yADxO图9C
【难易】 中等
【考点】 一次函数 相似
【解析】 （1）首先设出一次函数解析式，将点A,D代入即可求出一次函数解析式;(2)先写出OB,OD,BC的长度，然后分两种情况讨论1：△BOD∽△BCE;2:△BOD∽△BEC. 【参考答案】
（1）设直线AD的解析式为y=kx+b
453345 k+b=
33将点A(,),D(0,1)代入直线y=kx+b中得：
b=1 解得： k=
1 21x?1 2 b=1
?直经AD的解析式为：y?（2）设点E的坐标为（m,令y?1m+1） 21x?1?0得x=-2 2?点B的坐标为（-2，0）
令y=-x+3=0得x=3
?点C的坐标为（3，0）
?OB=2, OD=1, BC=5, BD=1?22?5
1. 当△BOD∽△BCE时,如图（1）所示，过点C作CE?BC交直线AB于E：
OBOD ?BCCE21 ?5CE5?CE=
215?m+1=,解得m=3 22??此时E点的坐标为（3，
5） 2
2. △BOD∽△BEC时，如图（2）所示，过点E作EF?BC于F点，则：
ODBD ?CEBC?15 ?CE5?CE=5
?BE=BC2?CE2?25?5?25 ?11BE*CE=EF*BC 22?25?5?EF?5 ?EF=2 ?1m?1?2 解得m=2 25），（2，2）. 2?此时E点的坐标为（2，2）
?当△BOD与△BCE相似时，满足条件的E坐标（3，
12. （2016·广东梅州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°， 动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点 A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB 边上以每 秒3cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒 （0?t?5），连接MN． （1）若BM=BN，求t的值；
（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值； （3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？ 并求出最小值．
考点：三角形的面积，三角形相似的性质，二次函数的图象及其性质。 解析：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，
∴AB?10，BC?53． ………………………1分 由题意知BM?2t，CN?3t，BN?53?3t，
由BM=BN得2t?53?3t，………………………2分 解得：t?532?3?103?15．………………………3分
（2）①当△MBN∽△ABC时， ∴
MBBN52t53?3t?，即解得：t?．…………5分 ?ABBC21053，
②当△NBM∽△ABC时， ∴
NBBM1553?3t2t?， 即解得：t?． ?ABBC71053，
515或t?时，△MBN与△ABC相似．………………………7分
72 ∴当t? （3）过M作MD⊥BC于点D，可得：
MD?t．……………8分
设四边形ACNM的面积为y，
∴y?S?ABC?S?BMN?11AC?BC?BN?MD 22 ?11?5?53?(53?3t)?t 2235753253253(t?)2?3． t?t?……………9分?228222
5时，y的值最小． 2 ? ∴根据二次函数的性质可知，当t? 此时，y最小?753………………………10分 813. （2016年浙江省宁波市）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线于对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中 一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．
CD是△ABC的完美分割线，∠A=48°，（2）在△ABC中，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=
，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以
CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】新定义．
【分析】（1）根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．
（2）分三种情形讨论即可①如图2，当AD=CD时，②如图3中，当AD=AC时，③如图4中，当AC=CD时，分别求出∠ACB即可．