1，可知，函数y＝2x2－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为A1(－3，1)，所以，二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1对称后所得到图象的函数解析式为y＝2(x＋3)2－1，即y＝2x2＋12x＋17．
（2）如图2．2－8，把二次函数y＝2x2－4x
y ＋1的图象关于直线x＝－1作对称变换后，只改B(1，3) 变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状． 由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函
y＝1 数y＝2x2－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为B(1，3)，且开口向
O x 下，所以，二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于
A(1,－1) 直线y＝1对称后所得到图象的函数解析式为y
＝－2(x－1)2＋3，即y＝－2x2＋4x＋1．
图2.2－8
练 习
1．选择题：
（1）把函数y＝－(x－1)2＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对
应的解析式为 （ ） （A）y＝ (x＋1)2＋1 （B）y＝－(x＋1)2＋1 （C）y＝－(x－3)2＋4 （D）y＝－(x－3)2＋1
第三讲 三角形的“四心”
三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形
的问题.
如图3.2-1 ，在三角形△ABC中，有三条边AB,BC,CA，三个顶点A,B,C，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.
三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.
例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分图3.2-1 图3.2-2 成的两段长度之比为2：1. 图3.2-3 已知 D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，
求证 AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1. 证明 连结DE，设AD、BE交于点G，
25
QD、E分别为BC、AE的中点，则DE//AB，且DE=1AB， 2\\VGDE∽VGAB，且相似比为1：2，
\\AG=2GD,BG=2GE.
图3.2-4
设AD、CF交于点G'，同理可得，AG'=2G'D,CG'=2G'F. 则G与G'重合，
\\ AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2:1.
三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）
图3.2-5
例2 已知VABC的三边长分别为BC=a,AC=b,AB=c，I为VABC的内心，且I在VABC的边BC、AC、AB上的射影分别为D、E、F，求证：
b+c-a. AE=AF=2证明 作VABC的内切圆，则D、E、F分别为内切圆在三边上的切点，
QAE,AF为圆的从同一点作的两条切线，
\\AE=AF，
同理，BD=BF，CD=CE.
\\b+c-a=AF+BF+AE+CE-BD-CD=AF+AE=2AF=2AE
图3.2-6
b+c-a. 2例3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形. 已知 O为三角形ABC的重心和内心. 求证 三角形ABC为等边三角形.
证明 如图，连AO并延长交BC于D.
QO为三角形的内心，故AD平分DBAC， ABBD\\=（角平分线性质定理） ACDCQO为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC.
AB\\=1，即AB=AC. AC即AE=AF=图3.2-7
26
同理可得，AB=BC. \\VABC为等边三角形.
三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）
例4 求证：三角形的三条高交于一点.
已知 VABC中，AD^BC于D,BE^AC于E，AD与BE交于H点. 求证 CH^AB.
证明 以CH为直径作圆，
QAD^BC,BE^AC,\\?HDC?HEC90o,
图3.2-8
\\D、E在以CH为直径的圆上， \\?FCB?DEH.
同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得?BED?BAD. \\?BCH?BAD，
又VABD与VCBF有公共角DB，\\?CFB
?ADBo图3.2-9
90，即CH^AB.
过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.
练习1
1．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.
2． （1） 若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为a、b、c，则三角形的内切圆的半径是___________;
（2）若直角三角形的三边长分别为a、b、c（其中c为斜边长），则三角形的内切圆的半径是___________. 并请说明理由.
27