5. 设A?{1,2,3,4}，R?{?1,2?,?2,4?,?3,3?}，S?{?1,3?,?2,4?,?4,2?}， (a) 求出RS，RS，R?S，R；
(b) 求出D(R)，R(R)，D(RS)，R(RS)。
6. 证明对任意集合A和A上的二元关系R和S，有
D(RS)?D(R)D(S)，R(R7. 设A是n个元素的集合，证明 (a) A上有2个一元关系； (b) A上有2个二元关系。
n2nS)?R(R)R(S)。
8. 设P1(x,y)?xy?0，P2(x,y)?|x?y|?4，P3(x,y)?x?y?10，
IP1(x,y)?x整除y，试确定由这些谓词所定义的整数集合上的二元关系是否具有以
下特性，将结果用Y(yes)和N(no)填入下表。
自反的 反自反的 对称的 反对称的 传递的 P1 P2 P3 P4 9. 确定整数集合I上的相等关系、?关系、?关系、全域关系、空关系具有哪些特性？试
将结果用类似于上题的表列出。
10. 设A?{1,2,3,4}，A上的下列关系是否可传递？如果不是可传递的，举出反例证明它，
然后找出一个具有最少序偶的关系R，使R包含原关系，并且是可传递的。 (a) R?{?1,1?}； (b) R?{?1,2?,?2,2?}；
(c) R?{?1,2?,?2,3?,?1,3?,?2,1?}；
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(d) R?{?1,2?,?4,3?,?2,2?,?2,1?,?3,1?}。
11. (a) 找出一个非空的最小集合，并在其上定义一个既不是自反的，也不是反自反的关系；
(b) 找出一个非空的最小集合，并在其上定义一个既不是对称的，也不是反对称的关系； (c) 若(a)，(b)二题中允许用空集合，结果将怎样？
12. 考虑任意集合A上的二元关系的集合，如果某一集合运算施于关系后，所得关系仍具
有相同的性质，那么说一个关系的性质在该运算下是保持的。例如自反性质在二元运算并之下是保持的，因为两个自反关系的并是自反的。然而，自反性质在集合的求补运算下是不保持的，因为非空集合上的一个自反关系的绝对补不是一个自反关系。按照在指定的集合运算下给出的性质是否保持，填充下表。对每一非(N)的回答，给出反例。 自反的 反自反的 对称的 反对称的 传递的 2并R1 R2 交R1 R2 相对补R1?R2 绝对补A?A?R1 13. 在R平面上画出下述关系的图，确定对每一关系成立哪些性质。 (a) {?x,y?|x?y}；
(b) {?x,y?|x2?1?0?y?0}； (c) {?x,y?||x|?1?|y|?1}。
3.2 关系的合成
14. 设R1和R2是集合A?{a,b,c,d}上的关系，这里
R1?{?b,b?,?b,c?,?c,a?}，R2?{?b,a?,?c,d?,?c,a?,?d,c?}，
3求出R1R2，R2R1，R1R2R1，R12，R2。
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15. 设R1和R2是集合A?{0,1,2,3}上的关系，这里
R1?{?i,j?|j?i?1?j?i/2}，R2?{?i,j?|i?j?2}，
3求出R1R2，R2R1，R1R2R1，R12，R2。
16. 证明：如果R是集合A上的空关系或全域关系，则R?R。
2R是如图3.3所示的A上的二元关系，17. 设A?{a,b,c,d,e,f,g}，试找出最小的整数m和n，使得m?n，且R?R。
18. 设R1和R2是集合A上的任意关系，证明或否定下列断言： (a) 如果R1和R2是自反的，那么R1R2是自反的； (b) 如果R1和R2是反自反的，那么R1R2是反自反的； (c) 如果R1和R2是对称的，那么R1R2是对称的； (d) 如果R1和R2是反对称的，那么R1R2是反对称的； (e) 如果R1和R2是传递的，那么R1R2是反传递的。
19. R1,R2,R3是集合A上的二元关系，试证明如果R1?R2，那么 (a) R1R3?R2R3； (b) R3R1?R3R2。
20. 设A?{1,2,3,4,5}，R?{?1,2?,?3,4?,?2,2?}，S?{?4,2?,?2,5?,?3,1?}，试求出MRS。
mn?0?021. 设A?{1,2,3,4}，MR???1??0
001000011??0?，求MRn，n?N。 ?0?0?3.3 关系上的闭包运算
22. 试证明如果关系R是自反的，那么R也是自反的；如果R是可传递的、反自反的、对
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称的或反对称的，则R亦然。 23. 如果关系R是反对称的，则在关系RR的关系矩阵中有多少个非零记入值。
24. 设A?{a,b,c}，R和S是A上的二元关系，其关系矩阵是
?110??110?????MR??010?，MS??010?，
?001??011?????试求出MR,MS,MRS,MRR。
25. 设R是A?{1,2,3,4}上的二元关系，其关系矩阵是
?1?0MR???1??1000011110??1?， ?0?0?试求出(a) Mr(R)；(b) Ms(R)；(c) MR2,MR3,MR4和Mt(R)。 26. 设R1和R2是集合A上的关系，且R1?R2，证明下列各式 (a) r(R1)?r(R2)； (b) s(R1)?s(R2)； (c) t(R1)?t(R2)。
27. 设R1和R2是集合A上的关系，证明下列各式 (a) r(R1(b) s(R1(c) t(R1R2)?r(R1)r(R2)； R2)?s(R1)s(R2)； R2)?t(R1)t(R2)；
R2)?t(R1)t(R2)。
2(d) 用反例证明t(R128. 找出n个元素的集合A和A上的二元关系R，使R,R,可能吗？如有可能，试举出例子。
,Rn,Rn?1都是有区别的，这
29. (a) 用反例证明语句“如果R是传递的，那么s(R)也是传递的”为假；
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