4_21? ? ______
?：yi+y2=k(xi+x2)+2k=k
4
4-2k2 k2 + 4
2k=k-
?\
k
4 4 —]<2
???点M在抛物线上，?：（匸尸=4 ?丁, 即普=书一4,此方程无解.
???不存在满足条件的点M.
|备选题|
1.已知抛物线/ = 2px（p>0）, 0是坐标原点，F是抛物线的焦点，P是抛物线上一点，则使 得APOF是直角三角形的点P共有（ A. 0个 C. 4个
答案B
解析 当ZOFP为直角时，作出图形如图所示，过焦点F作PF丄x轴，交抛物线于点P, P', 则△OFP, △OFP'都是直角三角形.显然ZP0F不可能为直角.若Z0PF=90° ,易知F（§
）
B. 2个 D. 6个
0）,设p（話y）,可得矗=（务y），祁=（寿-% y）…俪?讦=話（話-3+宀話+学
4
q 2
??寺0，计>0,???祚?丽>0,???cosZ0PF>0, ???ZOPF为锐角,不可能为直角.综上,
使 得APOF是直角三角形的点P有且有2个.
2. F2是椭圆的两个隹
点，P为椭圆上的一个动点，过F2作ZF.PF2外角的平分线的垂线，垂足为M,则0M的长为 x2
y2
定值.类比此命题，在双曲线屮也有命题q：已知双曲线飞一台=l（a〉0, b>0）, Ft, F2是双 a b
曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动点，过F2作ZF.PF2的 _______ 的垂线，垂足为M, 则0M的长为定值
答案内角平分线a
解析 VF), F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过F?作ZFFF2外角的平分线的 垂线，垂足为M,???点F?关于ZFIPF2的外角平分线PM的对称点Q在FiP的延长线上，
= |PFj + |PF2|=2a(椭圆长轴长),又训是厶F2F.Q的中位线,故|OM|=a.不妨设点P在双 曲线右支
上,当过F2作ZFIPF2的内角平分线的垂线,垂足为M时，点F?关于ZF,PF2的内角 平分线PM的对称点Q在PF)±, |FjQ| = |PFi|-|PF2|=2a,又0M是△F/Q的中位线，故10M|
=a?
3. (2018 ?海南海口三模)已知椭圆C： ^+y=l(a>l)的左、右焦点分别为Fi(-c, 0), F2(c, a 0), P为椭圆C上任意一点，且1乖?诵2的最小值为0. (1) 求椭圆c的方程；
(2) 若动直线1】，12均与椭圆C相切，且h〃12,试探究在X轴上是否存在定点B,使得点 B
到1】，12的距离之积恒为1?若存在，请求岀点B的坐标；若不存在，请说明理由.
V2
2
2
答案(1)°+『=1 (2)略
解析 ⑴设 P(x, y),贝!)有FJP=(x + c, y), F2P= (x—c, y),
PFi ? PF2 = x + y —c2=~~
2：!
+1—c2, xG[ —a, a],
a
由帚?环》的最小值为0,得1 一『=0,???c = l, a =2,
x2
?I椭圆C的方程为刁+『=1 ? (2)①当直线li, 12斜率存在时，设其方程分别为y=kx+m, y = kx + n, 把li的方程代入椭圆方程得(1 + 2k2) x' + 4mkx + 2n/—2 = 0.
???直线 h 与椭圆 C 相切,A =16k2m2-4(l+2k2) (2m2-2)=0, 化简得 m2=l+2k2,同理,n2=l+2k2, <