ρXY=cov(X,Y)D(X)D(Y)=62?18=1.
习题3
设随机变量X的方差D(X)=16, 随机变量Y的方差D(Y)=25, 又X与Y的相关系数
ρXY=0.5, 求D(X+Y)与D(X-Y).
解答：
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=D(X)+D(Y)+2D(X)D(Y)ρXY =16+25+2×4×5×0.5=61,
D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)=D(X)+D(Y)-2D(X)D(Y)ρXY =16+25-2×4×5×0.5=21.
习题4
设(X,Y)服从单位圆域G:x2+y2≤1上的均匀分布，证明X,Y不相关. 解答：
E(XY)=∫∫x2+y2≤11πxydxdy =1π∫-11dxdy∫-1-x21-x2ydy=0, 又
E(X)=∫∫x2+y2≤11πxdxdy=1π∫-11xdx∫-1-x21-x2dy=1π∫-112x1-x2dx=0,
同理，E(Y)=0, 故
cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,
即X,Y不相关. 习题5
设100件产品中的一，二，三等品率分别为0.8,0.1和0.1. 现从中随机地取1件，并记
Xi={1,取得i等品0,其它(i=1,2,3),
求ρX1X2. 解答：
首先求(X1,X2)的联合分布
P{X1=0,X2=0}=P{X3=1}=0.1, P{X1=0,X2=1}=P{X2=1}=0.1,
P{X1=1,X2=0}=P{X1=1}=0.8, P{X1=1,X2=1}=P(?)=0.
关于X1和X2的边缘分布律为
P{X1=1}=0.8, P{X1=0}=0.2, P{X2=1}=0.1, P{X2=0}=0.9.
于是E(X1)=0.8, D(X1)=0.16; E(X2)=0.1, D(X2)=0.09. 从而
ρX1X2=cov(X1,X2)D(X1)D(X2)=E(X1X2)-E(X1)E(X2)D(X1)D(X2) =1×0+0×0.8+0×0.1+0×0.1-0.080.4×0.3=-23. 习题6
设X～N(μ,σ2),Y～N(μ,σ2), 且X,Y相互独立，试求Z1=αX+βY和Z2=αX-βY的相关系数(其中α,β是不为零的常数). 解答：
cov(Z1,Z2)=cov(αX+βY,αX-βY)=α2cov(X,X)-β2cov(Y,Y)
=α2D(X)-β2D(Y)=(α2-β2)σ2,
D(Z1)=D(αX+βY)=α2D(X)+β2D(Y)+2αβcov(X,Y), D(Z2)=D(αX-βY)=α2D(X)+β2D(Y)-2αβcov(X,Y).
因为X,Y相互独立，所以cov(X,Y)=0, 故
D(Z1)=(α2+β2)σ2,D(Z2)=(α2+β2)σ2,
相关系数ρ=cov(Z1,Z2)D(Z1)D(Z2)=α2-β2α2+β2. 习题7
设随机变量(X,Y)具有概率密度
f(x,y)={18(x+y),0≤x≤2,0≤y≤20,其它,
求E(X),E(Y),cov(X,Y),ρXY,D(X+Y). 解答：
E(X)=∫-∞+∞∫-∞+∞xf(x,y)dydx=∫02∫02x?18(x+y)dydx=76.
由对称性知，E(Y)=76,
E(XY)=∫-∞+∞∫-∞+∞xyf(x,y)dxdy=∫02∫02xy?18(x+y)dxdy
=∫0218(83y+2y2)dy=43,
于是cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=43-76×76=-136，
E(X2)=∫02∫02x2?18(x+y)dydx=14∫02(x3+x2)dx=53.
由对称性知，E(Y2)=53, 故
D(X)=E(X2)-[E(X)]2=53-(76)2=1136,D(Y)=1136,
ρXY=cov(X,Y)D(X)D(Y)=-1361136=-111,
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=1136+1136-2×136=59.
