A． B．
C．
D．
【分析】由△ABC是正三角形，∠APD=60°，可证得△BPD∽△CAP，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【解答】解：∵△ABC是正三角形， ∴∠B=∠C=60°，
∵∠BPD+∠APD=∠C+∠CAP，∠APD=60°， ∴∠BPD=∠CAP，
∴△BPD∽△CAP， ∴BP：AC=BD：PC，
∵正△ABC的边长为4，BP=x，BD=y， ∴x：4=y：（4﹣x）， ∴y=﹣x2+x． 故选C．
【点评】此题考查了动点问题、二次函数的图象以及相似三角形的判定与性质．注意证得△BPD∽△CAP是关键．
11．（2016.山东省威海市，3分）如图，在△ABC中，∠B=∠C=36°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE，则下列结论错误的是（ ）
A． = B．AD，AE将∠BAC三等分
C．△ABE≌△ACD D．S△ADH=S△CEG
【考点】黄金分割；全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质．
∠BAC=108°，【分析】由题意知AB=AC、根据中垂线性质得∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°，从而知△BDA∽△BAC，得分割定义知
=
=
=
，由∠ADC=∠DAC=72°得CD=CA=BA，进而根据黄金
，可判断A；根据∠DAB=∠CAE=36°知∠DAE=36°可判断B；
根据∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE=72°可得∠BAE=∠CAD，可证△BAE≌△CAD，即可判断C；由△BAE≌△CAD知S△BAD=S△CAE，根据DH垂直平分AB，EG垂直平分AC可得S△ADH=S△CEG，可判断D． 【解答】解：∵∠B=∠C=36°， ∴AB=AC，∠BAC=108°，
∵DH垂直平分AB，EG垂直平分AC， ∴DB=DA，EA=EC，
∴∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°， ∴△BDA∽△BAC， ∴
=
，
又∵∠ADC=∠B+∠BAD=72°，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=72°， ∴∠ADC=∠DAC， ∴CD=CA=BA，
∴BD=BC﹣CD=BC﹣AB， 则
=
，即
=
=
，故A错误；
∵∠BAC=108°，∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°， ∴∠DAE=∠BAC﹣∠DAB﹣∠CAE=36°， 即∠DAB=∠DAE=∠CAE=36°，
∴AD，AE将∠BAC三等分，故B正确；
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=72°，∠CAD=∠CAE+∠DAE=72°， ∴∠BAE=∠CAD， 在△BAE和△CAD中， ∵
，
∴△BAE≌△CAD，故C正确；
由△BAE≌△CAD可得S△BAE=S△CAD，即S△BAD+S△ADE=S△CAE+S△ADE， ∴S△BAD=S△CAE，
又∵DH垂直平分AB，EG垂直平分AC， ∴S△ADH=S△ABD，S△CEG=S△CAE， ∴S△ADH=S△CEG，故D正确． 故选：A．
12．(2016安徽，8，4分)﹣如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（ ）
A．4 B．4 C．6 D．4
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据AD是中线，得出CD=4，再根据AA证出△CBA∽△CAD，得出出AC即可．
【解答】解：∵BC=8， ∴CD=4，
在△CBA和△CAD中，
=
，求
∵∠B=∠DAC，∠C=∠C， ∴△CBA∽△CAD， ∴
=
，
∴AC2=CD?BC=4×8=32， ∴AC=4
；
13．(2016兰州，3,4分).已知△ABC ∽△ DEF，若 △ABC与△DEF的相似比为3／4，则△ ABC与△DEF对应中线的比为（）。 （A）3／4（B）4／3（C）9／16（D）16／9 【答案】A
【解析】根据相似三角形的性质，相似三角形的对应高线的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，本题中相似三角形的相似比为3／4，即对应中线的比为3／4，所以答案选 A。
【考点】相似三角形的性质
14.(2016兰州，6,4分)如图，在△ ABC中，DE∥BC，若AD／DB＝2／3，则AE／EC＝（）。 （A）1／3（B）2／5（C）2／3（D）3／5
【答案】C
【解析】根据三角形一边的平行线行性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例， AE／EC＝AD／DB＝2／3，所以答案选 C。【来源：21cnj*y.co*m】 【考点】三角形一边的平行线性质定理
二、填空题
1. （2016·湖北黄冈）如图，已知△ABC, △DCE, △FEG, △HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB=2，BC=1. 连接AI，交FG于点Q，则QI=_____________.
A D F H