由①得 a＜4，
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由②得 a＜4 ．∴a的取值范围是a＜4． 练 习
1．选择题：
（1）方程x?23kx?3k?0的根的情况是 （ ） （A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根
（2）若关于x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值
范围是 （ ） （A）m＜
2211 （B）m＞－ 4411 （C）m＜，且m≠0 （D）m＞－，且m≠0
4411?＝ ． x1x22．填空:
（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则
（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 ． （3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．
3．已知a2?8a?16?|b?1|?0，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实
数根？
4．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－3)( x2－3)的值．
习题2.1 A 组
1．选择题:
（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2 （2）下列四个说法：
①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7； ②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；
③方程3 x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为?7； 3④方程3 x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．
其中正确说法的个数是 （ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1
2．填空:
（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ ．
（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．
（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．
（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则| x1－x2|＝ ．
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3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实
数根？有两个相等的实数根？没有实数根？
4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．
B 组
1．选择题:
若关于x的方程x2＋(k2－1) x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为
（ ）
（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0 2．填空:
（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等
于 ．
（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值
是 ．
3．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围． 4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求： （1）| x1－x2|和
x1?x2； 2（2）x13＋x23．
5．关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足| x1－x2|＝2，求实数m的值．
C 组
1．选择题：
（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直
角三角形的斜边长等于 （ ）
（A）3 （B）3 （C）6 （D）9 （2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则
x1x2?的值为 （ ） x2x13 （A）6 （B）4 （C）3 （D）
2（3）如果关于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为
（ ） （A）α＋β≥
11 （B）α＋β≤ （C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1 22c（4）已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋＝0的根的情况是
4（ ）
（A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根 2．填空：
若方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，则m＝ ． 3． 已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．
（1）是否存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－
在，说明理由； （2）求使
3成立？若存在，求出k的值；若不存2x1x2?－2的值为整数的实数k的整数值； x2x1 14
（3）若k＝－2，??2x1，试求?的值． x2m2?0． 4．已知关于x的方程x?(m?2)x?4（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；
（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2． 5．若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围．
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2．2 二次函数
2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，
如作图（1）y?x (2) y??x (3) y?x?2x?3 教师可采用计算机绘图软件辅助教学}
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问题1 函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？
1为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝x2，y＝－2x2的图象，通
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过这些函数图象与函数y＝x的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系．
先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象． 先列表： x … 0 1 2 3 … －3 －2 －1 x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … 2x2 … 18 8 2 0 2 8 18 从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应y 2y＝x2 的x2的值扩大两倍就可以了． y＝2x 再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y1x O ＝x2，y＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象2图2.2-1 与函数y＝x2的图象之间的关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论： y 22二次函数y＝ax(a≠0)的图象可以由y＝x
y＝2(x＋1)2＋1 的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了y＝2(x＋1)2 图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的y＝2x2 大小．
问题2 函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？
同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y＝2(x＋1)2＋1与y＝2x2的图象（如
x －1 O 图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，
图2.2-2
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