专题一 三角函数与解三角形
必考点一 三角函数图象与性质
类型一 学会踩点
3?π?2
[例1] (本题满分12分)已知函数f(x)＝cos x·sin?x＋?－3cosx＋，x∈R.
3?4?(1)求f(x)的最小正周期；
?ππ?(2)求f(x)在闭区间x∈?－，?上的最大值和最小值．
?44?
3133?1?2
解：(1)由已知得f(x)＝cos x·?sin x＋cos x?－3cosx＋＝sin x·cos x－
4222?2?cosx＋
2
3
(2分) 4
13313
＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋＝sin 2x－cos 2x(4分) 44444π?1?
＝sin?2x－?.(6分)
3?2?
2π
所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.(7分)
2
π??π?ππ?(2)因为f(x)在区间?－，－?上是减函数，在区间?－，?上是增函数．(10分) 12??4?124?
f?－?＝－，f?－?＝－，f??＝.(11分)
4?12?2?4?4?4?
11?ππ?所以，函数f(x)在闭区间?－，?上的最大值为，最小值为－.(12分)
42?44?评分细则：得分点及踩点说明
(1)第(1)问无化简过程，直接得到f(x)＝
π?1?
sin?2x－?，扣5分．每一步用公式正确就得分．
3?2?
(2)化简结果错误，但中间某一步正确，给2分．
1?π?111?π?(3)第(2)问只求出f?－?＝－，f??＝得出最大值为，最小值为－，得1分．
4?4?444?4?(4)若单调性出错，只得1分． (5)单调性正确，但计算错误，扣2分．
π
(6)若求出2x－的范围，再求函数的最值，同样得分．
3
?π?
1
?π?1
?π?1
π??1．已知函数f(x)＝4cos ωx·sin?ωx＋?(ω＞0)的最小正周期为π. 4??(1)求ω的值；
?π?(2)讨论f(x)在区间?0，?上的单调性．
2??
π??解：(1)f(x)＝4cos ωxsin?ωx＋?
4??＝22sin ωxcos ωx＋22cosωx ＝2(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋2 π??＝2sin?2ωx＋?＋2.
4??
因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0， 2π
所以＝π，故ω＝1.
2ω
π??(2)由(1)知，f(x)＝2sin?2x＋?＋2. 4??πππ5π
若0≤x≤，则≤2x＋≤. 2444
ππππ
当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增； 4428ππ5πππ
当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减． 24482
2
?π??ππ?综上可知，f(x)在?0，?上单调递增，在?，?上单调递减．
8???82?
类型二 学会审题
ππ?π?[例2] 已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)?ω＞0，－≤φ＜?的图象关于直线x＝对
22?3?称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；
2π?3π?3?π?α??(2)若f??＝?＜α＜?，求cos?α＋?的值．
3?2??2?4?6?审题路线图
(1)条件：fx图象上相邻两个最高点距离为π
fx的周期为π
ω＝2 条件：fx图象关于直线x＝对称
π3
ππ2×＋φ＝kπ＋32
k∈Z
πφ＝－
6
3?α?(2)条件：f??＝
?2?4
π?1?sin?α－?＝ 6?4?
π?15?cos?α－?＝ 6?4?
3π?3＋15?cos?α＋?＝ 2?8?
[规范解答] (1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π， 2π
所以f(x)的最小正周期为T＝π，从而ω＝＝2.
T
π
又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，
3ππ
所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z.
32ππ
由－≤φ＜，得k＝0，
22π2ππ所以φ＝－＝－.
236
3?α??απ?(2)由(1)得f??＝3sin?2·－?＝，
26?4?2??π?1?所以sin?α－?＝. 6?4?π2π
由＜α＜， 63ππ得0＜α－＜，
62π??所以cos?α－?＝6??
π?2?1－sin?α－?＝
6??
15?1?2
1－??＝. 4?4?
π?π?3π????α－α＋所以cos??＋ ?＝sin α＝sin??6?6?2?????π?ππ?π??＝sin?α－?cos＋cos?α－?sin 6?6?66??13151
＝×＋× 4242＝
3＋15
. 8
2．(2016·山东临沂一模)已知函数f(x)＝2cosωx－1＋23cos ωxsin ωx(0＜ω＜1)，π
直线x＝是f(x)图象的一条对称轴．
3(1)试求ω的值；
(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向π?62π??π?左平移个单位长度得到的，若g?2α＋?＝，α∈?0，?，求sin α的值．
3?52?3??π??2
解：f(x)＝2cosωx－1＋23cos ωxsin ωx＝cos 2ωx＋3sin 2ωx＝2sin?2ωx＋?.
6??π
(1)由于直线x＝是函数f(x)＝
3
2