?π?故sin C＝sin(A＋B)＝sin?B＋?
3??
ππ321
＝sin Bcos＋cos Bsin＝.
3314133
所以△ABC的面积为absin C＝.
22
专题一 规范滚动训练(一)
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解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
1．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且3a＝2csin A. (1)求角C的大小；
(2)若c＝2，且△ABC的面积为3，求a＋b的值． 解：(1)由题意得3a3sin A＝sin A，由正弦定理得＝sin A， 2c2sin C3
，又0°＜C＜90°， 2
又sin A≠0，∴sin C＝∴C＝60°.
1
(2)∵S△ABC＝absin 60°＝3，∴ab＝4.
2
又c＝2，∴由余弦定理得c＝a＋b－2abcos 60°， 1222
即4＝a＋b－2ab·，即4＝(a＋b)－2ab－ab，
2∴(a＋b)＝4＋3ab＝16，∴a＋b＝4. 2．已知函数f(x)＝2cos πx·cos分图象如图所示．
2
2
2
2
2
π?φ?＋sin[(x＋1)π]·sin φ－cos πx?0＜φ＜?的部2?2?
(1)求φ的值及图中x0的值；
1
(2)将函数f(x)的图象上的各点向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标不变，
6
?11?纵坐标伸长到原来的3倍，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间?－，?上的最大值?23?
和最小值．
解：(1)f(x)＝2cos πx·cosπx·?2cos
2
φ
＋sin[(x＋1)π]·sin φ－cos πx＝cos 2
??
2
φ
－1??－sin πx·sin φ 2?
＝cos πx·cos φ－sin πx·sin φ＝cos(πx＋φ)． 由题图可知，cos φ＝
3ππ
，又0＜φ＜，所以φ＝. 226
π?3π11π?又cos?πx0＋?＝，所以πx0＋＝，
6?266?5
所以x0＝.
3
π?1?(2)由(1)可知f(x)＝cos?πx＋?，将图象上的各点向左平移个单位长度得到y＝6?6?
??1?π?cos?π?x＋?＋?
??6?6?
π??＝cos?πx＋?的图象，然后将各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍后得到g(x)3??π??＝3cos?πx＋?的图象． 3??
ππ2π?11?因为x∈?－，?，所以－≤πx＋≤.
633?23?
π1
所以当πx＋＝0，即x＝－时，g(x)取得最大值3；
33π2π13
当πx＋＝，即x＝时，g(x)取得最小值－.
3332
3．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量m＝(2b,1)，n＝(2a－c，cos
C)，且m∥n.
(1)若b＝ac，试判断△ABC的形状； 2cos 2A(2)求y＝1－的值域．
1＋tan A解：(1)由已知，m∥n，则2bcos C＝2a－c， 由正弦定理，得2sin Bcos C＝2sin(B＋C)－sin C， 即2sin Bcos C＝2sin Bcos C＋2cos Bsin C－sin C， π
在△ABC中，sin C≠0，因而2cos B＝1，则B＝. 3又b＝ac，b＝a＋c－2accos B，
π222
因而ac＝a＋c－2accos ，即(a－c)＝0，
3
2
2
2
2
2
所以a＝c，△ABC为等边三角形． 2cos 2A(2)y＝1－ 1＋tan A2＝1－
cosA－sinA sin A1＋
cos A2
2
＝1－2cos A(cos A－sin A) ＝sin 2A－cos 2A
π?π??2π?＝2sin?2A－?，由已知条件B＝知A∈?0，?. 4?3?3??π?π3π?所以，2A－∈?－，?.
4?4?4因而所求函数的值域为(－1，2]．
?π??π?4．已知函数f(x)＝2sin?x－?sin?x＋?，x∈R.
6?3???
(1)求函数f(x)的最小正周期；
π?Cπ?1
(2)在△ABC中，若A＝，c＝2，且锐角C满足f?＋?＝，求△ABC的面积S.
4?26?2解：(1)由题意得，
f(x)＝2sin?x－?sin?x＋?
63
??
π??
??
π?
?
?π??π?π??＝2sin?x－?sin?＋?x－??
6??6???2??π??π?＝2sin?x－?cos?x－?
6?6???
π??＝sin?2x－?， 3??
2π
所以函数f(x)的最小正周期为＝π.
2
??Cπ?π??Cπ?(2)由(1)得，f?＋?＝sin?2?＋?－?＝sin C，
?26???26?3?
1π
所以sin C＝，又角C为锐角，所以C＝.
26π
sin4asin A由正弦定理，得＝＝＝csin Cπ
sin6又c＝2，所以a＝22.
22
＝2， 12
又sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝116＋2
所以△ABC的面积S＝acsin B＝×22×2×＝1＋3.
224
6＋2
， 4