51．设D是△ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作一直线分别与线段AB，PB交于点M，E，与线段AC，PC的延长线交于点F，N，已知DE=DF，求证：DM=DN 52．在凸四边形ABCD中，AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，AC=e，BD=f，且max{a,b,c,d,e,f}=1，求abcd的最大值
53．点D，E，F分别在锐角△ABC的边BC，CA，AB上（均不是端点），满足EF∥BC，D1是边BC上一点（不同于B，D，C），过D1作D1E1∥DE，D1F1∥DF，分别交AC，AB两边于点E1，F1，联结E1F1，再在BC上方（与A同侧）作△PBC，使得△PBC∽△DEF，联结PD1，求证：EF，E1F1，PD1三线共点
54．设a，b，c是周长不超过2π的三角形的三条边长，证明：长为sina，sinb，sinc的三条线段可构成三角形
55．已知等腰△ABC的边长BC= a，AB=AC =b，M，N分别是边AC和AB上的动点，满足a2·AM·AN= b2·BN·CM，直线BM和CN相交于点P，求动点P的轨迹
56．△ABC在平面π上，周长为3+23，在平面π上与△ABC全等的三角形内部或边界上至少有一个整点，证明：△ABC是等边三角形
57．设E为凸四边形ABCD的对角线的交点，F1，F2，F3分别为△ABE，△CDE，四边形ABCD的面积，证明：F1?F2≤F，等号何时成立？
58．已知一个凸多边形x的边长和对角线均为有理数，凸多边形x被它的所有对角线分成一些小凸多边形，证明这些小凸多边形的边长都是有理数
59．在△ABC中，∠A=90°，AC＞AB，我们在边AC上取点E，在边BC上取点D，使得AB=AE=BD，求证：∠ADE=90°的充分必要条件是AB∶AC∶BC=3∶4∶5
60．△ABC的边BC和边AC分别取定长a和b，而边AB的长度可变动，以边AB作正方形的一边向三角形外作正方形，设O是所作正方形的中心，并设BC和AC的中点分别为M和N，试求OM+ON的最大值
61．给定凸四边形ABCD，若在四边形ABCD内有点M，使得△AMB和△CMD为等腰三角形（即AM=MB，CM=MD），且∠AMB=∠CMD=120°，试证存在一点N，使得△BNC和△DNA都是正三角形
62．设CM和BN为△ABC的中线，在边AB及AC上可分别取点P及Q，使得∠ACB的角平分线也是∠MCP的角平分线，且∠ABC的角平分线也是∠NBQ的角平分线，试问AP=AQ是否蕴含△ABC为等腰三角形？
63．设△ABC为锐角三角形，它的外心为O，将△AOC的外心记为T，将边AC的中点记为M，在边AB和BC上分别取点D和E，使得∠BDM=∠BEM=∠ABC，证明BT⊥DE
64．已知正△ABC内一点D，满足∠ADC=150°，证明：由线段AD，BD，CD为边构成的三角形是直角三角形
65．△ABC的外心为O，三条高线AH，BK，CL的垂足分别为H，K，L，A0，B0，C0分别是AH，BK，CL的中点，以I为圆心的内切圆分别切△ABC的三边BC，CA，AB于点D，E，F，证明：A0D，B0E，C0F，OI四线共点（当O，I重合时，直线OI视作任一条过点O的直线）
66．M，N，P分别是△ABC的三边BC，CA，AB的中点，M1，N1，P1在△ABC的边上，且满足MM1，NN1，PP1分别平分△ABC的周长，证明：
5
⑴MM1，NN1，PP1交于同一点K； ⑵
1KAKBKC中至少有一个不小于 ,,BCCAAB367．证明：一个三角形可以被分割成三个多边形（包括三角形），其中之一为钝角三角形，且能重新拼为一个矩形（多边形允许被翻转） 68．已知△ABC中，∠C为直角，D为边AC上一点，K为边BD上一点，且∠ABC=∠KAD=∠AKD，证明：BK=2DC
69．将平面过点O的n（n＞2）条直线作上标记，对于任意如上过点O的两条直线，总存在一条作过标记的直线平分这两条直线所成的角，证明：这n条直线满足相邻直线的夹角相等 70．已知凸四边形ABCD的对角线AC上一点K，满足KD=DC，∠BAC=
1∠KDC，∠DAC= 21′
∠KBC，证明：∠KDA=∠BCA或∠KDA=∠KBA 271．在R△ABC，∠A=90°，∠A的平分线交边BC于点D，点D在边AB，AC上的投影分别为P，Q，若BQ交DP于点M，CP交DQ于点N，BQ交CP于点H， 证明：⑴PM=DN；⑵MN∥BC；⑶AH⊥BC
72．一个凸多边形P被它所有的对角线分成一些小凸多边形，且P满足：它的所有的边和对角线的长度都为有理数，证明：所有小凸多边形的边长都是有理数 73．在锐角△ABC中，|BC|＜|AC|＜|AB|，点D，E分别在边AB，AC上，且满足|BD|=|BC|=|CE|，证明：△ADE的外接圆半径等于△ABC的内心到外心的距离
74．设四边形ABCD是矩形，E，F分别是边BC，CD上的点，且满足△AEF是正三角形，证明：S?ECF?S?ABE?S?AFD
75．对于由平面上任意5个点构成的集合S，满足S中的任意三点不共线，设M（S）和m（S）分别为由S中的3个点构成的三角形的面积的最大值和最小值，求
M(S)的最小值 m(S)76．设ABCDEF是凸六边形，?B??D??F?360?，且
ABCDEF???1，证明：BCDEFABCAEFD???1 CAEFDB77．设M，N分别是△ABC的边AC，BC上的点，且∠ACB=90°，设AN与BM交于点L，证明：△AML，△BNL的垂心与点C三点共线
