优质文档
n?2,?2n,（Ⅰ）若数列{an}满足an??判断数列{an}是否具有性质P(2)？是否具有性质
2n?5,n?3,?P(4)？
（Ⅱ）求证：“T是有限集”是“数列{an}具有性质P(0)”的必要不充分条件；
（Ⅲ）已知{an}是各项为正整数的数列，且{an}既具有性质P(2)，又具有性质P(5)，求证：存在整数N，使得aN,aN?1,aN?2,
,aN?k,是等差数列.
海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案
数学（理科） 2017.5
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 D 5 C 6 A 7 B 8 A 二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）
9．1 12. ?,2 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（本小题满分13分） 解：
（Ⅰ）f(x)?sin2xcos3π3π3π?cos2xsin?sin(2x?)- 5552π?π， 210．2 13．2 11. 34 14．①③ 所以f(x)的最小正周期T?因为y?sinx的对称轴方程为x?kπ?π,k?Z， 23ππ??kπ,k?Z， 5211π1得x??kπ,k?Z.
202令2x?优质文档
优质文档
11π1?kπ,k?Z. 2023ππ3ππ或者：f(x)的对称轴方程为2x???2kπ和2x????2kπ,k?Z，
525211ππ即x??kπ和x??kπ,k?Z.
2020所以f(x)的对称轴方程为x?π（Ⅱ）因为x?[0,]，
2所以2x?[0,π]， 所以2x? 所以，当2x?3π3π2π?[?,] 5553πππ时， ??即x?5220πf(x)在区间[0,]上的最小值为?1.
216.（本小题满分13分）
解：
(Ⅰ)选择人文类课程的人数为(100+200+400+200+300)?1%=12(人)；
选择自然科学类课程的人数为(300+200+300)?1%=8(人). (Ⅱ)(ⅰ)依题意，随机变量X可取0，1，2.
0312C64C2C6C24C62C233p(X?0)???. ；p(X?1)?4?；p(X?2)?44C814C87C814故随机变量X的分布列为 X p 0 3 141 4 72 3 14
(ⅱ)法1：依题意，随机变量Y=2000X+1500(4?X)=6000+500X， 所以随机变量Y的数学期望为
E(Y)=6000+500E(X)
=6000+500(0?343?1??2?) 14714=6500.
(ⅱ)法2：依题意，随机变量Y可取6000，6500，7000. 所以随机变量Y的分布列为 Y p 所以随机变量Y的数学期望为 E(Y)=6000?=6500.
优质文档
6000 6500 7000 3 144 73 14343?6500??7000? 14714优质文档
17.（本小题满分14分） 解：
（Ⅰ）因为AD?DB，且DB?1，AB?2，所以AD?3， 所以?DBA?60.
因为?ABC为正三角形，所以?CAB?60，
又由已知可知ACBD为平面四边形，所以DB//AC. 因为AC?平面PDB，DB?平面PDB， 所以AC//平面PDB.
（Ⅱ）由点P在平面ABC上的射影为D可得PD?平面ACBD，
所以PD?DA，PD?DB.
如图，建立空间直角坐标系，则由已知可知B(1,0,0)，zPA(0,3,0)，P(0,0,1)，C(2,3,0).
yA平面ABC的法向量n?(0,0,1)，
D设m?(x,y,z)为平面PAB的一个法向量，则 Bx由???BA?m?0,可得?????x?3y?0,?BP?m?0???x?z?0,
令y?1，则x?3,z?3，所以平面PAB的一个法向量m?(3,1,3)，
所以cos?m,n??m?n321|m||n|?7?1?7， 所以二面角P?AB?C的余弦值为?217. （Ⅲ）由（Ⅱ）可得uABuur?(1,?3,0)，uPCuur?(2,3,?1)，
因为
uPCuur?uABuur?(2,3,?1)?(1,?3,0)??1?0， 所以PC与AB不垂直，
所以在线段PC上不存在点E使得PC⊥平面ABE.
18.（本小题满分14分） 解：
优质文档
C优质文档
（Ⅰ）设动点M(x,y)，
由抛物线定义可知点M的轨迹E是以N(1,0)为焦点，直线l： x??1为准线的抛物线，所以轨迹E的方程为y2?4x. （Ⅱ）法1：由题意可设直线l':x?my?n，
??x?my?n,由?2可得y2?4my?4n?0（*）， ??y?4x因为直线l'与曲线E有唯一公共点A， 所以??16m2?16n?0，即n??m2. 所以（*）可化简为y2?4my?4m2?0， 所以A(m2,2m)， 令x??1得P(?1,?因为n??m2，
uuuruuur1?n所以NA?NP?(m2?1,2m)?(?2,?)??2m2?2?2?2n?0
m1?n)， m所以NA?NP，
所以点N在以PA为直径的圆C上. 法2：依题意可设直线l':y?kx?b,(k?0)，
??y?kx?b,由?2可得k2x2?2(bk?2)x?b2?0（*）， ??y?4x因为直线l'与曲线E有唯一公共点A，且与直线l的交点为P，
?k?0,?k?0,所以?即?
???0,?bk?1,所以（*）可化简为k2x2?4x?所以A(1?0， 2k12,). k2k1令x??1得P(?1,?k)，
kuuuruuur121?22因为NA?NP?(2?1,)?(?2,?k)?2?2?2?2?0，
kkkkk所以NA?NP，
所以点N在以PA为直径的圆C上.
优质文档