?T?(2V)41
V1V2T?1T3 S2?S1?CPlnT1??1V2?CPln?Rln2T4?V1
7-22 有两个相同体积的容器，分别装有1 mol的水，初始温度分别为T1和T2，T1＞T2，令其进行接触，最后达到相同温度T．求熵的变化，(设水的摩尔热容为Cmol)． 解：两个容器中的总熵变
TCCmoldTdTS?S0????molT1T2TT
TTTT2?Cmol(ln?ln)?Cmolln
T1T2因为是两个相同体积的容器，故
Cmol(T?T2)?Cmol(T1?T)
T?T2?T1得
2 ?S(T2?T1)2S0?Cmolln
4T1T2
7-23 把0℃的0.5kg的冰块加热到它全部溶化成0℃的水，问：
(1)水的熵变如何?
(2)若热源是温度为20 ℃的庞大物体，那么热源的熵变化多大?
(3)水和热源的总熵变多大?增加还是减少?(水的熔解热??334J?g?1)
解：(1)水的熵变
?SQ0.5?334?1031?T?273?612 J?K?1
(2)热源的熵变
?SQ?0.5?334?1032?T?293??570 J?K?1
(3)总熵变
?S??S1??S2?612?570?42 J?K?1
熵增加
T1T2