习题8
设随机变(X,Y)的分布律为
Y\\X -101
-101 1/81/81/81/801/81/81/81/8 验证X和Y是不相关的，且X和Y不相互独立. 解答：
先求X,Y的边缘分布律
X -101 Y -101 pk 3/82/83/8 pk 3/82/83/8 因为p00≠p0?p?0, 所以X与Y不是独立的，又 E(X)=-1×38+1×38=0,E(Y)=-1×38+1×38=0, E(XY)=(-1)×(-1)×18+(-1)×1×18+1×(-1)×18+1×1×18=0,
于是cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0, 即ρXY=0. 因此，X与Y是不相关的. 习题9
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)={1/π,x2+y2≤10,其它,
试验证X和Y是不相关的，且X和Y不相互独立. 解答：
首先求fX(x)和fY(y).
fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫-1-x21-x21πdy=2π1-x2,-1≤x≤10,其它, fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫-1-y21-y21πdx=2π1-y2,-1≤y≤10,其它,
E(X)=∫-∞+∞fX(x)dx=∫-11x?2π1-x2dx=0,
同理可得E(Y)=0,
E(XY)=∫-∞+∞∫-∞+∞xyf(x,y)dxdy=∫∫x2+y2≤11πxydxdy=0.
因此cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0, 即
ρXY=0,
故X与Y是不相互独立的.
又因为f(x,y)≠fX(x)fY(y), 故X与Y不是相互独立的. 习题10
设(X,Y)服从二维正态分布，且X～N(0,3),Y～N(0,4), 相关系数ρXY=-1/4, 试写出X与
Y的联合概率密度.
解答：
依题意知，二维正态分布5个参数分别为
μ1=0,μ2=0,σ12=3,σ22=4,ρXY=-14,
故X,Y的联合概率密度为
f(x,y)=12π?325e-115/8[x23-2(-14)x3?y2+y24]=135πe-815(x23+xy43+y24).
习题11
设(X,Y)服从二维正态分布，且有D(X)=σX2,D(Y)=σY2. 证明：当a2=σX2σY2时随机变量W=X-aY与V=X+aY相互独立. 解答：
根据多维正态分布的性质可知，由于(X,Y)服从二维正态分布，故W与V的联合分布也是二维正态分布. 又知，二维正态分布二分量间相互独立与不相关是等价的，因此，欲证明W与V相互独立，也就是要证cov(W,V)=0, 为此求cov(W,V).
cov(W,V)=cov(X-aY,X+aY)=D(X)-a2D(Y)=σX2-a2σY2.
令cov(W,V)=0, 即σX2-a2σY2=0, 则得a2=σX2σY2, 故证得当a2=σX2σY2时，随机变量W与V相互独立，其中
W=X+aY,V=X+aY.
习题12
设随机变量X的概率密度为
f(x)={0.5x,0 求随机变量X的1至4阶原点矩和中心矩. 解答： 由公式vk=E(Xk)=∫-∞+∞xkf(x)dx=∫02xk(0.5x)dx, 求原点矩v1=∫02x(0.5)dx=12∫02x2dx=12×13x3∣02=43, v2=∫02x2(0.5x)dx=12∫02x3dx=12×14x4∣02=2, v3=∫02x3(0.5x)dx=12×15x5∣02=3.2, v4=∫02x4(0.5x)dx=12×16x6∣02=163; 求中心矩：任何变量的一阶中心距均为0, 即μ1=0, 由中心矩与原矩的关系有 μ2=v2-v12=2-(43)2=29, μ3=v3-3v2v1+2v13=3.2-3×2×43+2×(43)3=-8135, μ4=v4-4v3v1+612v2-3v14=16135. 习题13 设随机变量X服从拉普拉斯分布，其概率密度为 f(x)=12λe-∣x∣λ,-∞ 解答： 由于E(X)=∫-∞+∞xf(x)dx=12λ∫-∞+∞xe-∣x∣λdx=0, 所以 μk=E([X-E(X)]k)=E(Xk)=12λ∫-∞+∞xke-∣x∣λdx. 因此，当k为奇数时，可得μk=0. 当k为偶数时，有 μk=12λ∫0+∞xke-xλdx+12λ∫-∞0xkexλdx=1λ∫0+∞xke-xλdx =λk∫0+∞tke-tdt=λkΓ(k+1)=λk?k!, 故 μk={0,k为奇数时λkk!,k为偶数时. 4.4 大数定理与中心极限定理 习题1 一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X, 估计P{10 记Xi(i=1,2,3,4)为第i次掷骰子出现的点数，则Xi的分布为 Xi 1 2 3 4 5 6 pi 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 E(Xi)=16(1+2+3+4+5+6)=72, E(Xi2)=16(1+4+9+16+25+36)=916, D(Xi)=E(Xi2)-[E(Xi)]2=916-494=3512, 一颗骰子连续掷4次，点数总和