78．设E，F是ABCD的边AD，CD上的点，∠AEB=∠AFB=90°，EG∥AB，且EG与BF交于点G，若AF交BE于点H，DH交BC于点I，证明：FI⊥GH
79．如图，已知△ABC的∠ACB，∠BAC，∠ABC的外角平分线分别为A1C，B1A，C1B，
6
点A，B，C在A1C，B1A，C1B上的投影分别为A1，B1，C1，若d是△A1B1C1外接圆的直径，r和p分别为△ABC的内切圆半径和半周长，证明：r2+p2=d2 80．求最小的数k，使得
ta?tb?k，其中a,b是三角形的两条边长，ta,tb分别是与这两条a?b边相对应的角平分线长
81．已知△KLM，A在LK的延长线上，试构造矩形ABCD，使得B，C，D分别在边KM，LM，KL所在的直线上
82．已知CH是Rt△ABC的高（∠C=90°），且与角平分线AM，BN分别交于P，Q两点，证明：通过QN，PM中点的直线平行于斜边AB
83．假设ABCD是边长为a的正方形纸板，平面上有两条距离为a的平行线l1和l2，将正方形ABCD放在这个平面上，使得边AB，AD与l1的交点分别为E，F，边CB，CD与l2的交点分别为G，H，设△AEF，△CGH的周长分别为m1，m2，证明：无论怎样放置正方形纸板ABCD，m1?m2是定值
84．假设平面上的n个点中任意三点不共线，且满足下列性质：无论怎样将这n个点分别记为A1，A2，…，An，折线A1A2…An自身不相交，求n的最大值
85．△ABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N，求证：⑴OB⊥DF，OC⊥DE；⑵OH⊥MN
86．已知△ABC的三边长分别为a,b,c，点P在△ABC的内部，P到三条边的距离分别为
a2?b2?c2，其中R为△ABC的外接圆半径，并确定等号成立的条件 p,q,r，证明：R≤318pqr87．已知△ABC覆盖凸多边形M，证明：存在一个与△ABC全等的三角形，能够覆盖M，
并且它的一条边所在的直线与M的一条边所在的直线平行或者重合
88．设P是一个凸多边形，证明：在P内存在一个凸六边形，其面积至少是P的面积的
3 489．设K，M是△ABC的边AB上的两点，L，N是边AC上的两点，K在M，B之间，L在N，C之间，且
BKCL?，求证：△ABC，△AKL，△AMN的垂心在一条直线上 KMLN90．设点O是锐角△ABC的外心，?B??C，直线AO交边BC于点D，△ABD，△ACD的外心分别为点E，F，延长BA和CA，在延长线上分别取点G，H，使得AG=AC，AH=AB，证明：四边形EFGH是矩形的充分必要条件是?ACB??ABC?60?
91．如图所示，在△ABC中，?ABC?90?,D,G是边CA上的两点，联结BD，BG，过点
7
A，G分别作BD的垂线，垂足分别为E，F，联结CF，已知BE=EF，求证：?ABG??DFC 92．在△ABC中，P，Q分别是边AB，AC上的点，且使得?APC??AQB?45?，过点P作边AB的垂线与BQ交于点S，过点Q作边AC的垂线与CP交于点R，设D是BC上的点，且使得AD⊥BC，证明：PS，AD，QR三线共点，且SR∥BC
93．在等腰直角△ABC中，CA=CB=1，点P是△ABC边界上任意一点，求PA·PB·PC的最大值
94．已知正n边形A1A2An，定义点B1,B2,,Bn?1如下：
⑴如果i?1或i?n?1，则Bi是边AiAi?1的中点；
⑵如果i?1,i?n?1,Si是A1Ai?1和AnAi的交点，则Bi是?AiSiAi?1的角平分线与AiAi?1的交点；证明：?A1B1An??A1B2An???A1Bn?1An?180?
95．给定实数a,b,a?b?0，将长为a宽为b的矩形放入一个正方形内（包含边界），问正方形的边至少为多长？
96．证明：三角形的三条中线的和大于其三边之和的
3倍 497．已知△ABC的三边BC，CA，AB上各有一点D，E，F，且满足AD，BE，CF交于一点G，若△AGE，△CGD，△BGF的面积相等，证明：G是△ABC的重心
98．如图，四边形ABCD中，点P满足?PAB??CAD,?PCB??ACD,O1,O2分别是 △ABC，△ADC的外心，求证：△PO1B∽△PO2D
99．已知X是△ABC的边AB上的一点，P为△ACX的内心，Q是△BCX的内心，M是线段PQ的中点，证明：MC＞MX
100．设I为△ABC的内心，P是△ABC内部的一点，满足∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB，证明：AP≥AI，并说明等号成立的充分必要条件是P=I
101．已知△ABC满足?B??C,?A的平分线和过顶点A的高线，中线与边BC分别交于点L，H，D，证明：?HAL??DAL的充分必要条件是?BAC?90?
102．已知△ABC，△PAB和△QAC为△ABC外面的两个三角形，满足AP=AB，AQ=AC以及∠BAP=∠CAQ，线段BG与CP相交于点R，设O是△BCD的外接圆圆心，证明：AO⊥PQ
103．已知非等边△ABC，?A,?B,?C的平分线分别交对边于点A,B,C,AA的中垂线与
'''''A,B,CBC交于点A,BB的中垂线与AC交于点B,CC的中垂线与AB交于点C，证明：
'''''''''''''三点共线
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