由题设知，X的分布律为
P{X=k}=λkk!e-λ(λ>0)
由P{X=1}=P{X=2}, 得λ11!e-λ=λ22!e-λ，即
λ=0(舍去), λ=2.
所以E(X)=2,D(X)=2. 习题2
下列命题中错误的是().
(A)若X～p(λ), 则E(X)=D(X)=λ;
(B)若X服从参数为λ的指数分布，则E(X)=D(X)=1λ; (C)若X～b(1,θ),则E(X)=θ,D(X)=θ(1-θ);
(D)若X服从区间[a,b]上的均匀分布，则E(X2)=a2+ab+b23.
解答： 应选(B).
E(X)=1λ,D(X)=1λ2.
习题3
设X1,X2,?,Xn是相互独立的随机变量，且都服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0), 则
ξˉ=1n∑i=1nξi服从的分布是ˉ.
解答：
由多维随机变量函数的分布知：
有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且
E(Xˉ)=μ,D(Xˉ)=σ2n.
习题4
若Xi～N(μi,σi2)(i=1,2,?,n), 且X1,X2,?,Xn相互独立，则Y=∑i=1n(aiXi+bi)服从的分布是 . 解答：
应填N(∑i=1n(aiμi+bi),∑i=1nai2σi2). 由多维随机变量函数的分布知：
有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且
E(Y)=∑i=1n(aiμi+bi),D(Y)=∑i=1nai2σi2.
习题5
设随机变量X服从泊松分布，且
3P{X=1}+2P{X=2}=4P{X=0},
求X的期望与方差. 解答：
X的分布律为 P{X=k}=λkk!e-λ, k=0,1,2,?, 于是由已知条件得 3×λ11!e-λ+2×λ22!e-λ=4×λ00!e-λ, 即λ2+3λ-4=0, 解之得λ=-4(舍), λ=1, 故 E(X)=λ=1, D(X)=λ=1. 习题6 设甲，乙两家灯泡厂生产的寿命(单位：小时)X和Y的分布律分别为 X 900 1000 1100 pi 0.1 0.8 0.1 Y 950 1000 1050 pi 0.3 0.4 0.3 试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？ 解答： 哪家工厂的灯泡寿命期望值大，哪家的灯泡质量就好.由期望的定义有 E(X)=900×0.1+1000×0.8+1100×0.1=1000, E(Y)=950×0.3+1000×0.4+1050×0.3=1000. 今两厂灯泡的期望值相等： E(X)=E(Y)=1000, 即甲，乙两厂的生产水平相当. 这就需要进一步考察哪家工厂灯泡的质量比较稳定，即看哪家工厂的灯泡寿命取值更集中一些，这就需要比较其方差.方差小的，寿命值较稳定，灯泡质量较好，则方差的定义式得 D(X)=(900-1000)2×0.1+(1000-1000)2×0.8+(1100-1000)2×0.1=2200, D(Y)=(950-1000)2×0.3+(1000-1000)2×0.4+(1050-1000)2×0.3=1500. 因D(X)>D(Y), 故乙厂生产的灯泡质量较甲厂稳定. 习题7 已知X～b(n,p), 且E(X)=3,D(X)=2, 试求X的全部可能取值，并计算P{X≤8}. 解答： \\becauseE(X)=np,D(X)=np(1-p), ∴{np=3np(1-p)=2, 即{n=9p=13, ∴X的取值为：0,1,2,?,9, P{X≤8}=1-P{X=9}=1-(13)9. 习题8 设X～N(1,2), Y服从参数为3的(泊松)分布，且X与Y独立，求D(XY). 解答：
\\becauseD(XY)=E(XY)2-E2(XY)=E(X2Y2)-E2(X)2(Y),
又\\becauseE(X2Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞x2y2f(x,y)dxdy=∫-∞+∞x2fX(x)dx∫-∞+∞y2fY(y)dy =E(X2)E(Y2),
∴D(XY)=E(X2)E(Y2)-E2(X)E2(Y)
=[D(X)+E2(X)][D(Y)+E2(Y)]-E2(X)E2(Y) =D(X)D(Y)+D(X)E2(Y)+D(Y)E2(X) =2×3+2×32+3×12=27.
习题9
设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且有
E(Xi)=i,D(Xi)=5-i,i=1,2,3,4,
又设Y=2X1-X2+3X3-12X4, 求E(Y),D(Y). 解答：
E(Y)=E(2X1-X2+3X3-12X4)=2E(X1)-E(X2)+3E(X3)-12E(X4)
=2×1-2+3×3-12×4=7,
D(Y)=4D(X1)+D(X2)+9D(X3)+14D(X4)=4×4+3+9×2+14×1=37.25.
习题10
5家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量(以kg计)分别为
X1,X2, X3, X4,X5. 已知
X1～N(200,225), X2～N(240,240), X3～N(180,225), X4～N(260,265), X5～N(320,270),
X1,X2,X3,X4,X5相互独立.
(1)求5家商店两周的总销售量的均值和方差；
(2)商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店
的仓库应至少储存该产品多少千克？ 解答：
(1)设总销售量为X,由题设条件知
X=X1+X2+X3+X4+X5,
于是E(X)=∑i=15E(Xi)=200+240+180+260+320=1200, D(X)=∑i=15D(Xi)=225+240+225+265+270=1225.
(2)设商店的仓库应至少储存y千克该产品，为使P{X≤y}>0.99,
求y. 由(1)易知，X～N(1200,1225),
P{X≤y}=P{X-12001225≤y-12001225=Φ(y-12001225)>0.99.
查标准正态分布表得y-12001225=2.33,
y=2.33×1225+1200≈1282(kg).
习题11
设随机变量X1,X2,?,Xn相互独立，且都服从数学期望为1的指数分布，求
Z=min{X1,X2,?,Xn}
的数学期望和方差. 解答：
Xi(i=1,2,?,n)的分布函数为
F(x)={1-e-x,x>00,其它,
Z=min{X1,X2,?,Xn}的分布函数为
FZ(z)=1-[1-F(z)]n={1-e-nz,z>00,其它,
于是E(Z)=∫0∞zne-nzdz=-ze-nz∣0∞+e-nzdz=1n, 而
E(Z2)=∫0∞z2ne-nzdz=2n2,
于是
D(Z)=E(Z2)-(E(Z))2=1n2.
4.3 协方差与相关系数
习题1
设(X,Y)服从二维正态分布，则下列条件中不是X,Y相互独立的充分必要条件是().
(A)X,Y不相关； (B)E(XY)=E(X)E(Y); (C)cov(X,Y)=0; (D)E(X)=E(Y)=0.
解答： 应选（D）。
当(X,Y)服从二维正态分布时，
不相关性?独立性
若(X,Y)服从一般的分布，则
X,Y相互独立?X,Y不相关
反之未必.
习题2
设X服从参数为2的泊松分布，Y=3X-2, 试求E(Y),D(Y),cov(X,Y)及ρXY. 解答：
E(Y)=E(3X-2)=3E(X)-2=3×2-2=4 D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=9×2=18, cov(X,Y)=cov(X,3X-2)=3D(X)=6,