24.(10.00分)如图,直角坐标系xOy中,一次函数y=﹣x+5的图象l1分别与x,y轴交于A,B两点,正比例函数的图象l2与l1交于点C(m,4). (1)求m的值及l2的解析式; (2)求S△AOC﹣S△BOC的值;
(3)一次函数y=kx+1的图象为l3,且11,l2,l3不能围成三角形,直接写出k的值.
【分析】(1)先求得点C的坐标,再运用待定系数法即可得到l2的解析式; (2)过C作CD⊥AO于D,CE⊥BO于E,则CD=4,CE=2,再根据A(10,0),B(0,5),可得AO=10,BO=5,进而得出S△AOC﹣S△BOC的值;
(3)分三种情况:当l3经过点C(2,4)时,k=;当l2,l3平行时,k=2;当11,l3平行时,k=﹣;故k的值为或2或﹣.
【解答】解:(1)把C(m,4)代入一次函数y=﹣x+5,可得 4=﹣m+5, 解得m=2, ∴C(2,4),
设l2的解析式为y=ax,则4=2a, 解得a=2,
∴l2的解析式为y=2x;
(2)如图,过C作CD⊥AO于D,CE⊥BO于E,则CD=4,CE=2, y=﹣x+5,令x=0,则y=5;令y=0,则x=10, ∴A(10,0),B(0,5),
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∴AO=10,BO=5,
∴S△AOC﹣S△BOC=×10×4﹣×5×2=20﹣5=15;
(3)一次函数y=kx+1的图象为l3,且11,l2,l3不能围成三角形, ∴当l3经过点C(2,4)时,k=; 当l2,l3平行时,k=2; 当11,l3平行时,k=﹣; 故k的值为或2或﹣.
【点评】本题主要考查一次函数的综合应用,解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰直角三形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及分类讨论思想等.
25.(10.00分)如图,点A在数轴上对应的数为26,以原点O为圆心,OA为半径作优弧
,使点B在O右下方,且tan∠AOB=,在优弧
上任取一点P,且
能过P作直线l∥OB交数轴于点Q,设Q在数轴上对应的数为x,连接OP. (1)若优弧
上一段
的长为13π,求∠AOP的度数及x的值;
所在圆的位置关系;
(2)求x的最小值,并指出此时直线l与
(3)若线段PQ的长为12.5,直接写出这时x的值.
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【分析】(1)利用弧长公式求出圆心角即可解决问题; (2)如图当直线PQ与⊙O相切时时,x的值最小. (3)由于P是优弧可解决问题.
【解答】解:(1)如图1中,
上的任意一点,所以P点的位置分三种情形,分别求解即
由=13π,
解得n=90°, ∴∠POQ=90°, ∵PQ∥OB, ∴∠PQO=∠BOQ, ∴tan∠PQO=tan∠QOB==∴OQ=∴x=
,
, .
(2)如图当直线PQ与⊙O相切时时,x的值最小.
在Rt△OPQ中,OQ=OP÷=32.5, 此时x的值为﹣32.5.
(3)分三种情况:
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①如图2中,作OH⊥PQ于H,设OH=4k,QH=3k.
在Rt△OPH中,∵OP2=OH2+PH2, ∴262=(4k)2+(12.5﹣3k)2, 整理得:k2﹣3k﹣20.79=0, 解得k=6.3或﹣3.3(舍弃), ∴OQ=5k=31.5. 此时x的值为31.5.
②如图3中,作OH⊥PQ交PQ的延长线于H.设OH=4k,QH=3k.
在Rt△在Rt△OPH中,∵OP2=OH2+PH2, ∴262=(4k)2+(12.5+3k)2, 整理得:k2+3k﹣20.79=0, 解得k=﹣6.3(舍弃)或3.3, ∴OQ=5k=16.5, 此时x的值为﹣16.5.
③如图4中,作OH⊥PQ于H,设OH=4k,AH=3k.
在Rt△OPH中,∵OP2=OH2+PH2,
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