2017届高考数学二轮复习第2部分专题一三角函数与解三角形必考点

?π?故sin C=sin(A+B)=sin?B+?

3??

ππ321

=sin Bcos+cos Bsin=.

3314133

所以△ABC的面积为absin C=.

22

专题一 规范滚动训练(一)

(建议用时45分钟)

解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

1.在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且3a=2csin A. (1)求角C的大小;

(2)若c=2,且△ABC的面积为3,求a+b的值. 解:(1)由题意得3a3sin A=sin A,由正弦定理得=sin A, 2c2sin C3

,又0°<C<90°, 2

又sin A≠0,∴sin C=∴C=60°.

1

(2)∵S△ABC=absin 60°=3,∴ab=4.

2

又c=2,∴由余弦定理得c=a+b-2abcos 60°, 1222

即4=a+b-2ab·,即4=(a+b)-2ab-ab,

2∴(a+b)=4+3ab=16,∴a+b=4. 2.已知函数f(x)=2cos πx·cos分图象如图所示.

2

2

2

2

2

π?φ?+sin[(x+1)π]·sin φ-cos πx?0<φ<?的部2?2?

(1)求φ的值及图中x0的值;

1

(2)将函数f(x)的图象上的各点向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标不变,

6

?11?纵坐标伸长到原来的3倍,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间?-,?上的最大值?23?

和最小值.

解:(1)f(x)=2cos πx·cosπx·?2cos

2

φ

+sin[(x+1)π]·sin φ-cos πx=cos 2

??

2

φ

-1??-sin πx·sin φ 2?

=cos πx·cos φ-sin πx·sin φ=cos(πx+φ). 由题图可知,cos φ=

3ππ

,又0<φ<,所以φ=. 226

π?3π11π?又cos?πx0+?=,所以πx0+=,

6?266?5

所以x0=.

3

π?1?(2)由(1)可知f(x)=cos?πx+?,将图象上的各点向左平移个单位长度得到y=6?6?

??1?π?cos?π?x+?+?

??6?6?

π??=cos?πx+?的图象,然后将各点的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的3倍后得到g(x)3??π??=3cos?πx+?的图象. 3??

ππ2π?11?因为x∈?-,?,所以-≤πx+≤.

633?23?

π1

所以当πx+=0,即x=-时,g(x)取得最大值3;

33π2π13

当πx+=,即x=时,g(x)取得最小值-.

3332

3.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,向量m=(2b,1),n=(2a-c,cos

C),且m∥n.

(1)若b=ac,试判断△ABC的形状; 2cos 2A(2)求y=1-的值域.

1+tan A解:(1)由已知,m∥n,则2bcos C=2a-c, 由正弦定理,得2sin Bcos C=2sin(B+C)-sin C, 即2sin Bcos C=2sin Bcos C+2cos Bsin C-sin C, π

在△ABC中,sin C≠0,因而2cos B=1,则B=. 3又b=ac,b=a+c-2accos B,

π222

因而ac=a+c-2accos ,即(a-c)=0,

3

2

2

2

2

2

所以a=c,△ABC为等边三角形. 2cos 2A(2)y=1- 1+tan A2=1-

cosA-sinA sin A1+

cos A2

2

=1-2cos A(cos A-sin A) =sin 2A-cos 2A

π?π??2π?=2sin?2A-?,由已知条件B=知A∈?0,?. 4?3?3??π?π3π?所以,2A-∈?-,?.

4?4?4因而所求函数的值域为(-1,2].

?π??π?4.已知函数f(x)=2sin?x-?sin?x+?,x∈R.

6?3???

(1)求函数f(x)的最小正周期;

π?Cπ?1

(2)在△ABC中,若A=,c=2,且锐角C满足f?+?=,求△ABC的面积S.

4?26?2解:(1)由题意得,

f(x)=2sin?x-?sin?x+?

63

??

π??

??

π?

?

?π??π?π??=2sin?x-?sin?+?x-??

6??6???2??π??π?=2sin?x-?cos?x-?

6?6???

π??=sin?2x-?, 3??

所以函数f(x)的最小正周期为=π.

2

??Cπ?π??Cπ?(2)由(1)得,f?+?=sin?2?+?-?=sin C,

?26???26?3?

所以sin C=,又角C为锐角,所以C=.

26π

sin4asin A由正弦定理,得===csin Cπ

sin6又c=2,所以a=22.

22

=2, 12

又sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=116+2

所以△ABC的面积S=acsin B=×22×2×=1+3.

224

6+2

, 4

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